中學(xué)地理教學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用

周小橋

（四川省廣安第二中學(xué)校）

數(shù)學(xué)思想方法的種類和分類方式，各家說(shuō)法不一。本文主要選取了中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的五種一般數(shù)學(xué)思想方法，分別探究了這五種不同數(shù)學(xué)思想方法在高中地理教學(xué)中的應(yīng)用。符號(hào)是描述數(shù)學(xué)研究對(duì)象的語(yǔ)言，集合是數(shù)學(xué)研究對(duì)象的形式表述，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)兩種基本研究對(duì)象之間的轉(zhuǎn)換，分類體現(xiàn)了具體研究對(duì)象之間的異同與關(guān)系，邏輯推理是數(shù)學(xué)論證的基本方法。

一、符號(hào)思想

符號(hào)思想的實(shí)質(zhì)是通過(guò)建立某種對(duì)應(yīng)，實(shí)現(xiàn)從感性到理性的轉(zhuǎn)換。符號(hào)的抽象程度和創(chuàng)造水平的高低差異直觀影響學(xué)科的發(fā)展方向與速度；表達(dá)符號(hào)的不同也是對(duì)一門學(xué)科水平的反映。在地理學(xué)科中，我們可以借鑒數(shù)學(xué)學(xué)科的基本語(yǔ)言和符號(hào)思想，主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

首先，我們可以直接使用這些數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符號(hào)，使地理學(xué)科的“理”性表達(dá)得更為簡(jiǎn)潔、科學(xué)，例如：正午太陽(yáng)高度的公式：H=90°。滿足了地理學(xué)，從定性的分析到定量的計(jì)算，公式的總結(jié)性表述，可以揭示地理事物的普遍規(guī)律，讓學(xué)生可以更精確、概括性地認(rèn)識(shí)地理現(xiàn)象。

其次，也可以借鑒數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符號(hào)思想，發(fā)揚(yáng)地理學(xué)科語(yǔ)言和符號(hào)，從而確立地理學(xué)科的獨(dú)特地位。地理符號(hào)主要運(yùn)用于地圖教學(xué)。地圖符號(hào)的建立需要嚴(yán)格的定義，要注重符號(hào)的科學(xué)性和合理性。地圖上的符號(hào)大致可分為顏色符號(hào)、事物標(biāo)志符號(hào)、文字符號(hào)和線柱符號(hào)。這些各種不同的符號(hào)，就是我們地理學(xué)科的形式化語(yǔ)言。在教學(xué)中，教師應(yīng)該廣泛地使用學(xué)科語(yǔ)言，給學(xué)生以潛移默化的熏陶，增強(qiáng)其對(duì)地理學(xué)科的歸屬感。

最后，素質(zhì)教育的教學(xué)目標(biāo)有三個(gè)維度，在知識(shí)的傳遞過(guò)程中，主要是對(duì)學(xué)生能力的培養(yǎng)和價(jià)值觀的建立，這些目標(biāo)可以通過(guò)地理學(xué)科符號(hào)來(lái)實(shí)現(xiàn)。地理符號(hào)除了教學(xué)中的狹義地圖符號(hào)外，更包括人類長(zhǎng)期以來(lái)的活動(dòng)作用于環(huán)境的地理印記。在漫長(zhǎng)的歷史進(jìn)程中，我們的祖先以其頑強(qiáng)的生命力和堅(jiān)韌的毅力，不斷同周圍的地理環(huán)境相適應(yīng)，并且改造地理環(huán)境，留下了人類活動(dòng)的偉大印記，如天壇、長(zhǎng)城、故宮、泰山等。這些改造自然的活動(dòng)，不僅對(duì)地理環(huán)境進(jìn)行了和諧的改造，而且將中華民族的文化精神和文化意識(shí)深深地浸染于其作用的地理印記之中，也就創(chuàng)造了具有豐富民族文化精神的地理符號(hào)。在地理教學(xué)中，對(duì)這些地理符號(hào)進(jìn)行講解時(shí)，一方面要讓學(xué)生明白它們作為一些地理分界線或是特殊城市地理布局的知識(shí)含義；另一方面要讓學(xué)生明白，地理符號(hào)是作為一種民族文化的載體，成為一種文化象征和文化精神。

綜上可見(jiàn)地理符號(hào)在地理教學(xué)中的重要意義，因而在實(shí)際教學(xué)中，教師需要滲透地理學(xué)科的符號(hào)思想，讓學(xué)生可以通過(guò)一種符號(hào)，認(rèn)識(shí)一門學(xué)科，學(xué)會(huì)使用地理學(xué)科語(yǔ)言，并在這一過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì)。

二、集合論思想方法

人類關(guān)于集合的認(rèn)識(shí)，一直都有一個(gè)很樸素的觀念：把某類對(duì)象按照一定標(biāo)準(zhǔn)放在一起作為討論范圍。集合論思想方法就是指，運(yùn)用集合論的語(yǔ)言和符號(hào)描述研究對(duì)象以及對(duì)象之間的關(guān)系，然后分析并解決問(wèn)題的方法。集合論作為數(shù)學(xué)語(yǔ)言十分簡(jiǎn)單，數(shù)學(xué)概念都可以看做是集合，可以用集合論的語(yǔ)言來(lái)表述數(shù)學(xué)概念。

在地理教學(xué)中，集合論思想的應(yīng)用對(duì)地理學(xué)科整體性把握更具優(yōu)勢(shì)；集合論的語(yǔ)言也可對(duì)地理概念進(jìn)行簡(jiǎn)化；對(duì)于地理試題的解題方面，集合論的思想也將起到指導(dǎo)作用。

1.從集合論的高度概括中學(xué)地理內(nèi)容，能更好地從整體上把握中學(xué)地理的研究對(duì)象

地理學(xué)起到的作用主要就是溝通自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的橋梁作用，高中地理中必修一主要是自然地理學(xué)，必修二為人文地理學(xué)；自然地理中主要是根據(jù)地球的圈層結(jié)構(gòu)，對(duì)課本進(jìn)行編排；人文地理中主要是研究人口、人類的聚居地（城市）、人類生產(chǎn)生活（工業(yè)、農(nóng)業(yè)）、對(duì)人類活動(dòng)最重要的影響因素（交通）等。通過(guò)集合可以很好地表示高中地理的研究對(duì)象，讓學(xué)生從整體上把握高中地理知識(shí)。

例如：

2.用集合論的語(yǔ)言表述有關(guān)概念更為簡(jiǎn)潔

地理中的專業(yè)概念較為繁多，很多概念在內(nèi)涵上存在包含與被包含的關(guān)系，也有需要按照一定準(zhǔn)則進(jìn)行分類劃分，借助集合的思想來(lái)表達(dá)地理中的概念，使抽象繁瑣的語(yǔ)言表達(dá)顯得更直觀、形象，也更具有科學(xué)性。

例如：天體系統(tǒng)層次，用語(yǔ)言表達(dá)為地球所處的天體系統(tǒng)，按從低到高的級(jí)別，依次為地月系、太陽(yáng)系、銀河星和總星系?？雌饋?lái)很繁瑣，借助集合知識(shí)表述為：

｛地球｝?｛地月系｝?｛太陽(yáng)系｝?｛銀河系｝?｛總星系｝

3.集合論的思想方法對(duì)解題的指導(dǎo)作用

運(yùn)用集合論的思想對(duì)地理試題中的很多數(shù)學(xué)問(wèn)題有著指導(dǎo)作用，以集合為工具，可將地理中涉及的幾何、代數(shù)、三角等綜合問(wèn)題用幾何形式表示出來(lái)，并提出解題思路。

案例一：地理概念

（1）從屬關(guān)系：如，能源、一次能源、常規(guī)能源；土地資源、土壤資源、耕地資源。

（2）包含并列關(guān)系：如，降水、降雨、降雪；鋒、暖鋒、冷鋒、準(zhǔn)靜止鋒；淡水與各種陸地淡水資源。

（3）交叉關(guān)系：如，可再生能源、新能源、二次能源；自然資源、礦產(chǎn)資源、能源。

（4）排斥關(guān)系的概念：如，可再生資源和不可再生資源；巖漿巖、沉積巖、變質(zhì)巖。

三、數(shù)形結(jié)合思想方法

地理學(xué)科最初的含義就是地圖學(xué)，因此地理學(xué)科對(duì)圖形的使用是普遍存在的，很多地理事物、地理現(xiàn)象和地理規(guī)律都是可以通過(guò)“數(shù)”與“形”歸納其本質(zhì)屬性的；其次，地理學(xué)科內(nèi)容具有系統(tǒng)性，知識(shí)具有較強(qiáng)的邏輯性。在中學(xué)地理教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，可以培養(yǎng)學(xué)生的空間思維能力，結(jié)合地理學(xué)科特色，可以發(fā)展地理空間思維能力；數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用也可以使學(xué)生的形象思維與抽象思維能力得到提高，多種思維的互相促進(jìn)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用所掌握知識(shí)的能力有很大提高，對(duì)學(xué)生的綜合能力有較大提高，還能為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

數(shù)形結(jié)合思想方法在地理學(xué)中應(yīng)用的主要內(nèi)容有：

（1）通過(guò)給出的圖表，建立適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)模型；例如高中地理必修一中給出了太陽(yáng)黑子數(shù)隨時(shí)間的變化，通過(guò)圖可以得出太陽(yáng)黑子與時(shí)間的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)太陽(yáng)黑子活動(dòng)的周期性。

（2）運(yùn)用幾何模型解答有關(guān)代數(shù)問(wèn)題；例如時(shí)區(qū)和區(qū)時(shí)的計(jì)算，通過(guò)圖形可以直觀地看出世界不同地區(qū)所在的時(shí)區(qū)。

（3）與函數(shù)有關(guān)的幾何、代數(shù)綜合性問(wèn)題；例如太陽(yáng)高度角的計(jì)算，畫出太陽(yáng)直射點(diǎn)所在位置，結(jié)合幾何與代數(shù)知識(shí)，可以很便捷地得出結(jié)果。

（4）以圖像形式呈現(xiàn)信息的應(yīng)用性問(wèn)題；例如自然界的水循環(huán)示意圖。

案例二：關(guān)于地球自轉(zhuǎn)的線速度，課本上只是說(shuō)明了：地球自轉(zhuǎn)的線速度，因緯度的不同而有差異，那么學(xué)生該如何理解這種差異，即地球自轉(zhuǎn)的線速度隨緯度變化規(guī)律。

解：如圖所示，設(shè)地球赤道半徑為R，緯度為δ 處自轉(zhuǎn)軌跡半徑為r。

∵線速度（v）

又∵r=R·cosδ

∴vδ=v赤道·cosδ

δ∈［0°，90］

° ，vδ隨δ 的增大而減小，因而地球自轉(zhuǎn)的線速度隨緯度的增大而減?。磺耶?dāng)δ=60°時(shí)，也就是緯度為60°時(shí)，其線速度為赤道地區(qū)的一半。

四、分類討論思想方法

分類討論是指當(dāng)問(wèn)題中所給出的對(duì)象不能進(jìn)行綜合研究時(shí)，需要研究問(wèn)題的對(duì)象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，然后每一類分別討論，最后根據(jù)各類結(jié)果進(jìn)行綜合得到整個(gè)問(wèn)題的答案，這種先進(jìn)行分類再討論，把復(fù)雜問(wèn)題“分而治之，逐個(gè)擊破”的解決問(wèn)題的思想方法就是分類討論思想。這種思想體現(xiàn)了化整為零、逐個(gè)擊破，再積零為整的數(shù)學(xué)思想，反映了研究對(duì)象之間的內(nèi)在規(guī)律，可以幫助學(xué)生總結(jié)歸納知識(shí)，提高學(xué)生思維的條理性和概括性。分類討論時(shí)需要注意的是：每次分類時(shí)必須按照統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)；分類討論中的每一個(gè)部分要相互獨(dú)立；分類討論要注意層次，逐級(jí)進(jìn)行分類，做到不重復(fù)、不遺漏。

地理作為綜合性學(xué)科，地理事物導(dǎo)致的地理現(xiàn)象成因復(fù)雜，一個(gè)地理現(xiàn)象往往是多方面因素綜合影響形成的結(jié)果，在分析地理現(xiàn)象時(shí)往往需要考慮多方面的因素，這會(huì)給我們的思維增加難度，因而可以通過(guò)分類討論的思想，把復(fù)雜問(wèn)題分化成多個(gè)簡(jiǎn)單的小問(wèn)題。

引起分類討論的因素較多，但常見(jiàn)的類型主要有以下幾種：

（1）根據(jù)概念、公式、定理進(jìn)行分類討論；

（2）根據(jù)計(jì)算的要求進(jìn)行分類討論；

（3）根據(jù)地圖的形狀或位置變化進(jìn)行分類討論；

（4）當(dāng)條件或結(jié)論開(kāi)放時(shí)進(jìn)行分類討論；

（5）當(dāng)問(wèn)題中條件較少，需通過(guò)分類來(lái)補(bǔ)充條件時(shí)進(jìn)行分類討論。

例如，在講解三圈環(huán)流：

第一步：假設(shè)下墊面性質(zhì)均一，地球不自轉(zhuǎn)、不公轉(zhuǎn)；地球的大氣環(huán)流形式為單圈環(huán)流。

第二步：去掉地球不自轉(zhuǎn)的假設(shè)；形成了基本的三圈環(huán)流模型。

第三步：去掉地球不公轉(zhuǎn)的假設(shè)；推導(dǎo)出了氣壓帶和風(fēng)帶的季節(jié)移動(dòng)。

第四步：去掉地球下墊面性質(zhì)均一的條件；出現(xiàn)了氣壓中心。

案例三：“地球表面有適宜生命過(guò)程發(fā)生和發(fā)展的溫度條件?！?/p>

對(duì)于這句話的理解我們可以引導(dǎo)學(xué)生從兩個(gè)方面去考慮：

（1）如果地球表面溫度過(guò)高，由于熱擾動(dòng)太強(qiáng)，原子根本不能結(jié)合在一起，也就無(wú)法形成分子，更不用說(shuō)復(fù)雜的生命物質(zhì)。

（2）如果地表溫度太低，分子只能以晶體存在，生命物質(zhì)也就無(wú)法形成。

五、邏輯推理思想方法

邏輯推理是根據(jù)已知的條件作出合乎邏輯的推斷，推出未知的判斷的一種思維方式。邏輯推理方式一般有三種：演繹、歸納和溯因。演繹推理主要是由前提得出必然的結(jié)論，由“前提”和“規(guī)則”推導(dǎo)出“結(jié)論”；歸納推理是從特殊到一般，借由大量的“前提”和“結(jié)論”所組成的例子來(lái)學(xué)習(xí)“規(guī)則”；溯因推理與演繹的過(guò)程相反，由“結(jié)論”和“規(guī)則”來(lái)支援“前提”，數(shù)學(xué)中常用的推理方式是演繹。在研究中，有學(xué)者發(fā)現(xiàn)中學(xué)生常用的證明和推理方法有：間接證明法和直接證明法；分析法和綜合法；對(duì)比法和類比法；歸納法和演繹法。

在地理教學(xué)中，地理邏輯推理思想就是借助地理知識(shí)的相關(guān)概念，依照邏輯的規(guī)律推斷出新的地理知識(shí)的思維活動(dòng)。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，是指借助地理概念，通過(guò)推理和判斷，反映和揭示地理事物的內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)屬性，從而獲得對(duì)地理現(xiàn)象的規(guī)律性認(rèn)識(shí)。地理學(xué)主要研究各種地理事物的空間分布及其成因和變化，而地理事物是相互依賴、相互聯(lián)系、相互作用的，因而在中學(xué)地理學(xué)習(xí)過(guò)程中，可結(jié)合學(xué)生已具備的地理知識(shí)基礎(chǔ)，運(yùn)用邏輯推理的數(shù)學(xué)思想方法來(lái)研究諸多地理現(xiàn)象。

例如，高中地理必修一中，在探討黃赤交角的變化對(duì)地球上五帶的變化，教師可用邏輯推理的思想方法來(lái)講解：

{目前黃赤交角：23°26′；南北回歸線緯度：23°26′；極圈緯度：66°34′}

?{南北回歸線緯度=黃赤交角，極圈的緯度=90°-黃赤交角}

?{黃赤交角變大}

?{回歸線緯度變高，極圈的緯度變低}

?{溫帶將縮小，熱帶和寒帶將擴(kuò)大}

數(shù)學(xué)與地理起源相同，隨著兩個(gè)學(xué)科的發(fā)展日益壯大，學(xué)科之間可以相互借鑒、相互促進(jìn)。地理學(xué)科橫跨自然與人文兩大領(lǐng)域，具有很強(qiáng)的綜合性。在教學(xué)中，教師可以適當(dāng)借鑒其他學(xué)科的思想方法，其中數(shù)學(xué)作為科學(xué)的工具性學(xué)科，對(duì)所有自然科學(xué)學(xué)科都有促進(jìn)意義，因而在地理教學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法，一方面可以解決僅用地理知識(shí)難以處理的問(wèn)題，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)地理知識(shí)、發(fā)現(xiàn)地理現(xiàn)象、探究地理規(guī)律，都能起到很好的促進(jìn)作用；另一方面可以培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維和創(chuàng)新性精神，從而培養(yǎng)符合素質(zhì)教育要求和適應(yīng)社會(huì)發(fā)展需要的綜合型人才與創(chuàng)新型人才。

本文舉例主要涉及高中地理的自然地理，有關(guān)人文地理中的很多問(wèn)題也是可以用數(shù)學(xué)思想方法解決。當(dāng)然，數(shù)學(xué)思想方法并非唯一的一種方式，也并非是最有效的方式。在學(xué)科教學(xué)中，還有其他學(xué)科的思想方法，教師也可以在地理教學(xué)中適當(dāng)應(yīng)用。各個(gè)學(xué)科的思想方法都是學(xué)科的精髓，學(xué)科間的相互借鑒、融會(huì)貫通，學(xué)科的綜合化是一種必然的趨勢(shì)，教師在這方面需要有敏銳的判斷力，為學(xué)生的終身發(fā)展奠定基礎(chǔ)。

［1］吳炯圻，林培榕.數(shù)學(xué)思想方法：創(chuàng)新及應(yīng)用的培養(yǎng)［M］.廈門大學(xué)出版社，2009.

［2］于曉峰.地理符號(hào)與民族認(rèn)同［J］.社會(huì)科學(xué)家，2012（06）：150-152.

［3］張丹.關(guān)于高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)系的探討：集合論思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用［D］.北京師范大學(xué)，1997.