淺談等差數(shù)列的靈活運(yùn)用

文惠州市華羅庚中學(xué) 汪毅剛

淺談等差數(shù)列的靈活運(yùn)用

文惠州市華羅庚中學(xué) 汪毅剛

等差數(shù)列是歷年來高考的重點(diǎn)內(nèi)容，學(xué)生必須充分認(rèn)知和理解等差數(shù)列。這就要求學(xué)生不僅理解等差數(shù)列的概念，能夠探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，還能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題，還有體會(huì)等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系。

一、從等距的角度開展等差數(shù)列的教學(xué)

根據(jù)等差數(shù)列的定義：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列。理解等差數(shù)列的關(guān)鍵在于理解“從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)”這句話，教學(xué)中必須讓學(xué)生充分理解后一項(xiàng)與前一項(xiàng)都相差d，即an+1-an=d（常數(shù)）。

例如：下面的算式是按某種規(guī)律排列的：1+1，2+3，3+5，4+7，1+9，2+11，3+13，4+15，1+17，…問：（1）第1998個(gè)算式是（）+（）；（2）第（）個(gè)算式的和是2000。

解析：（1）第1個(gè)加數(shù)依次為1，2，3，4，1，2，3，4，…，每4個(gè)數(shù)循環(huán)一次，重復(fù)出現(xiàn)。1998÷4=499……2，所以第1998個(gè)算式的第1個(gè)加數(shù)是2。第二個(gè)加數(shù)依次為1，3，5，7，9，11，…，這是個(gè)首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列。根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求出第1998個(gè)算式的第二個(gè)加數(shù)：1+（1998-1）×2=3995，所以第1998個(gè)算式是2+3995。

（2）由于每個(gè)算式的第二個(gè)加數(shù)是奇數(shù)，所以和是2000的算式的第1個(gè)加數(shù)一定是奇數(shù)，不會(huì)是2和4。只有1+x=2000或3+x=2000。其中，x是1，3，5，7，9……中的某個(gè)數(shù)。

若1+x=2000，則x=1999。根據(jù)等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)公式可得：（1999-1）÷2+1=1000，這說明1999是數(shù)列1，3，5，7，9…中的第1000個(gè)數(shù)。因?yàn)?000÷4=250，說明第1000個(gè)算式的第1個(gè)加數(shù)是4，與假設(shè)1+x=2000矛盾，所以x不等于1999。

若3+x=2000，則x=1997。與上同理，（1997-1）÷2+1=999，說明1997是等差數(shù)列1，3，5，7，9…中的第999個(gè)數(shù)。由于999÷4=249……3，說明第999個(gè)算式的第一個(gè)加數(shù)是3，因此第999個(gè)算式為3+1997=2000。

點(diǎn)評(píng)：第二個(gè)加數(shù)為等差數(shù)列，那么第n項(xiàng)的值an=首項(xiàng)+（項(xiàng)數(shù)-1）×公差，項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）÷公差+1。利用這些公式，可以快速得到答案，而且還能確保正確率，運(yùn)用起來十分靈活、方便。

等差數(shù)列是一個(gè)特殊的函數(shù)，因此在解決數(shù)列問題時(shí)，要靈活利用函數(shù)的知識(shí)、函數(shù)的觀點(diǎn)、函數(shù)的思想方法來解題，即用共性來解決特殊問題。

二、從推導(dǎo)通項(xiàng)公式展開等差數(shù)列教學(xué)

教師在授課時(shí)要注重從具體生活實(shí)例出發(fā)，注重引導(dǎo)、啟發(fā)、研究和探討以符合這類學(xué)生的心理發(fā)展特點(diǎn)，從而促進(jìn)思維能力的進(jìn)一步發(fā)展。

例如：水庫管理人員為了保證優(yōu)質(zhì)魚類有良好的生活環(huán)境，用定期放水清庫的辦法清理水庫中的雜魚。如果一個(gè)水庫的水位為18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m.那么從開始放水算起，到可以進(jìn)行清理工作的那天，水庫每天的水位（單位：m）組成一個(gè)什么數(shù)列？

教師：以上三個(gè)問題中的數(shù)蘊(yùn)涵著三列數(shù)。

學(xué)生：18，15.5，13，10.5，8，5.5。

教師：引導(dǎo)學(xué)生思考這三列數(shù)具有的共同特征，然后讓學(xué)生抓住數(shù)列的特征，歸納得出等差數(shù)列概念。

學(xué)生：分組討論，可能會(huì)有不同的答案：前數(shù)和后數(shù)的差符合一定規(guī)律；這些數(shù)都是按照一定順序排列的……只要合理教師就要給予肯定。

教師引導(dǎo)歸納出：等差數(shù)列的定義；另外，教師引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)符號(hào)角度理解等差數(shù)列的定義。

點(diǎn)評(píng)：通過對(duì)一定數(shù)量感性材料的觀察、分析，提煉出感性材料的本質(zhì)屬性；使學(xué)生體會(huì)到等差數(shù)列的規(guī)律和共同特點(diǎn)；一開始抓住“從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差為同一常數(shù)”，落實(shí)對(duì)等差數(shù)列概念的準(zhǔn)確表達(dá)。

三、從一次函數(shù)角度理解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

從函數(shù)的角度來理解等差數(shù)列，合理運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想直觀簡化問題，在解決等差數(shù)列的問題時(shí)，能事半功倍。函數(shù)思想是重要的數(shù)學(xué)思想，教師需要在平常教學(xué)時(shí)逐步滲透，如若在等差數(shù)列的教學(xué)過程中，對(duì)學(xué)生進(jìn)行函數(shù)思想的熏陶，能拓展思維，使學(xué)生的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)不斷優(yōu)化與完善，使學(xué)生的思維能力不斷發(fā)展與提高。

責(zé)任編輯 鄒韻文