高職高考數(shù)列通項(xiàng)公式常見(jiàn)類(lèi)型及解法

鐘偉明

（廣東省深圳市第二職業(yè)技術(shù)學(xué)校）

數(shù)列是中職數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在數(shù)學(xué)高職高考中具有舉足輕重的地位。對(duì)于求數(shù)列問(wèn)題，最基本的就是求數(shù)列的通項(xiàng)公式，而求數(shù)列的通項(xiàng)公式往往是解數(shù)列題的突破口和關(guān)鍵點(diǎn)。因此，在解題時(shí)，要根據(jù)題目所給的條件的不同，靈活采用不同的方法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，本文根據(jù)近年來(lái)的高職高考數(shù)列通項(xiàng)的題型，總結(jié)出以下幾種常用的解法。

一、用“公式法”求通項(xiàng)公式

（1）已知數(shù)列是等差（或等比）數(shù)列求數(shù)列通項(xiàng)。此時(shí)，只需要求出首項(xiàng)和公差（或公比）即可以直接利用等差（或等比）數(shù)列的通項(xiàng)公式求解。

（2）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和求數(shù)列通項(xiàng)。此時(shí)，利用an與Sn的關(guān)系式求通項(xiàng)公式。在用an與Sn的關(guān)系式求數(shù)列式進(jìn)行變換，轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列問(wèn)題求解，具體的類(lèi)型和解法如下：

類(lèi)型1：已知某項(xiàng)（多為首項(xiàng)）且an+1=an+f（n）的遞推關(guān)系式；

只要f（n）能進(jìn)行求和時(shí)，則宜采用“累加法”求數(shù)列的通項(xiàng)公式。由累加法可求得：an=a1+f（1）+f（2）+f（3）+…f（n-1）.

例3.已知數(shù)列an｛ ｝滿(mǎn)足a1=1，an=an-1+n（n≥2），求數(shù)列an｛ ｝的通項(xiàng)公式。

解：∵an-an-1=n（n≥2）

∴a2-a1=2，a3-a2=3，a4-a3=4，…，an-an-1=n.

將以上式子累加得到：an-a1=2+3+4+…+n

∵a1=1

∴an=1+2+3+4+…+n=通項(xiàng)公式時(shí)，要注意分n=1 與n≥2 兩種情況討論；即驗(yàn)證若S1滿(mǎn)足Sn-Sn-1，則用統(tǒng)一形式表達(dá)an，若S1滿(mǎn)足Sn-Sn-1則用分段函數(shù)的形式表示。

例1.已知數(shù)列an｛ ｝的前n項(xiàng)和為Sn，設(shè)an是Sn與2 的等差中項(xiàng)，數(shù)列bn｛ ｝中b1=1，點(diǎn)P（bn，bn+1）在直線y=x+2 上，求an｛｝，bn｛ ｝的通項(xiàng)公式。

解：當(dāng)n=1 時(shí)∵a1=S1，∴a1=2a1-2 即a1=2

依題意可知Sn+2=2an即Sn=2an-2

當(dāng)n＞1 時(shí)an=Sn-Sn-1=（2an-2）-（2an-1-2）=2an-2an-1

類(lèi)型2：已知某項(xiàng)（多為首項(xiàng)）且an+1=an·f（n）的遞推關(guān)系式；

只要f（n）能進(jìn)行求積時(shí)，則宜采用“累積法”求數(shù)列的通項(xiàng)公式。此時(shí)由累積法可求得：a1=a1·f（1）·f（2）·f（3）……f（n-1）.

∴an=2an-1，即將以上式子累積得到

所以數(shù)列an｛ ｝是以2 為首項(xiàng)，且以2 為公比的等比數(shù)列，通項(xiàng)

∵a1=1公式為an=2n；

因?yàn)閿?shù)列bn｛ ｝中b1=1，點(diǎn)P（bn，bn+1）在直線y=x+2 上

所以bn+1=bn+2，即bn+1-bn=2

所以數(shù)列bn｛ ｝是以1 為首項(xiàng)，以2 為公差的等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式為bn=1+2（n-1），即bn=2n-1

二、用“觀察法”求通項(xiàng)公式

類(lèi)型3：已知某項(xiàng)（多為首項(xiàng)）且an+1=pan+q（p，q為常數(shù)）的遞推關(guān)系式；

該類(lèi)型通常用兩種解法：

解法一：用代定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)列進(jìn)行求解，基本解題思路是，設(shè)an+1+t=p（an+t），與已知式相比較可求出，得

已知數(shù)列前幾項(xiàng)求數(shù)列通項(xiàng)公式題型，只需要對(duì)所給項(xiàng)觀察分析，尋找項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的規(guī)律，寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)即可。

例2.數(shù)列9，99，999，9999，…的通項(xiàng)公式an=_____

解：通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，9=10-1；99=102-1；999=103-1；9999=104-1

所以該數(shù)列的通項(xiàng)公式an=10n-1到｝是公比為p的等比數(shù)列。

解法二：由an+1=pan+q①an+2=pan+1+q②，再由②-①得an+2-an+1=p（an+1-an），從而得到｛an+1-an｝是公比為p的等比數(shù)列。

三、用數(shù)列遞推關(guān)系式求數(shù)列通項(xiàng)公式

對(duì)于給定數(shù)列遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式是高職高考的熱點(diǎn)之一，一般的出題形式為先給定數(shù)列的初始值及數(shù)列通項(xiàng)的遞推關(guān)系式，要求求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。具體解法是要先對(duì)數(shù)列遞推關(guān)系

例5.若數(shù)列an｛ ｝滿(mǎn)足a1=1 且an+1=3an+2，求數(shù)列an｛ ｝的通項(xiàng)公式。

解法一：設(shè)an+1+t=3（an+t），移項(xiàng)得到an+1=3（an+t）-t=3an+2t，

∴2t=2，即t=1，此時(shí)

從而數(shù)列｛an+ 1 ｝是以2 為首項(xiàng)，以3 為公比的等比數(shù)列，所以an+1=2·3n-1即an=2·3n-1-1.

解法二：由an+1=3an+2①，an+2=3an+1+1②，再由②-①得an+2-an+1=3（an+1-an），從而得到｛an+1-an｝是公比為3 的等比數(shù)列。

再由累加法得到：

類(lèi)型5：已知某項(xiàng)（多為首項(xiàng)）且an+1=pan+f（n）（p為常數(shù)）的遞推關(guān)系式；

這種類(lèi)型的解法宜先采用將an+1=pan+f（n）兩邊同時(shí)除以pn+1，轉(zhuǎn)化成類(lèi)型1，再用累加法可以求出通項(xiàng)公式，特別是當(dāng)f（n）是以p為底的指數(shù)函數(shù)形式時(shí)，兩邊同時(shí)除以pn+1，可直轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列。

例7.已知數(shù)列an｛｝滿(mǎn)足a1=1，且an+1=2an+2n（n∈N*）（2009 年廣東高考題）

解：（1）將an+1=2an+2n兩邊同時(shí)除以2n+1，得到：

所以數(shù)列an｛ ｝通項(xiàng)公式為an=2n-1n.

總之，求數(shù)列的通項(xiàng)公式是歷年高職高考考查的熱點(diǎn)，其考查的目的在于測(cè)試學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)列知識(shí)的能力，和把陌生問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想方法。雖然對(duì)于參加高職高考的學(xué)生來(lái)說(shuō)難度較大，但是只要學(xué)生的等差、等比兩類(lèi)最基本數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)過(guò)關(guān)，對(duì)數(shù)列求通項(xiàng)的各種題型訓(xùn)練到位，認(rèn)真分析題意，仔細(xì)審題，選取適當(dāng)?shù)慕夥ǎ?guī)范解題步驟，那么求數(shù)列通項(xiàng)公式的考點(diǎn)將會(huì)迎刃而解。

［1］李東月.例析高考遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的常見(jiàn)類(lèi)型及其求法.數(shù)學(xué)教學(xué)與研究［J］，2011（04）.

［2］梁桂友.遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的解題技巧與方法［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2014（01）.

［3］張樹(shù)林.關(guān)于數(shù)列通項(xiàng)公式推導(dǎo)類(lèi)問(wèn)題的幾點(diǎn)思考［J］.科技信息，2013（11）.