中考對(duì)分式考查的新題型探析

?江蘇省南京市金陵中學(xué)河西分校 滕麗娜

近幾年的中考試題中,出現(xiàn)了真假分式、探究分式值的正負(fù)、比較分式的大小、參數(shù)法求分式的值等新題型,這有利于加強(qiáng)學(xué)生對(duì)分式性質(zhì)、分式運(yùn)算的掌握,開闊學(xué)生的視野,提高學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)與能力.

1 真假分式

在分?jǐn)?shù)中,分子小于分母的分?jǐn)?shù)是真分?jǐn)?shù),分子大于分母的分?jǐn)?shù)是假分?jǐn)?shù),由整數(shù)和真分?jǐn)?shù)組成的數(shù)是帶分?jǐn)?shù).在分式中實(shí)際上也存在類似的情形,并且把一個(gè)假分式化為一個(gè)帶分式,有利用討論分式值.

例1閱讀下列材料:

解決下列問題:

評(píng)注：求二次三項(xiàng)式ax2+bx+c的最值,就是求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的最值;一個(gè)正分?jǐn)?shù),分子一定,當(dāng)分母最小時(shí)分?jǐn)?shù)的值最大;兩數(shù)相減,被減數(shù)一定,當(dāng)減數(shù)最大時(shí)差最小.以上三個(gè)結(jié)論,都是學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中應(yīng)積累的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn).

2 比較分式的大小

比較不含字母的分?jǐn)?shù)的大小時(shí),可以化為小數(shù),也可以通分后比較分子.如何比較含字母的分式的大小關(guān)系呢?方法是作差法.

例2閱讀下面解題方法:如何比較兩個(gè)代數(shù)式的大小呢?“作差法”是一種常用的解決方法,也就是將兩個(gè)代數(shù)式相減,并對(duì)結(jié)果進(jìn)行討論探究,確定差的符號(hào),從而得到原代數(shù)式的大小關(guān)系,如,比較代數(shù)式P,Q的大小時(shí),求它們的差P-Q,當(dāng)P-Q>0時(shí),則P>Q;當(dāng)P-Q=0時(shí),P=Q;當(dāng)P-Q<0時(shí),則P

根據(jù)上述解題思路,嘗試解決下面兩個(gè)生活實(shí)際問題:

(1)甲、乙兩同學(xué)去商場(chǎng)購買同一種產(chǎn)品,且每位同學(xué)都購買了兩次.甲同學(xué)每次都購買了mkg的產(chǎn)品,乙同學(xué)每次都購買了n元的產(chǎn)品,當(dāng)他們第一次購買該產(chǎn)品時(shí),價(jià)格都是a元/kg,第二次購買該產(chǎn)品時(shí),價(jià)格都是b元/kg,且a不等于b,那么甲同學(xué)兩次購買該產(chǎn)品的平均價(jià)格與乙同學(xué)兩次購買該產(chǎn)品的平均價(jià)格哪位高呢?

(2)王大媽用自己的小米去市場(chǎng)上兌換大米,改善自己的生活,兌換的方法是2 kg小米可以換1 kg大米,老板連籃子帶小米稱得20 kg,商店老板又連籃子和大米給王大媽10 kg大米,那么在這個(gè)交易的過程中,是王大媽吃虧,還是商店老板吃虧?

3 “參數(shù)法”求值

“參數(shù)法”就是將其中一個(gè)關(guān)鍵的量設(shè)為未知數(shù),然后根據(jù)條件求出未知數(shù),從而使問題得以解決.當(dāng)幾個(gè)比值彼此都相等時(shí),可設(shè)這個(gè)比值為k,然后通過解方程組求得k的值.

根據(jù)上述的參數(shù)法,解決下面的問題:

故6(a+b)=6k(a-b),3(b+c)=6k(b-c),2(c+a)=6k(c-a).

所以6(a+b)+3(b+c)+2(c+a)=0,即8a+9b+5c=0.

評(píng)注：本題在解答過程中充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,如先將連等的比轉(zhuǎn)化為一個(gè)方程組,然后將方程組轉(zhuǎn)化為一個(gè)方程,然后解方程求字母的值.問題(1)(2)在轉(zhuǎn)化時(shí)采用了不同的策略,問題(1)將三個(gè)方程直接相加,問題(2)是將三個(gè)方程變形后再相加.

本文中的三個(gè)實(shí)例都是對(duì)分式的二次開發(fā)和利用,需要學(xué)生感受到知識(shí)雖然是固定不變的,但運(yùn)用時(shí)要靈活處理,根據(jù)不同的條件,作出相應(yīng)的變通.這樣的問題有助于拓寬學(xué)生思維,提高學(xué)生創(chuàng)新處理問題的能力.