高中數(shù)學探究教學的實踐與思考

楊紹慧

（安徽省宿城第一中學 安徽·宿州 234000）

轉變學生的學習方式是新課程改革的重要目標，也是時代賦予教師的新的責任。新課改在轉變學生學習方式上的一個重要舉措就是強調教學探究。所謂教學探究就是指在教師的引導下，學生積極主動、相對獨立地圍繞某個數(shù)學問題，自主探究、學習的過程，這個過程包括：觀察分析數(shù)學事實，提出有意義的數(shù)學問題，猜想、探求適當?shù)臄?shù)學結論或規(guī)律，并給出解釋或證明等。我們在新課程的教學中應力求讓學生對數(shù)學知識進行探究，以使學生獲得理智和情感的體驗、知識的建構及掌握解決問題的方法，切實轉變學生的學習方式。本文結合教學實踐，談談如何在數(shù)學教學中進行數(shù)學探究活動。

一、重視定義、概念的探究教學，養(yǎng)成探究的習慣

教材中的數(shù)學定義、概念是數(shù)學的精髓、靈魂，是對數(shù)學現(xiàn)象的高度抽象與概括，只有正確地理解定義、概念，而不是死記硬背，并對其形成的過程和本質進行探究，才將有助于掌握和運用。

案例1：在映射概念的教學中，教師可通過提出以下問題實施探究（也可以通過引導學生去發(fā)現(xiàn)并提出問題）：

1）集合A中的每個元素在集合B中都有像嗎？

2）集合A中的不同元素在集合B中的像是否相同？

3）集合B中的每個元素在集合A中都有原像嗎？

解決了上述問題，學生不僅把握了映射的本質（即多對一或一對一的對應），同時對函數(shù)概念的認識也上升到一定的高度。

案例2：北師大版數(shù)學必修1教材中在講述函數(shù)的奇偶性時給出了如下的定義：

一般地，圖像關于原點對稱的函數(shù)叫奇函數(shù)，圖像關于y軸對稱的函數(shù)叫偶函數(shù)。教學中教師可以以奇偶函數(shù)的定義為切入點，引導學生展開以下問題的探究：

1）奇函數(shù) f（x）為什么滿足 f（-x）＝-f（x），偶函數(shù) f（x）為什么滿足 f（-x）＝f（x）？

2）奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義域有何特征？

3）f（0）＝0與 f（x）為奇函數(shù)有何關系？

4）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)存在嗎？存在多少個？試舉例說明。

5）奇函數(shù)、偶函數(shù)的單調性有何特征？等等。

通過師生互動、學生探究不難解決上述問題，這樣學生對于奇、偶函數(shù)就有了比較深刻的理解。

數(shù)學教材中有諸多的定義、概念，這是學生進行數(shù)學探究的重要載體，即時進行數(shù)學探究，可以使學生養(yǎng)成良好的探究習慣。

二、重視例題和習題的探究教學，促進數(shù)學思維遷移

教材中的例題和習題對數(shù)學問題的解決起著示范和啟迪的作用，因而例、習題的教學是數(shù)學教學的重要環(huán)節(jié)?？v觀當前的課堂教學多是“教師講、學生聽”的模式，這制約了學生思維的發(fā)展及個性品質的培養(yǎng)，如果在例題和習題教學的一些主要環(huán)節(jié)上，創(chuàng)設情景，有的放矢地將例、習題設計成探究問題進行課堂教學，并對學生的做法進行歸類分析，從單一的求解過程提升到類型問題的思考方法和步驟，則可有效地提高學生的思維水平，以及獨立分析問題、解決問題的能力和靈活駕馭新問題的能力，更大限度地發(fā)揮例題和習題的問題探究效能。

案例3：北師大版數(shù)學必修5的第一章第四節(jié)“數(shù)列在日常經(jīng)濟生活中的應用”中，涉及到“分期付款模型”問題。

小華準備購買一臺售價為5000元的電腦，采用分期付款的方式，并在一年內將款全部還清。商場提出的付款方式為：購買后2個月第一次付款，再過兩個月第2次付款……購買后12個月第6次付款，每次付款金額相同，約定月利率為0.8%，每月利息按復利計算。求小華每期付的金額是多少？

在師生共同分析并解決此題后，教師可引導學生做如下探究：

1）本題可否通過構建數(shù)列模型來解決？事實上，只要設第n 次還款后還欠款元，則＝5000（1+0.8%）2-，（1+0.8%）2-x，由遞推關系求出通項并由條件知＝0即得，此解法從本質上體現(xiàn)了數(shù)列思想的運用。

2）還有其他解法嗎？如假設小華每期還款x元，則第一次還款x元，其實質不僅還了x元，而且將還x元再其后10個月的利息也還了，因此相當于還了x（1+0.8%）10元，于是得方程x（1+0.8%）10+x（1+0.8%）8+…+x（1+0.8%）+x＝5000（1+0.8%）12，等等。

3）按課本第35頁給出的思考交流進行探究。

4）在例3中，指出月利率按復利計算，如果要求月利率按單利計算，結果又如何呢？這是一個極具挑戰(zhàn)性的問題，其問題主要表現(xiàn)在：每期還的x元是還本金呢？還是還利息呢？如果本金、利息一起還，那么x元中多少還本金？解決上述問題不僅有趣，而且能力要求較高，充分展示了數(shù)列在日常經(jīng)濟生活中的應用。

案例4：北師大版數(shù)學必修5中第二章解三角形，第57頁習題2-2，B組第2題：圓內接四邊形ABCD的邊長分別AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求四邊形 ABCD 的面積。這是 2001年安徽省文科的一道高考題，學生首先想到的是連AC或BD，利用余弦定理和面積公式得之，接著教師可引導學生繼續(xù)探究：

1）計算四邊形面積常用的方法是什么？（割補法）。以上我們采用了割法，可否采用補法呢？（補成三角形，利用相似三角形的性質求解）。

2）問題中給出的四個數(shù)據(jù)很特別，結合圓內接四邊形的性質，你能簡解嗎？（在BC上取點E，使BE＝2，則可證明三角形CDE是正三角形，從而C＝60°，不僅簡捷，而且明快?。?。

3)對此教師還可進一步提出問題：圓內接四邊形的面積的表示式具有如此優(yōu)美的形式，那么對任意四邊形當己知四邊長時可否求其面積？（不能）。需要增添什么條件？（對角之和或其他條件）。又如何計算其面積呢？此問題可作為課內探究的延伸，讓有興趣的學生在課外探究。

例題和習題教學是學生學會思考、養(yǎng)成良好解題習慣的主要途徑。實踐表明，教師直接傳授給學生的技巧，往往難以被靈活運用，而教師摒棄代庖，引導學生不滿足于一得之見，設置航標，積極探究，是變被動接受為主動學習的重要舉措。在探究活動中，學生的心智充分地參與，激發(fā)興趣，開發(fā)智力，能有效地培養(yǎng)獨立思考能力，提高數(shù)學思維品質。

三、重視教材中“探究”素材的教學，培養(yǎng)學生探究能力

新課程教材區(qū)別于大綱版的一大亮點就是增加一定數(shù)量的探究素材，開辟了諸如 “思考交流”、“閱讀材料”、“課題學習”、“信息技術應用”等拓展性欄目，并獨立地設置了“探究活動”，為有興趣、有特長、有能力的學生提供了探究的空間。教學中教師應有選擇地利用這一亮點引導學生開展數(shù)學探究，使課內探究自然而然地延伸到課外，達到課內探究與課外探究有機結合的日的。如北師大版數(shù)學必修3第二章 《算法初步》中第87頁的“閱讀材料”（物不知數(shù)）就是一個很好的探究課題，材料給學生明確提出了三個探究問題，通過探究，一方面豐富了知識、提高了能力，另一方面也使學生領略到我國古代數(shù)學家的聰明才智。又如本章第115頁的“課題學習”，這是對本章第二節(jié)所涉及內容的補充與提高，同樣指出了需要探宄的三個問題，并且通過引入了二進制明確了問題的答案，從而讓學生感受到數(shù)學美之所在。教材中的探究素材是數(shù)學探究不可多得的資源，教師要給予充分地利用，不能以時間緊、內容多為理由而放棄對此的探究，這將讓學生失去對諸多富有思想和人文價值的問題的探究機會，不僅偏離了新教材編寫的初衷，也不符合新課程的理念，當然，這種探究應當切合學生實際，量力而行，不能花費學生太多的精力。

四、結語

“學習任何知識的最佳途徑是自己去發(fā)現(xiàn)，因為這種發(fā)現(xiàn)理解最深，也最容易掌握其中的內在規(guī)律、性質和聯(lián)系”（波利亞語）。這正是數(shù)學探究的價值所在。在數(shù)學探究中，教師應成為探究課題的創(chuàng)造者，為指導學生進行數(shù)學探究做好充分準備，并積累指導學生進行數(shù)學探究的資源。在課堂教學中，堂堂搞探究是不可能的，事實上，一個學期能有幾節(jié)就不錯了，但經(jīng)常地每節(jié)課有那么一小段探究還是必要的，且不可為探究而探究。需要指出的是，探究學習不存在固定的路徑，也不宜一味地探尋和研究其程序和模式，關鍵在于對其精神實質的領悟，也許學生的探究成果有時顯得簡單或幼稚，甚至有錯，這并無大礙，重要的是學生能從現(xiàn)有的知識水平出發(fā)，通過不斷探索，去體驗數(shù)學探究過程中執(zhí)著、不畏艱難、富有理智的創(chuàng)造性思考，培養(yǎng)一種科學探究、實事求是的精神，這正是數(shù)學探究所具有的獨特的育人功能和魅力之所在。

[1]教育部.普通高中數(shù)學課程標準（實驗）[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2]蔡旺慶.探究式教學的理論、實踐與案例[M].南京：南京大學出版社，2015.