（D4，D4）等變分歧問題的性質(zhì)

郭瑞芝　肖香蓮

摘要研究狀態(tài)變量和分歧參數(shù)均以緊致Lie群D4為對稱群的等變分歧問題在接觸等價(jià)下的代數(shù)性質(zhì)，給出了（D4，D4）不變函數(shù)芽環(huán)εz，λ（D4，D4）的Hilbert基，得到了（D4，D4）等變映射芽所構(gòu)成的模z，λ（D4，D4）的生成元以及（D4，D4）不變函數(shù)芽環(huán)上的矩陣值映射芽所構(gòu)成的模Ez，λ（D4，D4）的生成元，由此得到在接觸等價(jià)下等變分歧問題切空間的生成元，并對切空間進(jìn)行討論分析得出其余維數(shù)的一個(gè)估計(jì).

關(guān)鍵詞等變分歧問題；軌道切空間；余維數(shù)

中圖分類號(hào)O192文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A文章編號(hào)10002537（2015）01007605

On Properties of Equivariant Bifurcation Problems with （D4，D4）Symmetry

分歧理論是對具有多重解的方程（包括代數(shù)方程、微分方程等）的研究.簡單地說，所謂分歧理論指的是方程解的個(gè)數(shù)隨參數(shù)的變化而變化.而分歧理論與奇點(diǎn)理論有著密切關(guān)聯(lián)，Golubitsky和Schaeffer于1979年發(fā)表的兩篇論文[12]引入了應(yīng)用奇點(diǎn)理論的方法研究分歧問題的思想.Gaffney在文獻(xiàn)[3]中曾指出，對分歧問題進(jìn)行分類所使用的主要工具來自光滑映射芽奇點(diǎn)理論中的相關(guān)技巧.由于在自然科學(xué)中提出的不少問題呈現(xiàn)出某種對稱性，對稱性反映在數(shù)學(xué)中可用群來刻畫，因此在奇點(diǎn)理論中考慮等變映射芽.相應(yīng)地在分歧理論中研究等變分歧問題時(shí)，通常以緊致Lie群作為分歧問題的對稱群.在應(yīng)用奇點(diǎn)理論方法與群論方法研究分歧問題方面，文獻(xiàn)[4]概括了1988年以前的主要研究成果.文獻(xiàn)[5]研究了等變分歧問題的識(shí)別問題，文獻(xiàn)[6]給出了余維為7的含有一組狀態(tài)變量的等變分歧問題的分類.之后人們研究了分歧參數(shù)帶有對稱性的等變分歧問題，文獻(xiàn)[7]研究了含兩個(gè)分歧參數(shù)的等變分歧問題的分類與識(shí)別.當(dāng)然也有些學(xué)者研究了某些狀態(tài)變量和分歧參數(shù)都帶有對稱性的等變分歧問題.文獻(xiàn)[8]給出了余維數(shù)不大于3的

（D3，O（2））等變分歧問題的分類和識(shí)別，文獻(xiàn)[9]給出了余維數(shù)不大于2的（D4，S1）等變分歧問題的分類與識(shí)別，文獻(xiàn)[10]討論了（D6，Z2）等變分歧問題的識(shí)別問題.

受上述工作的啟發(fā)，本文討論的是狀態(tài)變量和分歧參數(shù)的對稱群都為緊Lie群D4的等變分歧問題，得到（D4，D4）不變函數(shù)芽環(huán)εz，λ（D4，D4）的Hilbert基；（D4，D4）等變映射芽構(gòu)成的模z，λ（D4，D4）的生成元，（D4，D4）不變函數(shù)芽環(huán)上的矩陣值映射芽所構(gòu)成的模Ez，λ（D4，D4）的生成元；（D4，D4）等變分歧問題切空間TK（f，D4，D4）和冪單切空間TU（f，D4，D4）的表達(dá)形式，并對等變分歧問題余維數(shù)進(jìn)行估計(jì).

湖南師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)第38卷

第1期

郭瑞芝等：（D4，D4）等變分歧問題的性質(zhì)

1基本概念

設(shè)緊Lie群Γ線性地作用在Rn上，緊Lie群Δ線性地作用在Rk上.光滑函數(shù)芽f：（Rn×Rk，0）→R稱為（Γ，Δ）不變的，如果f（γx，δλ）=f（x，λ），x∈（Rn，0），λ∈（Rk，0），γ∈Γ，δ∈Δ.記所有這種函數(shù)芽所成之集為εx，λ（Γ，Δ）.顯然，εx，λ（Γ，Δ）是具有單位元的交換環(huán).另外，記μx，λ（Γ，Δ）={f∈εx，λ（Γ，Δ）|f（0）=0}，則μx，λ（Γ，Δ）是εx，λ（Γ，Δ）的唯一極大理論.如果光滑映射芽f：（Rn×Rk，0）→Rn滿足：f（γx，δλ）=γf（x，λ），x∈（Rn，0），λ∈（Rk，0），γ∈Γ，δ∈Δ，則稱f為（Γ，Δ）等變映射芽，其中x=（x1，…，xn）稱為狀態(tài)變量，λ=（λ1，…，λk）稱為分歧參數(shù).將所有這樣的等變映射芽所成之集記為x，λ（Γ，Δ）.若映射芽f∈x，λ（Γ，Δ）滿足：f（0，0）=0，（Dxf）（0，0）=0，其中Dxf表示f對x求導(dǎo)，則稱f為狀態(tài)變量以Γ為對稱群，分歧參數(shù)以Δ為對稱群的等變分歧問題，簡稱為等變分歧問題.令Gl（n）表示所有n階非退化方陣構(gòu)成的集合，設(shè)矩陣值映射芽S：（Rn×Rk，0）→Gl（n），滿足S（γx，δλ）γ=γS（x，λ），x∈（Rn，0），λ∈（Rk，0），γ∈Γ，δ∈Δ，則稱其是等變的，記所有這種矩陣值映射芽構(gòu)成的集合為Ex，λ（Γ，Δ）.由文獻(xiàn)[11]知，x，λ（Γ，Δ），Ex，λ（Γ，Δ）均為有限生成的εx，λ（Γ，Δ）模.

設(shè)l為非負(fù)整數(shù)，記μlx，λ（Γ，Δ）={f∈εx，λ（Γ，Δ）|f關(guān)于x，λ直到（l-1）階偏導(dǎo)數(shù)在原點(diǎn)的值均為0}，lx，λ（Γ，Δ）={f∈x，λ（Γ，Δ）|f關(guān)于x，λ直到（l-1）階偏導(dǎo)數(shù)在原點(diǎn)的值均為0}.顯然，x，λ（Γ，Δ）=x，λ（Γ，Δ）∩μlx，λ·ε×nx，λ.類似地，記ελ（Δ）={Λ：（Rk，0）→R|Λ（δλ）=Λ（λ），λ∈（Rk，0），δ∈Δ}，λ（Δ）={Λ：（Rk，0）→Rk|Λ（δλ）=δΛ（λ），λ∈（Rk，0），δ∈Δ}，則λ（Δ）是有限生成的ελ（Δ）模.

記LΓ（Rn）為（Rn，0）上所有Γ等變線性映射芽組成的向量空間，LΓ（Rn）0為LΓ（Rn）∩GL（n）中包含單位元的連通分支，K（Γ，Δ）={（S，X，Λ）|S∈Ex，λ（Γ，Δ），X∈x，λ（Γ，Δ），Λ∈λ（Δ）}，其中S（0，0）∈LΓ（Rn）0，（DxX）（0，0）∈LΓ（Rn）0，（DλΛ）0∈LΔ（Rk）0，規(guī)定其乘法運(yùn)算為：（S2，X2，Λ2）·（S1，X1，Λ1）（x，λ）=（S2（x，λ）·S1（X2（x，λ），Λ2（λ）），X1（X2（x，λ），Λ2（λ）），Λ1Λ2（λ）），易證K（Γ，Δ）在上述乘法運(yùn)算下構(gòu)成一個(gè)群，稱為接觸等價(jià)群.群K（Γ，Δ）在x，λ（Γ，Δ）上的作用定義為：（S，X，Λ）·f（x，λ）=S（x，λ）f（X（x，λ），Λ（λ）），記f的軌道為K（Γ，Δ）·f.

定義11設(shè)f，g∈x，λ（Γ，Δ），若f，g在同一軌道中，則稱f與g是K（Γ，Δ）等價(jià)的，并記為f～g.

由定義知，f～g的充要條件為存在Φ∈K（Γ，Δ），Φ=（S，X，Λ），使得：f（x，λ）=S（x，λ）g（X（x，λ），Λ（λ））.若還有Λ≡id（Rk），則稱f與g是K（Γ，Δ）強(qiáng)等價(jià)的.

定義12軌道K（Γ，Δ）·f在f處的切空間TK（f，Γ，Δ）和限制切空間分別定義為：

TK（f，Γ，Δ）={S·f+（Dxf）X+（Dλf）Λ|S∈Ex，λ（Γ，Δ），X∈x，λ（Γ，Δ），Λ∈λ（Δ）}，

RTK（f，Γ，Δ）={S·f+（Dxf）X|S∈Ex，λ（Γ，Δ），X∈x，λ（Γ，Δ）}.

易證RTK（f，Γ，Δ）是一個(gè)有限生成的εx，λ（Γ，Δ）模，而TK（f，Γ，Δ）一般不是這種模.

定義13若dimRx，λ（Γ，Δ）/TK（f，Γ，Δ）<+∞，則稱分歧問題f∈x，λ（Γ，Δ）為有限余維的，此時(shí)記Codim f=dimRx，λ（Γ，Δ）/TK（f，Γ，Δ）.

由文獻(xiàn)[11]知，若f是有限K（Γ，Δ）余維的，則f是有限K（Γ，Δ）決定的，因此存在非負(fù)整數(shù)l，使得p∈lx，λ（Γ，Δ），有f+p∈K（Γ，Δ）·f這意味著p是“高階頂”，在尋找f的標(biāo)準(zhǔn)形時(shí)可以略去.記

P（f）={p∈lx，λ（Γ，Δ）|g+p～f，g～f}，即P（f）是f的所有“高階項(xiàng)”組成的集合.

定義14εx，λ（Γ，Δ）的理想I稱為內(nèi)蘊(yùn)的，是指g∈I及（Rn×Rk，0）上的坐標(biāo)變換（x，λ）→（X（x，λ），Λ（λ）），有g(shù)（X（x，λ），Λ（λ））∈I，其中X∈x，λ（Γ，Δ），Λ∈λ（Γ）.

x，λ（Γ，Δ）的子模M稱為內(nèi)蘊(yùn)的，是指f∈M，Φ∈K（Γ，Δ），有Φ·f∈M.設(shè)Vx，λ（Γ，Δ）是一個(gè)向量子空間，記ItrV為包含在V中的極大內(nèi)蘊(yùn)子模.

參照文獻(xiàn)[11]，可以證明下面的命題.

命題11對任意g∈x，λ（Γ，Δ），P（g）是x，λ（Γ，Δ）的內(nèi)蘊(yùn)子模.

參照文獻(xiàn)[9]，將等價(jià)群K（Γ，Δ）分解成冪單等價(jià)群U（Γ，Δ）和線性等價(jià)群S（Γ，Δ）.

定義15令S（Γ，Δ）=LΓ（Rn）0×LΓ（Rn）0×LΔ（Rk）0，定義映射：

π：K（Γ，Δ）→S（Γ，Δ），（S，X，Λ）→（S（0，0），（DxX）（0，0），（DλΛ）0）

為K（Γ，Δ）中的元到其線性部分的投影.容易證明，π是滿同態(tài)，其核

U（Γ，Δ）={（S，X，Λ）∈K（Γ，Δ）|S（0，0）=In，（DxX）（0，0）=In，（DλΛ）0=Ik}，

為K（Γ，Δ）的正規(guī)子群.經(jīng)計(jì)算，軌道U（Γ，Δ）·f在f處的冪單切空間為

TU（f，Γ，Δ）=RTU（f，Γ，Δ）+{（Dλf）Λ|Λ∈λ（Δ），（DλΛ）0=0k×k}，

其中RTU（f，Γ，Δ）={S·f+（Dxf）X·f|S∈Ex，λ（Γ，Δ），X∈x，λ（Γ，Δ），S（0，0）=0k×k，（DxX）（0，0）=0k×k}，這里0n，0k分別表示n×n，k×k零矩陣.由文獻(xiàn)[11]中的命題38可得：

命題12對任意g∈x，λ（Γ，Δ）具有有限余維，則P（g）ItrTU（g，Γ，Δ）.

2（D4，D4）等變分歧問題的性質(zhì)

設(shè)f：（R2×R2，（0，0））→R2是（D4，D4）等變分歧問題，將R2

瘙 綇 上的作用為：（ξ，θ）（z，λ）=（eiξz，eiθλ），（ξ，κ）（z，λ）=（eiξz，），（κ，θ）（z，λ）=（，eiθλ），（κ，κ）（z，λ）=（，），其中ξ=θ=2π/4，κ是翻轉(zhuǎn).

定理21（D4，D4）不變函數(shù)芽環(huán)εz，λ（D4，D4）的Hilbert基為u=z，v=z4+4，x=λ，y=λ4+4，w=（z2-2）（λ2-2），于是可將εz，λ（D4，D4）等同于εu，v，x，y，w.

證任意多項(xiàng)式g（z，λ）可以寫成下列形式：

g（z，λ）=∑aαβγδzαβλγδ，aαβγδ∈

瘙 綇 .（1）

因?yàn)間（z，λ）是實(shí)數(shù)，則g（z，λ）=g（z，λ），故aαβγδ=aβαδγ.又由于g是不變的，于是g（，）=g（，eiθλ）=g（eiξ，z，）=g（eiξ，z，eiθλ）=g（z，λ），將（1）代入得若干等式，比較各等式兩邊系數(shù)并整理得

aαβγδ=aβαγδ，當(dāng)α-β=4k，或γ-δ=4m時(shí)；

-aαβδγ，當(dāng)α-β=4k+2，或γ-δ=4m+2時(shí)；

0，其他情況.（2）

其中k，m為整數(shù).將式（2）代回到式（1）并注意到z4m+4m，λ4m+4m，z4k+2-4k+2，λ4k+2-4k+2，（z6-6）（λ6-6），均可以表示成u，v，x，y，w的形式.直接驗(yàn)證可知z，z4+4，λ，λ4+4，（z2-2）（λ-2）是（D4，D4）不變多項(xiàng)式，由文獻(xiàn)[11]得命題31結(jié)論成立.

同理可證下面定理.

定理22z，λ（D4，D4）中的每一個(gè)g可表示為

g（z，λ）=p（u，v，x，y，w）z+q（u，v，x，y，w）3+r（u，v，x，y，w）（λ2-2），（3）

其中p，q，r：R5→R為（D4，D4）不變函數(shù)芽.由此可知，不變函數(shù)芽環(huán)上的有限生成模x，λ（D4，D4）的生成元為z，3，（λ2-2），在不變坐標(biāo)下以[p，q，r]表示g.

瘙 綇 .由等變性，有

S（z，λ）ω=S（，）=e-iθS（eiθz，eiθλ）eiθω=S（，eiθλ）ω=e-iθS（eiθz，）eiθω.（5）

將式（4）代入（5）各式得若干等式，比較各等式兩邊系數(shù)并整理得

aαβγδ=aαβδγ，α-β=4k或δ-γ=4m；

-aαβδγ，α-β=4k+2或δ-γ=4m+2；

0，其他情況.

bαβγδ=bαβδγ，α-β-2=4k或δ-γ=4m；

-bαβδγ，α-β-2=4k+2或δ-γ=4m+2；

0，其他情況.

其中k，m為整數(shù).將上述系數(shù)特點(diǎn)代入式（5）并注意到式中各項(xiàng)z4k，4k，z4k+2，4k-2，4m+2-λ4m+2，z4k+4，4k-4，z4，6-λ6均可以表示成1，4，z2（λ2-2），z2，2λ2-2和相應(yīng)的w，的積的線性組合，組合系數(shù)是εu，v，x，y，w的元素，因此可得Ex，λ（D4，D4）的生成元為：

S1ω=ω，S2ω=4ω，S3ω=z2（λ2-2）ω，S4ω=z2，S5ω=2，S6ω=（λ2-2）.

定理24設(shè)f∈x，λ（D4，D4）是（D4，D4）等價(jià)分歧問題，則f處的切空間為

TK（f，D4，D4）=RTK（f，D4，D4）+ελ（D4）{g10，g11}，（6）

其中

RTK（f，D4，D4）=εz，λ（D4，D4）{g1，g2，g3，g4，g5，g6，g7，g8，g9}，（7）

g1=[p，q，r]，g2=[pv+2qu3+ruw，0，0]，g3=[pw+2ru（y-2x2）-quw，0，0]，

g4=[2pu+qv-rw，0，0]，g5=[qu2，p，-ru]，g6=[-r（y-2x2）+qw，0，p+qu]，

g7=[2puu+4pvv+2pww+2qwuw+2rwu（y-2x2），2q+2quu+4qvv-2rw（y-2x2），

-2qwv+4qwu2+2ruu+4rvv]，

g8=[2qu2+rw+puv+2pvu3-2pwuw+ruuw-2rwu2（y-2x2），

quv+8qvu3-2qwuw-ruw+2rwu（y-2x2），2ru+2ruu2+8rvu3]，

g9=[-puw+2pwu（y-2x2）+4qvu2w-ruu（y-2x2）-qw，

4pvw+2pw（y-2x2）-quw+4qwu（y-2x2）+ru（y-2x2），

4pvv-8pvu2+2pww+8qvu3-4qvuv-4qvuv-4uq+4rvuw+4rwu（y-2x2）].

g10=[pxx+2pyy+pww，qxx+2qyy+qww，rxx+2ryy+rww+r]，

g11=[pxy+8pyx3+2pxx2+4pyxy，qxy+8qyx3+2qxx2+4qyxy，rxy+8ryx3+2rxx2+4ryxy].

證因?yàn)閟1f=[p，q，r]，s2f=4[p，q，r]=[pv+qu3+ruw，-pu，ru2]，

s3f=[pw+ru（y-2x2），0，pu+qu2]，s4f=[pu+qv-rw，-qu，-ru]，

s5f=[qu2，p，-ru]，s6f=[-r（y-2x2）+qw，0，p+qu].

由文獻(xiàn)[10]，對任意z，x∈C，（Dzf）X=fzX+f，而

（Dzf）z=[p+2puu+4pvv+2pww+2qwuw+2rwu（y-2x2），

3q+2quu+4qvv-2rw（y-2x2），r-2qwv+4qwu2+2ruu+4rvv]，

（Dzf）3=[3qu2+rw+puv+8pvu3-2pwuw+ruuw-2rwu2（y-2x2），

p+quv+8qvu3-2qwuw-ruw+2rwu（y-2x2），ru+2ruu2+8rvu3]，

（Dzf）（λ2-2）=[-puw+2pwu（y-2x2）+4qvu2w-r（y-2x2）-ruu（y-2x2），

4pvw+2pw（y-2x2）-quw+4qwu（y-2x2）+ru（y-2x2），

p+4pvv-8pvu2+2pww+8qvu3-rqvuw-3uq+4rvuw+4rwu（y-2x2）].

令g1=s1f，g2=s2f+us5f，g3=s3f-us6f，g4=s4f+us1f，g5=s5f，g6=s6f，g7=（dzf）z-s1f，g8=（dzf）3-s5f，g9=（dzf）（λ2-2）-s6f，則式（7）成立.令g10=12（dλf）λ，g11=（dλf）3+x（dλf）λ，則式（6）成立.

定理25設(shè)f∈x，λ（D4，D4）是（D4，D4）等變分歧問題，則f處的冪單切空間為：TU（f，D4，D4）=RTU（f，D4，D4）+ελ（D4）{xg10，yg10，g11}，其中RTU（f，D4，D4）=εz，λ（D4，D4）{ug1，vg1，xg1，yg1，wg1，g2，g3，g4，g5，g6，ug7，vg7，xg7，yg7，wg7，g8，g9}.于是TK（f，D4，D4）=TU（f，D4，D4）+R{g1，g7，g10}.

證對任意S∈Ez，λ（D4，D4），X∈z，λ（D4，D4），則S，X可以寫成

S=A1S1+A2S2+A3S3+A4S4+A5S5+A6S6，X=X1z+X23+X3（λ2-2），（8）

其中A1，Xj∈εu，v，x，y，w，i=1，2，…，6，j=1，2，3.由S的定義有A1（0，0）=0.那么εz，λ（D4，D4）模{S∈Ez，λ（D4，D4）|S（0，0）=02}的生成元為：us1，vs1，xs1，ys1，ws1，s2，s3，s4，s5，s6，εz，λ（D4，D4）模{Sf|S∈Ez，λ（D4，D4），S（0，0）=02}的生成元為：ug1，vg1，xg1，yg1，ug1，vg1，xg1，yg1，wg1，g2，g3，g4，g5，g6.由（8）第二式有X1（0，0）=0.那么εz，λ（D4，D4）模{（Dzf）X|X∈z，λ（D4，D4），（DzX）（0，0）=02}的生成元為：（Dzf）（uz），（Dzf）（vz），（Dzf）（xz），（Dzf）（yz），（Dzf）（wz），（Dzf）3，（Dzf）（λ2-2）.又（Dzf）（uz）=ug7+ug1，同理（Dzf）（vz）=vg7+vg1，（Dzf）（xz）=xg7+xg1，（Dzf）（yz）=yg7+yg1，（Dzf）（wz）=wg7+wg1，（Dzf）3=g8+s5f=g8+g5，（Dzf）（λ2-2）=g9+s6f=g9+g6，這樣可得限制冪單切空間RTU（f，D4，D4）.因?yàn)閷θ我猞剩―4），有Λ=Λ1λ+Λ23，有Λλ（0）=Λ1（0），Λ（0）=0.因此Λ1（0）=0.于是ελ（D4）模{（Dλf）Λ|Λ∈（D4），（DλΛ）0=02}的生成元為：（Dλf）（xλ），（Dλf）（yλ），（Dλf）3，且（Dλf）（xλ）=2xg10，（Dλf）（yλ）=2yg10，（Dλf）3=g11-2xg10，因此結(jié)論成立.

定理26等變分歧問題f的余維數(shù)大于3，即codim f>3.

證令φ=[μ2u，v，w，x，y+〈v，w，y〉，μu，v，w，x，y，μu，v，w，x，y]，通過具體驗(yàn)證可得RTU（f，D4，D4）φ，ελ（D4）{xg10，yg10，g11}φ.由Nakayama引理，將RTU（f，D4，D4）的生成元截去高階項(xiàng)后表示成φ的生成元的形成，且表示矩陣的秩小于φ的生成元的個(gè)數(shù)，所以TU（f，D4，D4）=RTU（f，D4，D4）+ελ（D4）{xg10，yg10，g11}φ，于是f的余維數(shù)不大于φ+R{g1，g7，g10}的余維數(shù).經(jīng)過計(jì)算可知φ+R{g1，g7，g10}在z，λ（D4，D4）中的補(bǔ)空間的基為[1，0，0]，[0，1，0]，[0，0，1].因此結(jié)論成立.

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（編輯胡文杰）