指數(shù)分布條件下基于事后維修的綜合重要度分析

王 寧，王 喆，李淑敏，蔡志強(qiáng)

（1.長(zhǎng)安大學(xué) 汽車學(xué)院，西安710064；2.西北工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院／現(xiàn)代設(shè)計(jì)與集成制造教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安710072）

重要度是指系統(tǒng)中單個(gè)或多個(gè)組（部）件失效或狀態(tài)改變時(shí)，其對(duì)系統(tǒng)可靠性的影響程度，它是組（部）件可靠性參數(shù)和系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的函數(shù)［1］.在系統(tǒng)設(shè)計(jì)階段，重要度計(jì)算用來幫助設(shè)計(jì)人員識(shí)別系統(tǒng)薄弱環(huán)節(jié)，為整個(gè)系統(tǒng)可靠性提升和優(yōu)化設(shè)計(jì)提供支撐依據(jù)；在系統(tǒng)運(yùn)行階段，重要度分析用于合理分配維修資源，從而保證維修成本降低和系統(tǒng)的正常運(yùn)行［2］.1969年Birnbaum首次針對(duì)二態(tài)系統(tǒng)提出了重要度計(jì)算方法，隨后研究者基于Birnbaum重要度相繼提出了風(fēng)險(xiǎn)減少當(dāng)量（Risk Reduction Worth，RRW）、風(fēng)險(xiǎn)增加當(dāng)量（Risk Achievement Worth，RAW）、Russell-Vesely等重要度［3］.隨著可靠性理論及工程的進(jìn)步，重要度理論得到了長(zhǎng)足的發(fā)展，并在核能、復(fù)雜裝備等可靠性分析、安全性分析、風(fēng)險(xiǎn)分析等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用［4－10］.

綜合重要度（Integrated Importance Measure，IIM）綜合考慮了組（部）件狀態(tài)概率、狀態(tài)轉(zhuǎn)移率及其對(duì)系統(tǒng)可靠性影響.根據(jù)可靠性浴盆曲線，在早期失效期，轉(zhuǎn)移率呈遞減變化；在偶爾失效期，轉(zhuǎn)移率趨向平穩(wěn)；在磨損失效期，轉(zhuǎn)移率呈遞增變化.在組（部）件的全生命周期中，由于轉(zhuǎn)移率隨著時(shí)間變化，導(dǎo)致組（部）件的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率也隨著時(shí)間變化.因此，利用綜合重要度能夠準(zhǔn)確評(píng)估面向全生命周期的組（部）件及其狀態(tài)對(duì)系統(tǒng)可靠性或性能影響.綜合重要度面向維修過程的物理意義為：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)組（部）件從一個(gè)狀態(tài)提升到另一個(gè)狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)可靠性或性能提升的數(shù)學(xué)期望［11］.文獻(xiàn)［12-13］重點(diǎn)研究了二態(tài)和多態(tài)系統(tǒng)一般綜合重要度計(jì)算方法及其在串聯(lián)、并聯(lián)系統(tǒng)中的性質(zhì)和相關(guān)定理.然而很多工程系統(tǒng)如核能系統(tǒng)，輸送系統(tǒng)等都可以直接抽取為串－并聯(lián)、并－串聯(lián)等混聯(lián)系統(tǒng)模型，串聯(lián)和并聯(lián)兩種基本系統(tǒng)模型難以直接滿足系統(tǒng)分析的需要.文中針對(duì)典型的二態(tài)混聯(lián)系統(tǒng)（并－串聯(lián)系統(tǒng)、串－并系統(tǒng)），研究其指數(shù)分布條件下基于事后維修的綜合重要度計(jì)算公式及其相關(guān)性質(zhì)，以便于綜合重要度計(jì)算方法在二態(tài)混聯(lián)系統(tǒng)中的推廣應(yīng)用.

1 二態(tài)系統(tǒng)綜合重要度

1.1 二態(tài)系統(tǒng)模型

文中以帶有劣化特征的二態(tài)系統(tǒng)作為研究目標(biāo)，其模型滿足以下幾個(gè)方面.

1）系統(tǒng)S由n個(gè)組（部）件 ｛C1，C2，…，Cn｝構(gòu)成，且各個(gè)組（部）件可靠性分布相互獨(dú)立；

2）系統(tǒng)及組（部）件變量均只有兩種無交集狀態(tài)，即Ci＝1表示組（部）件Ci正常工作，Ci＝0表示組（部）件發(fā)生故障需要維修或者更換；

3）R表示系統(tǒng)可靠性，R＝P（S＝1），Pi表示組（部）件Ci的可靠性，即Pi＝P（Ci＝1）；

4）如果存在q1＞q2，則有P（S＝1｜Ci＝q1）＞P（S＝1｜Ci＝q2）.也就是說，提高某個(gè)組（部）件的可靠性必然導(dǎo)致系統(tǒng)可靠性的提升；

5）文中只研究事后維修策略，即組（部）件發(fā)生故障時(shí)進(jìn)行維修；

6）對(duì)于二態(tài)系統(tǒng)，文中僅考慮系統(tǒng)劣化狀態(tài)，即只有0和1兩種狀態(tài)，研究從1劣化到0狀態(tài)時(shí)重要度的變化過程.

1.2 綜合重要度計(jì)算

由文獻(xiàn)［11］可得二態(tài)系統(tǒng)綜合重要度計(jì)算公式為

公式（1）可表述為

2 二態(tài)混聯(lián)系統(tǒng)綜合重要度計(jì)算

2.1 事后維修策略

事后維修是指在組（部）件發(fā)生故障或性能下降到合格水平以下時(shí)所進(jìn)行的非計(jì)劃性維修.事后維修策略示意圖如圖1所示.其中Ti為兩次事后維修之間的時(shí)間間隔，t1，t2，…，t5為事后維修時(shí)間.

圖1 事后維修策略示意圖Fig.1 Structure of the correction maintenance

2.2 穩(wěn)態(tài)可用度

假定在（n＋1）次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)的失效時(shí)間、維修時(shí)間都服從均值為1／λ和1／μ的指數(shù)分布.λ為失效率，μ為維修率，A為轉(zhuǎn)移矩陣，p0為發(fā)生故障的概率，p1為正常工作的概率.則

則有

由公式（4）可以看出，指數(shù)分布下組（部）件失效的概率和正常工作的概率可通過組（部）件的失效率和維修率來計(jì)算.

2.3 系統(tǒng)綜合重要度

2.3.1 典型混聯(lián)系統(tǒng)重要度

1）并－串聯(lián)系統(tǒng)

并-串聯(lián)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)是由N（N≥1）個(gè)串聯(lián)系統(tǒng)并聯(lián)而成的.假定第i個(gè)并入的串聯(lián)系統(tǒng)有Ni個(gè)組（部）件（第i層），因此得出此并－串聯(lián)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)為 Φ（X（t）），其中［ij］表示第i層中的第j個(gè)組（部）件.并－串聯(lián)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖如圖2所示.

圖2 并－串聯(lián)系統(tǒng)Fig.2 Structure of parallel-series system

定理1 在串－并聯(lián)系統(tǒng)中，

其中Phk＝，h∈［1，N］，k∈［1，Nk］.

公式（5）在并－串聯(lián)系統(tǒng)中，組（部）件 ［i，j］從狀態(tài)1降低到狀態(tài)0的重要度計(jì)算方法.

證明 由第1節(jié)中公式（1）知，在混聯(lián)系統(tǒng)中組（部）件重要度為

根據(jù)并－串聯(lián)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)可以得出

則對(duì)于組（部）件 ［i，j］并－串聯(lián)系統(tǒng)的可靠性公式為

所以二態(tài)劣化過程的并－串聯(lián)系統(tǒng)的綜合重要度為

2）串－并聯(lián)系統(tǒng)

串-并聯(lián)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)是由N（N≥1）個(gè)并聯(lián)系統(tǒng)串聯(lián)而成的，假定第i個(gè)串聯(lián)的并聯(lián)系統(tǒng)有Ni個(gè)組（部）件（第i層），因此得出此串－并聯(lián)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)為Φ（X（t））＝，并－串聯(lián)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖如圖3所示.

圖3 串－并聯(lián)系統(tǒng)Fig.3 Structure of series-parallel system

定理2 在串－并聯(lián)系統(tǒng)中，

其中Phk＝，h∈［1，N］，k∈［1，Nk］.

公式（5）表示在串－并聯(lián)系統(tǒng)中，組（部）件 ［i，j］從狀態(tài)1降低到狀態(tài)0的重要度計(jì)算方法.

證明 根據(jù)圖3，由第1節(jié)中公式（1）知，在混聯(lián)系統(tǒng)中組（部）件重要度公式［11］為

根據(jù)串－并聯(lián)系統(tǒng)的可靠性可以得出

則組（部）件 ［i，j］組成的串－并聯(lián)系統(tǒng)可靠性公式為

所以，二態(tài)劣化過程的串－并聯(lián)系統(tǒng)的綜合重要度為

2.3.2 服從指數(shù)分布的系統(tǒng)重要度

（1）并－串聯(lián)系統(tǒng)

定理3 二態(tài)劣化的并－串聯(lián)系統(tǒng)中各個(gè)組（部）件均獨(dú)立且工作與維修時(shí)間服從指數(shù)分布，組（部）件的綜合重要度表達(dá)式為

公式（11）二態(tài)劣化的并－串聯(lián)系統(tǒng)中各個(gè)組（部）件均獨(dú)立且工作與維修時(shí)間服從指數(shù)分布時(shí)，組（部）件的綜合重要度表達(dá)式.

證明 由于需要考慮每個(gè)更換時(shí)間點(diǎn)的重要度，因此將定理1中推導(dǎo)出的并－串聯(lián)系統(tǒng)的綜合重要度公式（5）中的P0和P1即為公式（3）中求解出的p0和p1，代入可得

（2）串－并聯(lián)系統(tǒng)

定理4 二態(tài)劣化的串－并聯(lián)系統(tǒng)中各個(gè)組（部）件均獨(dú)立且工作與維修時(shí)間服從指數(shù)分布時(shí)，組（部）件的綜合重要度表達(dá)式為

公式（12）二態(tài)劣化的串－并聯(lián)系統(tǒng)中各個(gè)組（部）件均獨(dú)立且工作與維修時(shí)間服從指數(shù)分布時(shí)，組（部）件的綜合重要度表達(dá)式.

證明 同理，首先引用定理2中推導(dǎo)出的并－串聯(lián)系統(tǒng)的綜合重要度公式（8）為

由于需要考慮每個(gè)更換時(shí)間點(diǎn)的重要度，因此將定理2中推導(dǎo)出的并－串聯(lián)系統(tǒng)的綜合重要度公式（8）中的P0和P1即為公式（4）中求解出的p0和p1，代入可得

3 案例計(jì)算與分析

3.1 案 例

考慮一個(gè)由五條管道構(gòu)成的原油運(yùn)輸系統(tǒng).該系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及部件（管道）的狀態(tài)空間集成表現(xiàn)在一個(gè)框圖中，如圖4所示［14］.對(duì)于任一個(gè)管道，假設(shè)其容量值被分為0和1兩個(gè)水平，其中0表示管道失效，即不能傳輸原油；1表示管道完好，能以最好的狀態(tài)運(yùn)輸原油.因?yàn)樵凸艿酪话愣际情L(zhǎng)期被埋在地下，所以由于內(nèi)部的堵塞或外部的腐蝕，管道的運(yùn)輸能力會(huì)在一定時(shí)間后（單位：y）降低甚至失去運(yùn)輸能力.若發(fā)現(xiàn)管道的運(yùn)輸能力降低到0水平，就將其更換.部件的性能用傳輸容量（t／min）來衡量.此混聯(lián)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖為

圖4 管道結(jié)構(gòu)圖Fig.4 Structure of the pipe

此混聯(lián)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù)為

管道的各狀態(tài)的轉(zhuǎn)移過程如圖5所示.

圖5 管道的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程Fig.5 The state transition process of the pipe

3.2 綜合重要度計(jì)算

假設(shè)管道的壽命服從指數(shù)分布，給出各個(gè)組（部）件的失效率和維修率，見表1.

表1 組 （部）件失效率μi和維修率λi的值Tab.1 The ralues of the failure rateμiand the repair rateλiof the component

由以上給出的數(shù)據(jù)及系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)分別求得在更換過程中各個(gè)組（部）件的綜合重要度，計(jì)算表達(dá)式為

各部件重要度排序如下

此外，當(dāng) （λi，μi）發(fā)生變化時(shí)，可以求得綜合重要度隨組（部）件維修率和失效率的變化過程.

3.3 影響因素分析

以組（部）件1為例來說明IIMi（λi，μi）隨著λi和μi的變化情況，如圖6和圖7所示.

假設(shè)維修率不變時(shí)，組（部）件1的綜合重要度隨著失效率的變化情況如圖6（a）所示.由公式（8）可知，IIM1（λ1，μ1）是關(guān)于λ1的增函數(shù)，由圖6（a）可知，隨著失效率的增加，綜合重要度越來越大，因此系統(tǒng)設(shè)計(jì)者應(yīng)該關(guān)注組（部）件的失效率.

假設(shè)失效率不變時(shí)，組（部）件1的綜合重要度隨著失效率的變化情況如圖6（a）所示，從公式（13）可知，λ1和μ1地位平等，組（部）件1的綜合重要度隨著失效率和維修率的增加而增大，即圖6（a）和圖6（b）相同，因?yàn)樵谥笖?shù)分布中，失效率和維修率共同描述了組（部）件的狀態(tài)概率分布.

圖7（a）和圖7（b）給出了當(dāng)失效率λ1和維修率μ1共同變化時(shí)，組（部）件1綜合重要度的變化情況.在圖7（a）中，失效率λ1和維修率μ1同時(shí)增加，綜合重要度也隨其增加.從公式（13）可知，組（部）件1的綜合重要度是關(guān)于λ1和μ1的增函數(shù)，這與圖7（a）相符合.因?yàn)樵诠剑?3）中，λ1和μ1的地位是等價(jià)的，所以7（a）是關(guān)于λ1和μ1的等價(jià)點(diǎn)對(duì)稱的，即關(guān)于 （0，0）→ （10，10）對(duì)稱.

在圖7（b）中，失效率λ1逐漸增大，維修率μ1逐漸變小，該曲面隨著λ1增大而變高，隨著維修率μ1變小而變低.因?yàn)槭师?逐漸增大，維修率μ1逐漸變小，所以圖7（b）的交匯點(diǎn)是（5，5），也是λ1和μ1的等價(jià)點(diǎn)，同時(shí)圖7（b）是關(guān)于（5，5）對(duì)稱的.由圖6和圖7可知，在指數(shù)分布條件下，失效率和維修率是綜合重要度的重要指標(biāo)，二者地位等價(jià).

圖6 綜合重要度隨失效率／維修率變化的二維圖Fig.6 The change of IIM with the parameters ofλorμ

圖7 綜合重要度隨失效率和維修率變化的三維圖Fig.7 The change of IIM with the parameters ofλandμ

4 結(jié) 論

1）針對(duì)指數(shù)分布條件下基于事后維修的重要度分析問題，基于傳統(tǒng)綜合重要度計(jì)算方法對(duì)典型二態(tài)混聯(lián)系統(tǒng)綜合重要度計(jì)算公式進(jìn)行了推導(dǎo)，得出典型二態(tài)系統(tǒng)綜合重要度的等價(jià)計(jì)算公式.

2）以原油運(yùn)輸系統(tǒng)為案例，對(duì)典型二態(tài)混聯(lián)系統(tǒng)組（部）件綜合重要度進(jìn)行了計(jì)算和分析.

3）失效率和維修率作為重要度分析的重要指標(biāo)，在指數(shù)分布條件下的二態(tài)劣化混聯(lián)系統(tǒng)中，指數(shù)分布條件下組（部）件的綜合重要度與失效率和維修率成正相關(guān)關(guān)系.

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