幾何Levy市場下的最優(yōu)投資與超額損失再保險

鄧迎春　尹細(xì)宏

摘要 研究了跳擴(kuò)散模型下的最優(yōu)超額損失再保險與投資問題，其中以最大化保險公司終端財富的期望指數(shù)效用為目標(biāo).假定保險公司可以將資產(chǎn)投資到風(fēng)險市場和無風(fēng)險市場，風(fēng)險資產(chǎn)的瞬時收益率由幾何Levy 過程刻畫. 利用隨機(jī)控制理論，得到了最優(yōu)策略及其值函數(shù)的精確表達(dá)式，并通過算例分析得到了最優(yōu)策略與相關(guān)參數(shù)的關(guān)系.

關(guān)鍵詞隨機(jī)控制；投資組合；幾何Levy過程；指數(shù)效用函數(shù)；超額損失再保險

中圖分類號O2313文獻(xiàn)標(biāo)識碼A文章編號10002537（2015）01006407

近些年來，各種風(fēng)險模型下的最優(yōu)投資與再保險問題得到了許多學(xué)者的青睞，許多學(xué)者站在保險公司的立場考慮了各種目標(biāo)下的最優(yōu)再保險與投資問題，其中最常用的目標(biāo)函數(shù)有最大化保險公司終端財富期望效用和最小破產(chǎn)概率，利用隨機(jī)控制理論為主要工具進(jìn)行了一系列研究，得到了一系列豐富結(jié)果.文獻(xiàn)[1～2]分別研究了擴(kuò)散模型和跳擴(kuò)散模型下的最優(yōu)投資問題，求得了以終端財富的指數(shù)期望效用最大、破產(chǎn)概率最小兩個目標(biāo)下的最優(yōu)投資策略的解析式.文獻(xiàn)[3]基于擴(kuò)散模型下討論了最優(yōu)比例再保險問題， 求得以最小破產(chǎn)概率為目標(biāo)的最優(yōu)再保險策略的解析式， 并通過實例闡述了文章主要結(jié)論.此外，許多學(xué)者還考慮了其他最優(yōu)值問題.如均值方差問題等[46].

在此研究基礎(chǔ)上， 很多學(xué)者將再保險與投資相結(jié)合， 研究了在不同的投資市場采用不同的再保險方法的最優(yōu)再保險與投資問題.文獻(xiàn) [7]研究了跳擴(kuò)散模型下的最優(yōu)比例再保險與投資問題，其風(fēng)險資產(chǎn)的價格由CEV模型來刻畫，以終端財富期望指數(shù)效用最大為目標(biāo)，得到了最優(yōu)策略與值函數(shù)的解析式.文獻(xiàn)[8]研究了以最大化終端財富期望指數(shù)效用為目標(biāo)的最優(yōu)比例再保險與投資問題，其中風(fēng)險資產(chǎn)的價格由O—U過程刻畫，分別得到了擴(kuò)散模型和跳擴(kuò)散模型下的最優(yōu)策略與值函數(shù)的解析式.文獻(xiàn)[9]基于跳擴(kuò)散模型，考慮了最優(yōu)比例再保險與投資問題，風(fēng)險資產(chǎn)的價格由幾何Levy過程刻畫，得到了最優(yōu)策略與值函數(shù)的解析式.文獻(xiàn)[10]考慮了擴(kuò)散模型下的最優(yōu)超額損失再保險與投資問題，以終端財富期望指數(shù)效用最大為目標(biāo)，其風(fēng)險資產(chǎn)的價格由CEV模型刻畫，求得了最優(yōu)策略與最優(yōu)值函數(shù).

以上文獻(xiàn)或只考慮了跳擴(kuò)散模型下的比例再保險與投資問題，或只考慮了擴(kuò)散模型下的超額損失再保險與投資問題，而沒有考慮跳擴(kuò)散模型下的超額損失再保險與投資問題.因此本文研究了跳擴(kuò)散模型下的超額損失再保險與投資問題，以最大化保險公司終端財富的指數(shù)期望效用值為目標(biāo)，假定允許保險公司將資產(chǎn)投資到風(fēng)險市場和無風(fēng)險市場，其風(fēng)險資產(chǎn)的價格由幾何Levy過程刻畫，利用隨機(jī)控制理論，求解相應(yīng)的HJB方程，得到了最優(yōu)策略和最優(yōu)值函數(shù)的解析式.

1模型的建立和介紹

設(shè)（Ω，F(xiàn)，P，{Ft}0≤t≤T）是一個滿足通常條件的完備概率空間， 其中T為給定的一個正有限投資期限；Ft 表示到時刻t的信息流.假設(shè)文中所引用的隨機(jī)過程均為定義在概率空間上的適應(yīng)過程.

假設(shè)保險公司的盈余過程如下：

R（t）=x+ct-∑N1（t）i=1Yi+βW（1）t，

其中x≥0表示初始資產(chǎn)，c表示的是保險率，{N1（t），0≤t≤T}表示的是一個強(qiáng)度為λ1的齊次泊松過程；N1（t）表示時刻t發(fā)生的索賠次數(shù)，{Yi，i=1，2，…}是一列獨立同分布的有界隨機(jī)變量；F（y）表示Yi的分布函數(shù)，D=inf{y：F（y）≥1}<+∞，假定有 ，F(xiàn)（0）=0，當(dāng)00表示的保險公司的相對安全負(fù)荷系數(shù).

用a表示保險公司的固定的超額損失預(yù)留水平，Yia = min{ Yi ，a} 表示由保險公司所承擔(dān)的索賠.加入再保險之后保險公司的盈余過程為

a（t）=x+cat-∑N1（t）i=1Yai+βW（1）t，

其中保費率

ca=（1+η）λ1μ∞-（1+θ）λ1（μ∞-EYai）=（η-θ）λ1μ∞+λ1（1+θ）EYai.

其中θ表示再保險的安全負(fù)荷系數(shù)，假設(shè)θ>η，根據(jù)文獻(xiàn)[11]，這個盈余過程at能被下面的擴(kuò)散過程逼近

dRa（t）=λ1（θμ（a）+（η-θ）μ∞）dt+λ1σ（a）dB（t）+βW（1）t，

其中{B（t），t≥0}為一標(biāo)準(zhǔn)布朗運動且

μ（a）=EYai=∫a0（1-F（x））dx=∫a0（x）dx，

σ2（a）=E（Yai）2=∫a02x（1-F（x））dx=∫a02x（x）dx.

另外，假設(shè)保險公司在金融市場投資兩種資產(chǎn)，分別為無風(fēng)險資產(chǎn)和風(fēng)險資產(chǎn).其中無風(fēng)險資產(chǎn)S（t）的價格由下面模型描述：

dS（t）=rS（t）dt，

其中r>0表示無風(fēng)險資產(chǎn)利率.對于風(fēng)險資產(chǎn)的價格P（t），考慮由一個幾何Levy過程描述，具體表達(dá)方式如下：

dP（t）=P（t）（μ1dt+σ1dW（2）t+∫RzN（dt，dz）），

其中W（2）t都表示為一標(biāo)準(zhǔn)布朗運動，其中μ1≥r，σ1都是正常數(shù)，∫t0∫RzN（ds，dz） 是一個復(fù)合泊松過程，有

∫t0∫RzN（ds，dz）=∑N2（t）i=1Zi，

{N2（t），0≤t≤T}是一個參數(shù)λ2>0的泊松過程，{Zi，i=1，2，…}是一列獨立同分布的隨機(jī)變量.分布函數(shù)為G（z），密度函數(shù)g（z）.假定{Yi，i=1，2，…}， {N1（t），0≤t≤T}，{Zi，i=1，2，…}和{N2（t），0≤t≤T}之間是相互獨立的，W（1）t和W（2）t的相關(guān)系數(shù)為ρ，B（t）與W（1）t， W（2）t相互獨立.

令b（t）表示保險公司在t時刻投資在風(fēng)險市場中的數(shù)量，其余的資產(chǎn)則都投資在無風(fēng)險市場中.記π={π（t）=（a（t），b（t））：t∈[0，T]}表示保險公司在t時刻采取的再保險和投資策略.采用策略π之后，保險公司的財富盈余過程X（t）為

dX（t）=b（t）dS（t）S（t）+（X（t）-b（t））dP（t）P（t）+dRa（t）=

[b（t）μ1+（X（t）-b（t））r+λ1（θμ（a）+（η-θ）μ∞）]dt+b（t）σ1dW（2）t+

λ1σ（a）dB（t）+βdW（1）t+b（t）∫RzN（dt，dz））.

一個策略π，假設(shè)滿足t∈[0，T]，（a（t），b（t））關(guān)于Ft是循序可測的，a（t）∈[0，D]，E[∫∝0b2（t）dt]<∝則稱策略是可行的，定義Π表示所有可行策略，Π_={b（t）：π∈Π，a（t）=D}.

2最終財富的效用最大化問題

本文假設(shè)保險公司的目標(biāo)是最大化終端財富的期望效用值，即T時刻盈余的期望效用值，保險公司考慮如下指數(shù)效用函數(shù)

U（x）=ξ-kve-vx，

其中ξ，k>0，v>0為連續(xù)常數(shù)，v為絕對風(fēng)險厭惡系數(shù).指數(shù)效用函數(shù)是在“零效用”的準(zhǔn)則下，唯一能得出獨立于保險公司盈余水平的公平保費的函數(shù).對于給定策略 π={π（t）=（a（t），b（t））}，定義t的目標(biāo)函數(shù)為

Jπ（t，x）=E[U（X（T））|X（t）=x]，

最優(yōu)價值函數(shù)V為

V（t，x）=supπ∈∏Jπ（t，x），

保險公司的目標(biāo)函數(shù)就是找到一個最優(yōu)策略π=（a（t），b（t））使得Jπ（t，x）=V（t，x） ，其中a（t）稱為最優(yōu)再保險策略，b（t）稱為最優(yōu)投資策略.根據(jù)文獻(xiàn)[12]可知，如果價值函數(shù)V（t，x）是一二階連續(xù)可微的函數(shù)，則V（t，x）滿足以下HJB方程

supπ∈∏Λa，bV（t，x）=0，（1）

有邊界條件

V（T，x）=ξ-kve-vx，（2）

其中

Λa，bV（t，x）=Vt+[bμ1+（x-b）r+λ1（θμ（a）+（η-θ）μ∞）Vx+12[b2σ21+

λ1σ2（a）+β2+2bσ1βρ]Vxx+λ2∫+∞-∞[V（t，x+bz）-V（t，x）]G（dz）.

由文獻(xiàn)[2]可知HJB方程的解即為所求問題的最優(yōu)解.

3最優(yōu)結(jié)果

受文獻(xiàn)[1]和[2]的啟發(fā)，可以猜想滿足邊界條件（2）和（1）的解有如下形式

V（t，x）=ξ-kvexp[-vxer（T-t）+h（T-t）]，（3）

其中h（·）是一個待確定的函數(shù)，h（·）確定之后問題（10）式的解也就求得.由邊界條件（11）式可得h（0）=0.根據(jù)（3）式

Vt=[V（t，x）-ξ][vxrer（T-t）-h′（T-t）]，

Vx=[V（t，x）-ξ]（-ver（T-t）），

Vxx=[V（t，x）-ξ]v2e2r（t-t），

∫+∞-∞[V（t，x+bz）-V（t，x）]G（dz）=[V（t，x）-ξ]∫+∞-∞[exp（-bzver（T-t））-1]G（dz）. （4）

將（4）代入（1）式，可以把最優(yōu)問題轉(zhuǎn)化為

infπ∈∏g（a，b）=0， （5）

其中

g（a，b）=-h′（T-t）-ver（T-t）[bμ1-br+λ1θμ（a）+λ1（η-θ）μ∞]+12v2e2r（T-t）

[b2σ21+λ1σ2（a）+β2+2bσ1βρ]+λ2∫+∞-∞[exp（-bzver（T-t））-1]G（dz）.

關(guān)于函數(shù)g（a，b）關(guān)于a求導(dǎo).并令它等于零，有

（-θ+ver（T-t）a（t））（a（t））=0，

先考慮a（t）∈[0，D），有

a（t）=θve-r（T-t），

關(guān)于函數(shù)g（a，b）關(guān)于b求導(dǎo)，并令它等于零，有

μ1-r-ver（T-t）（b（t）σ21+σ1ρβ）+λ2∫+∞-∞zexp（-b（t）zver（T-t））G（dz）=0. （6）

由文獻(xiàn)[2]可得以下引理.

引理1方程（6）有一個有限實根.

由方程（6）與引理1可知就是要求最優(yōu)投資策略b（t），將a（t）和b（t）代入（5）式有

h′（T-t）=-ver（T-t）[（t）μ1-（t）r+λ1θ∫θve-r（T-t）0（x）dx+λ1（η-θ）μ∞]+12v2e2r（T-t）[2（t）σ21+

λ1∫θve-r（T-t）02x（x）dx+β2+2（t）σ1βρ]+λ2∫+∞-∞[exp（-（t）zver（T-t））-1]G（dz）. （7）

由a（t）=θve-r（T-t）θv和D≤θv兩種情況考慮.

（i）當(dāng)D>θv時，易知m>T，當(dāng)0≤t≤T

h（T-t）=-∫TtJ（s）ds，

其中

J（t）=-ver（T-t）[（t）μ1-（t）r+λ1θ∫θve-r（T-t）0（x）dx+λ1（η-θ）μ∞]+12v2e2r（T-t）[2（t）σ21+

λ1∫θve-r（T-t）02x（x）dx+β2+2（t）σ1βρ]+λ2∫+∞-∞[exp（-（t）zver（T-t））-1]G（dz）.

（ii）當(dāng)D≤θv時，易知m≤T，因此當(dāng)0≤t

h1（T-t）=∫t0J（s）ds+c1，

其中c1可由后面得出.

當(dāng)D≤θv和m≤t≤T，取a（t）=D，考慮（5）式可得

infπ∈∏g（D，b）=0，

其中

g（D，b）=-h′（T-t）-ver（T-t）[bμ1-br+λ1ημ∞]+12v2e2r（T-t）

[b2σ21+λ1σ2∞+β2+2bσ1βρ]+λ2∫+∞-∞[exp（-bzver（T-t））-1]G（dz）.

關(guān)于函數(shù)g（a，b）關(guān)于b求導(dǎo)，并令它等于零，有

μ1-r-ver（T-t）（b（t）σ21+σ1ρβ）+λ2∫+∞-∞zexp（-b（t）zver（T-t））G（dz）=0. （8）

由引理1可知方程（8）有一個實根.因此有

h′（T-t）=-ver（T-t）[（t）μ1-（t）r+λ1ημ∞]+12v2e2r（T-t）

[2（t）σ21+λ1σ2∞+β2+2（t）σ1βρ]+λ2∫+∞-∞[exp（-（t）zver（T-t））-1]G（dz）， （9）

并有邊界條件h（0）=0，則（9）式有如下形式的解

h2（T-t）=-∫Ttl（s）ds，

其中

l（t）=-ver（T-t）[（t）μ1-（t）r0+λ1ημ∞]+12v2e2r（T-t）[2（t）σ21+

λ1σ2∞+β2+2（t）σ1βρ]+λ2∫+∞-∞[exp（-（t）zver（T-t））-1]G（dz），

得到c1，利用V（x，t）在t=m處連續(xù)，即有

h1（T-m）=h2（T-m），

可得到

c1=-∫Tml（s）ds-∫m0J（s）ds.

定理1滿足方程式和邊界條件的解由V（t，x）給出，對應(yīng)的最優(yōu)策略π給出，其中

（i）當(dāng)D>θv時，有

V（t，x）=ξ-kvexp[-vxer（T-t）+h（T-t）]，

π=（a（t），b（t））=（θve-r（T-t），（t）），

（ii）當(dāng)D≤θv時，有

V（t，x）=ξ-kvexp[-vxer（T-t）+h1（T-t）]，0≤t

ξ-kvexp[-vxer（T-t）+h2（T-t）]，m≤t≤T，

π=（a（t），b（t））=（θve-r（T-t），（t）），0≤t

（D，（t）），m≤t

其中

h（T-t）=-∫TtJ（s）ds，h2（T-t）=-∫Ttl（s）ds，c1=-∫Tml（s）ds-∫m0J（s）ds，

J（t）=-ver（T-t）[（t）μ1-（t）r+λ1θ∫θve-r（T-t）0（x）dx+λ1（η-θ）μ∞]+12v2e2r（T-t）[2（t）σ21+

λ1∫θve-r（T-t）02x（x）dx+β2+2（t）σ1βρ]+λ2∫+∞-∞[exp（-（t）zver（T-t））-1]G（dz），

l（t）=-ver（T-t）[（t）μ1-（t）r0+λ1ημ∞]+12v2e2r（T-t）[2（t）σ21+λ1σ2∞+β2+2（t）σ1βρ]+

λ2∫+∞-∞[exp（-（t）zver（T-t））-1]G（dz）.

4數(shù)值例子與經(jīng)濟(jì)解釋

本文通過具體的數(shù)值例子對最優(yōu)再保險策略和最優(yōu)投資策略與相關(guān)參數(shù)的關(guān)系進(jìn)行了分析，下文給出在當(dāng)D>θv時情形下的相應(yīng)問題的經(jīng)濟(jì)解釋.D≤θv情形下的敏感度分析類似于D>θv的情形.

假定索賠Y服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，密度函數(shù)為

f（y）=e-y，y≥0.

風(fēng)險投資的價格過程的跳躍尺度Z具有以下密度函數(shù)

g（z）=2pe-2z，z≥0，3qe3z，z<0.

其中p，q>0，p+q=1分別表示向上跳及向下跳的概率.則（8）式變?yōu)?/p>

μ1-r+2λ2p[2+b（t）ver（T-t）]2-3λ2q[3-b（t）ver（T-t）]2-ver（T-t）（b（t）σ21+σ1ρβ）=0.

4.1最優(yōu)超額損失再保險策略

對于最優(yōu)再保險策略的分析，給定基本參數(shù)值T=10，r=0.03，θ=0.3，v=0.05.由圖1～3可知再保險a（t）隨時間t增大而增大.由圖1～2可知a（t）是v，r的減函數(shù)，是θ的增函數(shù).也就是說，當(dāng)風(fēng)險厭惡系數(shù)v或無風(fēng)險資產(chǎn)的利率r增大時，保險公司會采取保守的策略，從而預(yù)留水平a（t）也就越小.當(dāng)再保險公司的安全負(fù)荷系數(shù)θ越大時，保險公司自身的安全負(fù)荷會越低，因此預(yù)留水平a（t）會增大.

圖1v對a（t）的影響圖2r對a（t）的影響 圖3θ對a（t）的影響

Fig.1The effect of v on a（t） Fig.2The effect of r on a（t） Fig.3The effect of θ on a（t）

4.2最優(yōu)投資策略

對于最優(yōu)投資策略的分析，給定基本參數(shù)值T=10，p=23，q=13，λ2=1，ρ=0，β=1，v=0.15，σ1=0.2，r=0.04，μ1=0.1. 由圖4～6可知最優(yōu)投資策略b（t）隨時間t增大而增大.b（t）是關(guān)于v，r，σ1的減函數(shù).也就是說，無風(fēng)險資產(chǎn)的利率r、風(fēng)險厭惡系數(shù)v、風(fēng)險資產(chǎn)的波動率σ1越大時，保險公司投資到風(fēng)險市場的資產(chǎn)數(shù)量就越少，因此b（t）越小.

圖4v對b（t）的影響 圖5r對b（t）的影響圖6σ1對b（t）的影響

Fig.4The effect of v on b（t） Fig.5The effect of r on b（t）Fig.6The effect of σ1 on b（t）

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（編輯陳笑梅）