例談客觀題的創(chuàng)新立意

曹務(wù)青

數(shù)學(xué)試卷中客觀題具有覆蓋面廣、指向明確、多樣靈活等特點(diǎn)，可以多角度、多視點(diǎn)、多層次地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和潛能，特別是選擇題、填空題最后一題在一定程度上都能彰顯整份試題的特色，在試題的創(chuàng)新立意方面起到了窗口的作用，下面略談幾點(diǎn)體會(huì)，權(quán)當(dāng)拋磚引玉.

1基礎(chǔ)知識(shí)是創(chuàng)新的源泉

基礎(chǔ)知識(shí)包括課本上的定義、公理、定理，很多創(chuàng)新型題目的設(shè)計(jì)都來(lái)自于課本，并且“高”于課本，考查其內(nèi)涵及外延及其應(yīng)用能力.

例1設(shè)某幾何體的三視圖如圖1所示（尺寸的長(zhǎng)度單位為m）：則該幾何體的體積為m3.

圖1解析結(jié)合三視圖繪出直觀圖，過(guò)B、P分別作AC的垂線，垂足分別為D、E，由三視圖可得PE⊥平面ABC，BD=3，PE=2，VP-ABC=13×12×4×3×2=4.

例2若函數(shù)f（x）的零點(diǎn)與g（x）=4x+2x-2的零點(diǎn)之差的絕對(duì)值不超過(guò)0.25，則f（x）可以是（）.

A.f（x）=4x-1B.f（x）=（x-1）2

C.f（x）=ex-1D.fx=lnx-12

解析f（x）=4x-1的零點(diǎn)為x=14，f（x）=（x-1）2的零點(diǎn)為x=1，f（x）=ex-1的零點(diǎn)為x=0，fx=lnx-12的零點(diǎn)為x=32.現(xiàn)在我們來(lái)估算g（x）=4x+2x-2的零點(diǎn)，因?yàn)間0=-1，g（12）=1，所以gx的零點(diǎn)x∈0，12，又函數(shù)f（x）的零點(diǎn)與g（x）=4x+2x-2的零點(diǎn)之差的絕對(duì)值不超過(guò)0.25，只有f（x）=4x-1的零點(diǎn)適合，故選A.

點(diǎn)評(píng)解決例1的關(guān)鍵是理解三視圖的定義，從三視圖中讀出直觀圖的形狀及數(shù)量關(guān)系.例2主要考查零點(diǎn)存在定理.

2在知識(shí)的交叉點(diǎn)處創(chuàng)新

要注意知識(shí)的交叉點(diǎn)和結(jié)合點(diǎn).數(shù)學(xué)知識(shí)之間存在縱向和橫向的有機(jī)聯(lián)系，例如，函數(shù)和不等式，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，函數(shù)與方程，函數(shù)與數(shù)列；又如，三角函數(shù)與數(shù)列，三角函數(shù)與立體幾何；再如，平面向量與函數(shù)，平面向量與解析幾何，平面向量與物理等.這些交叉點(diǎn)都將成為創(chuàng)新命題的發(fā)源地.

例3設(shè)-1≤b≤1，-1≤c≤1，則關(guān)于x的方程x2+bx+c=0有實(shí)根的概率是.

解析此題是線性規(guī)劃與幾何概型相結(jié)合的題目.畫(huà)出可行域-1≤b≤1，

-1≤c≤1，

b2≥4c，如圖2所示：

先求出滿足條件的陰影部分的面積S1=∫1-1b24db+2=136，總面積為S=4，所以P=S1S=1324.

點(diǎn)評(píng)求解幾何概型的思路與古典概型基本一致，解決這類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵是先要判斷其類(lèi)型，分清是長(zhǎng)度型、面積型、還是體積型，然后套用計(jì)算公式，尤其是面積型，有時(shí)需要借助直角坐標(biāo)系來(lái)研究.本題以一元二次方程的根為載體，將幾何概型問(wèn)題與線性規(guī)劃、定積分相結(jié)合進(jìn)行考查，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力.

2在數(shù)學(xué)思想方法上創(chuàng)新

數(shù)學(xué)思想方法作為數(shù)學(xué)的精髓，是高考數(shù)學(xué)考查的重中之重.數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括，具有高度的概括性、隸屬性、層次性、遷移性等特點(diǎn).是命題創(chuàng)新的最高境界.

例4設(shè)方程3x=lg-x的兩個(gè)根為x1，x2，則（）.

A.x1x2<0B.x1x2=0

C.x1x2>1D.0

解析不妨設(shè)x2

例5已知x2a2-y2b2=1a>0，b>0，M、N，是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，P是雙曲線上的任意一點(diǎn)，且直線PM、的斜率分別為k1、k2k1k2≠0，若橢圓的離心率為52，則k1+k2的最小值為.

解析設(shè)Mx0，y0、Px，y，由于M，N在雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則N-x0，-y0，k1+k2=y-y0x-x0+y+y0x+x0≥2y2-y20x2-x20，因?yàn)镸x0，y0、Px，y在雙曲線上，所以x2a2-y2b2=1，①

x20a2-y20b2=1.②①-②得y2-y20x2-x20=b2a2=c2-a2a2=e2-1=14，k1+k2≥1，故答案為1.

點(diǎn)評(píng)例4主要運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思想，根據(jù)圖形界定x1，x2的范圍是關(guān)鍵；例2主要采用了“點(diǎn)差法”的基本思想.

4在生活應(yīng)用上創(chuàng)新

隨著課改的進(jìn)一步深入，高考試題對(duì)數(shù)學(xué)能力的要求不再局限于通常所說(shuō)的計(jì)算能力，邏輯思維能力和空間想象能力，而是更加關(guān)注數(shù)學(xué)應(yīng)用的能力，利用所學(xué)的知識(shí)去解決生活中的實(shí)際問(wèn)題.以實(shí)際生活作為背景的題目是常考常新的，因此可以說(shuō)數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中應(yīng)用型題目是創(chuàng)新的歸宿.

例6如圖3所示，由于環(huán)境污染，某池塘中的浮萍蔓延的面積（m2）與時(shí)間t（月）的關(guān)系：y=at，有以下敘述：

圖3①這個(gè)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)是2；

②第5個(gè)月時(shí)，浮萍的面積就會(huì)超過(guò)30m2；

③浮萍從4m2蔓延到12m2需要經(jīng)過(guò)15個(gè)月；

④浮萍每個(gè)月增加的面積都相等.其中正確的是（）.

A.①②③B.①②③④

C.②③④D.①②

解析將2，4代入函數(shù)表達(dá)式中可得a=2，第5個(gè)月浮萍的面積為25=32>30，由23.5<12，所以③不正確，故答案為D.

例7某海域內(nèi)有一孤島.島四周的海平面（視為平面）上有一淺水區(qū)（含邊界），其邊界是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a、短軸長(zhǎng)為2b的橢圓.已知島上甲、乙導(dǎo)航燈的海拔高度分別為h1、h2，且兩個(gè)導(dǎo)航燈在海平面上的投影恰好落在橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)上.現(xiàn)有船只經(jīng)過(guò)該海域（船只的大小忽略不計(jì)），在船上測(cè)得甲、乙導(dǎo)航燈的仰角分別為θ1、θ2，那么船只已進(jìn)入該淺水區(qū)的判別條件是.

解析由已知船到甲投影所在焦點(diǎn)的距離為h1tanθ1，船到乙投影所在焦點(diǎn)的距離為h2tanθ2，若船進(jìn)入橢圓形成的淺水區(qū)，h1tanθ1+h2tanθ2≤2a.

點(diǎn)評(píng)例6考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及相關(guān)的計(jì)算，例7考查了橢圓的定義，把實(shí)際問(wèn)題順利轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題是解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵.

5在推理證明的形式及內(nèi)容上創(chuàng)新

在高中數(shù)學(xué)的知識(shí)體系中，邏輯推理的形式多種多樣，可以通過(guò)正常推理渠道，也可以通過(guò)算法、框圖等進(jìn)行推理，其內(nèi)容更是廣泛存在，就類(lèi)比推理來(lái)說(shuō)，可以跨越各個(gè)種類(lèi)進(jìn)行不同類(lèi)事物的類(lèi)比，可以比較本質(zhì)的特征，也可以比較非本質(zhì)的特征.

例8一個(gè)計(jì)算裝置有兩個(gè)數(shù)據(jù)輸入口Ⅰ、Ⅱ與一個(gè)運(yùn)算結(jié)果輸出口Ⅲ，當(dāng)Ⅰ、Ⅱ分別輸入正整數(shù)m，n時(shí)，輸出結(jié)果記為f（m，n），且計(jì)算裝置運(yùn)算原理如下：①若Ⅰ、Ⅱ分別輸入1，則f（1，1）=1；②若Ⅰ輸入固定的正整數(shù)，Ⅱ輸入的正整數(shù)增大1，則輸出結(jié)果比原來(lái)增大3；③若Ⅱ輸入1，Ⅰ輸入正整數(shù)增大1，則輸出結(jié)果為原來(lái)3倍.則f（m，n）=.

解析fm，1=3fm-1，1=32fm-2，1=…=3m-1f1，1=3m-1，

fm，n=fm，n-1+3=fm，n-2+3×2=…=fm，1+3n-1=3m-1+3n-1.

例9在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，可得AB+AC=2AD，類(lèi)比到空間中，已知在四面體P—ABC中，D為△ABC的重心，則可得到的結(jié)論為.

圖4解析PD=PA+AD，PD=PB+BD，PD=PC+CD，以上三式相加得3PD=PA+PB+PC+AD+BD+CD，由于D為△ABC的重心，得AD+BD+CD=0，所以答案應(yīng)為PA+PB+PC=3PD.

點(diǎn)評(píng)這類(lèi)題目注重考查學(xué)生思維水平，可以深刻地揭示知識(shí)的內(nèi)涵，拓展其外延，對(duì)增強(qiáng)知識(shí)間的聯(lián)系，理解和掌握新知識(shí)，培養(yǎng)邏輯推理能力和提高解題應(yīng)變能力是非常有益的.

6在概念及運(yùn)算符號(hào)上創(chuàng)新

高考在命題上不但考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握與應(yīng)用能力，而且考查學(xué)生的繼續(xù)學(xué)習(xí)能力，因此在試題的設(shè)計(jì)中常常給出新的概念及運(yùn)算符號(hào)，其中部分試題通常以高等數(shù)學(xué)內(nèi)容為背景，依托于中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，但是一般都是起點(diǎn)高、落點(diǎn)低，其題型設(shè)計(jì)包括新概念、新定義、新定理和新規(guī)則等，考查在新的信息、新的情境下，獨(dú)立獲取和運(yùn)用新信息的能力，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力和探索能力.

例10對(duì)于使f（x）≤M成立所有常數(shù)M中，我們把M的最小值叫做f（x）的上確界，若a，b∈R+，且a+b=1，則-12a-2b的上確界為（）.

A.92B.-92C.14D.-4

解析-12a-2b=-（a+b）（12a+2b）=-（52+b2a+2ab）≤-92，當(dāng)且僅當(dāng)a=15，b=45時(shí)等號(hào)成立，所以M≥-92，-12a-2b的上確界為-92.故答案為B.

例11設(shè)S是至少含有兩個(gè)元素的集合.在S上定義了一個(gè)二元運(yùn)算“*”（即對(duì)任意的a，b∈S，對(duì)于有序元素對(duì)（a，b），在S中有唯一確定的元素a*b與之對(duì)應(yīng)）.若對(duì)任意的a，b∈S，有a*（b*a）=b，則對(duì)任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是（）.

A.（a*b）*a=a

B.[a*（b*a）]*（a*b）=a

C.b*（b*b）=b

D.（a*b）*[b*（a*b）]=b

解析此題只有一個(gè)已知條件：a*（b*a）=b.B中a*（b*a）=b原式變?yōu)閎*（a*b）=a，成立，C中相當(dāng)于已知條件中a替換為b，明顯成立，D中，b*（a*b）=a，原式變?yōu)椋╝*b）*a=b成立.故答案為A.

點(diǎn)評(píng)解決這類(lèi)問(wèn)題，能透徹理解新概念、新的運(yùn)算法則及運(yùn)算形式是關(guān)鍵，并能對(duì)其應(yīng)用是根本.

以上的創(chuàng)新試題，命題的思想既貼近中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)實(shí)際和考生的思維發(fā)展?fàn)顩r，又源于教材且不照搬教材；既突出選拔性，又注重正本清源、返璞歸真的導(dǎo)向性.培養(yǎng)學(xué)生在新的信息和情境下，綜合運(yùn)用所學(xué)的舊知識(shí)和思想方法，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析、探究，并創(chuàng)造性地解決的能力.因此學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中要經(jīng)常注意聯(lián)舊引新、遇新想舊，最終能在舊知識(shí)的基礎(chǔ)上，用他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、探索能力和創(chuàng)新能力輕松獲得新知識(shí).