關(guān)于（N）模糊積分的Chebyshev型不等式

岳田

摘要 通過(guò)對(duì)被積函數(shù)添加適當(dāng)條件，得到了（N）模糊積分意義下的Chebyshev型不等式，然后在次可加模糊測(cè)度條件下分別給出了被積函數(shù)取大和相加的相應(yīng)不等式的形式.

關(guān)鍵詞Chebyshev型不等式；（N）模糊積分；次可加模糊測(cè)度

中圖分類(lèi)號(hào)O159文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A文章編號(hào)10002537（2015）01008604

自從Sugeno引進(jìn)模糊測(cè)度和模糊積分[1]的概念后，許多學(xué)者通過(guò)使用特殊的算子代替模糊積分中的取小算子，得到很多其他形式的模糊積分.如楊慶季[2]定義了泛積分，宋曉秋[3，4]定義了（T）模糊積分，劉萬(wàn)利[5]由一維情形推廣到多維情形，趙汝懷[6]用普通的乘法代替取小運(yùn)算得到（N）模糊積分，王震源[7]對(duì)相關(guān)模糊測(cè)度和積分理論進(jìn)行了綜合論述.

作為一種分析手段，積分不等式在理論分析和應(yīng)用領(lǐng)域中發(fā)揮了重要作用，例如文獻(xiàn)[8]，積分不等式在時(shí)間序列計(jì)算中扮演很重要的角色.根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需要，很多學(xué)者將經(jīng)典的積分不等式推廣到了模糊積分中，詳見(jiàn)文獻(xiàn)[912].

論文的目的是研究（N）模糊積分下的Chebyshev型不等式.在研究任意模糊測(cè)度空間意義下的（N）模糊積分下的Chebyshev型不等式的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步得到其他幾個(gè)和次可加模糊測(cè)度相關(guān)的Chebyshev型不等式.

1預(yù)備知識(shí)

定義11[8] 設(shè)（Ω，）是可測(cè)空間，若集合映射μ：→R+滿(mǎn)足：

（1） μ（）=0；

（2） 若E，F(xiàn)∈且EF，則μ（E）≤μ（F）；

（3） 若{En}，E1E2…，則limn→∞μ（En）=μ（∪∞n=1En）；

（4） 若{En}，E1E2…，μ（E1）<∞，則limn→∞μ（En）=μ（∩∞n=1En）.

那么，稱(chēng)μ為模糊測(cè)度，稱(chēng)（Ω，，μ）為模糊測(cè)度空間.

記Fα={x∈X：f（x）≥α}={x∈X：f≥α}.容易得到，若α≤β，則FβFα.記M+為非負(fù)可測(cè)函數(shù).

定義12[6] 設(shè)（X，，μ）是模糊測(cè)度空間，A∈且f∈M+，則f在非空集合A上的（N）模糊積分定義如下：

（N）∫Afdμ=∨α≥0[α·μ（A∩Fα）]，

其中∨為取大算子，·為普通乘法.

由于（N）模糊積分是一種非線性積分，因此通常情況下，

（N）∫（af+bg） dμ≠a（N）∫fdμ+b（N）∫gdμ.

下面簡(jiǎn)單列出文章證明過(guò)程中所要用到的（N）模糊積分性質(zhì)，相關(guān)的性質(zhì)可參考文獻(xiàn)[6].

性質(zhì)11設(shè)（X，，μ）是模糊測(cè)度空間，f，g∈M+且A，B∈，則

（1） （N）∫Akdμ=k·μ（A）， 其中，k為任意非負(fù)實(shí)值常數(shù).

（2） 若f≤g，則（N）∫Afdμ≤（N）∫Agdμ；

（3） 若AB，則（N）∫Afdμ≤（N）∫Bfdμ.

2（N）模糊積分下的Chebyshev型不等式

Lebesgue積分下的Chebyshev型不等式為

μ（{x∈X：f（x）≥c}）≤1c2∫Xf2dμ.

其中f為非負(fù)可積函數(shù)，c>0.

由于Lebesgue積分是一種線性積分，Lebesgue積分下的Chebyshev型不等式很容易證明.事實(shí)上，取X={x∈X：f（x）≥c}則

∫Xf2dμ=∫Xf2dμ+∫X-Xf2dμ≥∫Xf2dμ≥∫Xc2dμ=c2·μ（X）.

然而，下面一個(gè)反例可以說(shuō)明（N）模糊積分下Chebyshev型不等式不成立.

例1若μ是X上的模糊測(cè)度，取f（x）=3對(duì)任意x∈X都成立，則

μ（{x∈X：f（x）≥9}）≤μ（{x∈X：f（x）≥3}）.

證取X={x∈A：f（x）≥9}，由性質(zhì)（1）和（3）得

19（N）∫Xf2dμ=19（N）∫X9dμ=μ（{x∈X：f（x）≥9}）≤3·μ（{x∈X：f（x）≥3}）=（N）∫Xfdμ.

下面，通過(guò)增加限制條件給出（N）模糊積分下Chebyshev型不等式.

定理21（（N）模糊積Chebyshev型不等式）. 若μ：→[0，∞）是模糊測(cè)度，0

μ（{x∈A：f（x）≥c}）≤1c2（N）∫Af2dμ.

證取A={x∈A：f（x）≥c}. 因?yàn)?

μ（{x∈A：f（x）≥c}）≤μ（{x∈A：f（x）≥c2}），

由性質(zhì)11，得

（N）∫Af2dμ≥（N）∫Af2dμ≥（N）∫Ac2dμ=c2·μ（A），

因此

μ（A）≤1c2（N）∫Af2dμ.

即

μ（{x∈A：f（x）≥c}）≤1c2（N）∫Af2dμ.

注若μ：→[0，∞）是X上的模糊測(cè)度，且f（x）=1對(duì)任意x∈X都成立，當(dāng)c=1有

μ（{x∈X：f（x）≥1}）=112（N）∫Xf2dμ=（N）∫X12dμ.

下面，由推論的形式給出（N）模糊積分下的Markov不等式.

推論21若μ：→[0，∞）是模糊測(cè)度，0

μ（{x∈A：f（x）≥c}）≤1c（N）∫Afdμ.

證因?yàn)閒≥0且0

μ（{x∈A：f（x）≥c}）=μ（{x∈A：f（x）≥c}），

由定理21得

μ（{x∈A：f（x）≥c}）=μ（{x∈A：f（x）≥c}）≤1（c）2（N）∫A（f（x））2dμ=1c（N）∫Afdμ.

我們將上述結(jié)論進(jìn)行推廣，得到如下結(jié)論成立.

定理22若μ：→[0，∞）是模糊測(cè)度，f：X→[0，∞）μ可測(cè).在（0，∞）上g：[0，∞）→[0，1]是單調(diào)不減函數(shù)且g≠0， 則對(duì)任意A∈，c>0有

μ（{x∈A：f（x）≥c}）≤1g（c）（N）∫Agfdμ.

證因?yàn)锳∈，c>0，取A={x∈A：f（x）≥c}， 由于g是單調(diào)不減函數(shù)，所以對(duì)x∈A，g（f（x））≥g（c），由性質(zhì)（1），（2），（3）有

（N）∫Agf（x）dμ≥（N）∫Agf（x）dμ≥（N）∫Ag（c）dμ=g（c）·μ（A）.

即

μ（{x∈A：f（x）≥c}）≤1g（c）（N）∫Agfdμ.

定義21設(shè)（Ω，）是可測(cè)空間，模糊測(cè)度滿(mǎn)足條件：

μ（A∪B）≤μ（A）+μ（B），

其中（A∪B）∈，A∈，B∈，稱(chēng)μ為次可加測(cè)度.

在測(cè)度滿(mǎn)足次可加條件下，我們得到下面一些結(jié)論.

定理23若μ：→[0，∞）是滿(mǎn)足次可加條件的模糊測(cè)度， 0

μ{x∈A，max（f，g）（x）≥c}≤（1c（N）∫Afdμ）+（1c（N）∫Agdμ），

其中max（f，g）（x）=max（f（x），g（x））.

證因?yàn)閧x∈A：max（f，g）（x）≥c}{x∈A：f（x）≥c}∪{x∈A：g（x）≥c}，

由模糊測(cè)度的次可加條件和定理22，得

μ（{x∈A，max（f，g）（x）≥c}）≤μ（{f（x）≥c}∪{g（x）≥c}）≤μ（{f（x）≥c}）+

μ（{g（x）≥c}） ≤（1c（N）∫Afdμ）+（1c（N）∫Agdμ）.

推論22若μ：→[0，∞）是模糊測(cè)度且滿(mǎn)足次可加條件，0

μ{x∈A：max1≤i≤n（fi）（x）≥c}≤1c∑ni=1（N）∫Afidμ.

當(dāng)可積函數(shù)是兩個(gè)非負(fù)可積函數(shù)之和時(shí)，得到下面定理.

定理24若μ：→[0，∞）是模糊測(cè)度滿(mǎn)足次可加條件，0

μ{x∈A，f（x）+g（x）≥c}≤（2c（N）∫Afdμ）+（2c（N）∫Agdμ）.

證因?yàn)閒+g≤2max（f，g）， 由定理 3，得

μ{x∈A：f（x）+g（x）≥c}≤μ（{x∈A：2max（f，g）≥c}）=μ（{x∈A：max（f，g）≥c2}）≤

2c（N）∫Afdμ++2c（N）∫Agdμ.

推論23若μ：→[0，∞）是模糊測(cè)度滿(mǎn)足次可加條件， 0

μ{x∈A，∑ni=1（fi）（x）≥c}≤nc∑ni=1（N）∫Afidμ.

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（編輯胡文杰）