求解圓錐曲線離心率的四種數(shù)學(xué)意識(shí)

武增明

縱觀2014年的高考試題，圓錐曲線離心率問(wèn)題仍然備受關(guān)注，且題型多樣，不斷翻新，內(nèi)涵豐富，立意新穎，顯示出旺盛的生命力.大部分題型都是以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，其中有些題目的難度較大，綜合性強(qiáng)，解法極富靈活性.本文僅就探求2014年高考圓錐曲線離心率的值的典型問(wèn)題的數(shù)學(xué)意識(shí)加以認(rèn)真分析、總結(jié)，以期能對(duì)大家的學(xué)習(xí)有所幫助.

定義意識(shí)

這里的定義是指橢圓、雙曲線的第一定義. 波利亞說(shuō)：“當(dāng)你不能解決一個(gè)問(wèn)題時(shí)，不妨回到定義中去！”定義是解決問(wèn)題的原生力量. 圓錐曲線的定義，是圓錐曲線最本質(zhì)屬性的反映，是圓錐曲線的靈魂.靈活利用圓錐曲線的定義解題時(shí)，要特別關(guān)注圓錐曲線的焦點(diǎn). 有效借助定義，不但使我們可以找到關(guān)于a，c的等式，而且還可以避免大量的計(jì)算，使問(wèn)題的解決變得容易.

例1 （2014重慶卷·理8）設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線-=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)P使得PF1+PF2=3b，PF1·PF2=ab，則該雙曲線的離心率為（ ）

A. B. C. D. 3

破解 不妨設(shè)P為雙曲線右支上一點(diǎn)，根據(jù)雙曲線的定義有PF1-PF2=2a，與PF1+PF2=3b聯(lián)立，平方相減得PF1·PF2=. 又由題設(shè)條件，得=ab，整理得4a=3b16a2=9b216a2=9（c2-a2）e2=e=.

方程意識(shí)

我們知道，方程思想在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中起了巨大作用，處理圓錐曲線離心率的值的問(wèn)題也就是列方程和解方程這兩個(gè)過(guò)程. 從高考題型來(lái)看，有兩種思路，思路1是根據(jù)條件直接列出關(guān)于a，b，c的方程；思路2是先根據(jù)條件設(shè)出與之相關(guān)的曲線方程，再進(jìn)一步得到關(guān)于a，b，c的方程.

思路1的求解過(guò)程可用圖形來(lái)表示，如下圖所示.

例2 （2014年高考江蘇卷）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓+=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，b），連結(jié)BF2并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn)C，連結(jié)F1C.

（1）若點(diǎn)C的坐標(biāo)為，，且BF2=，求橢圓的方程；

（2）若F1C⊥AB，求橢圓離心率e的值.

破解 （1）略.

（2）因?yàn)锽（0，b），F(xiàn)2（c，0）在直線AB上，所以直線AB的方程為+=1. 解方程組+=1，+=1，得x1=，y1=，x2=0，y2=b.所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為，. 又AC垂直于x軸，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性，可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為，. 因?yàn)橹本€F1C的斜率為=，直線AB的斜率為-，且F1C⊥AB，所以·-=-1. 又b2=a2-c2，整理得a2=5c2，故e2=. 因此e=.

評(píng)注 求離心率一般是建立離心率e的方程求解.

第（2）問(wèn)的求解過(guò)程可用圖形來(lái)表示，如下圖所示.

例3 （2014年高考浙江卷）設(shè)直線x-3y+m=0（m≠0）與雙曲線-=1（a>0，b>0）的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A，B. 若點(diǎn)P（m，0）滿足PA=PB，則該雙曲線的離心率是________.

破解 取AB的中點(diǎn)E，連結(jié)PE.因?yàn)镻A=PB，所以PE⊥AB，又kAB=，于是kPE=-3. y=xx-3y+m=0A，；同理可得B，. 從而E，，故kPE==，所以= -3b2=-2a2+9b2a2=4b2e=.

平幾意識(shí)

解析幾何是用數(shù)量關(guān)系來(lái)研究幾何形狀的，在用代數(shù)方法研究曲線間的關(guān)系的同時(shí)，要善于挖掘并充分利用好圖形本身所具有的平面幾何性質(zhì)，這樣做往往可以簡(jiǎn)約思維，簡(jiǎn)化運(yùn)算，優(yōu)化過(guò)程，且能給人耳目一新之感.

例4 （2014年高考江西卷）設(shè)橢圓C：+=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過(guò)F2作x軸的垂線與C相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)1B與y軸相交于點(diǎn)D. 若AD⊥F1B，則橢圓C的離心率等于__________.

破解 不妨設(shè)點(diǎn)A在x軸上方，則依題意得Ac，，Bc，-. 因?yàn)镺是F1F2的中點(diǎn)，又OD∥F2B，所以D是F1B的中點(diǎn)，從而得D0，-，于是=-c，-，=2c，-. 由AD⊥F1B，可得·=0-2c2+=0b2=2ace=-（舍去）或e=e=.

評(píng)注 此解答利用平面幾何知識(shí)得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，簡(jiǎn)化了運(yùn)算. 在這里，我們也可以先求出直線F1B的方程，再求點(diǎn)D的坐標(biāo). 由前可得直線F1B的方程為y-0=（x+c），令x=0，得D0，-，后同答案.

點(diǎn)差意識(shí)

在研究直線被圓錐曲線截得中點(diǎn)弦問(wèn)題時(shí)，設(shè)出弦端點(diǎn)坐標(biāo)，并代入圓錐曲線方程得兩式，將其兩式相減分解因式可整理出弦所在直線的斜率與該弦端點(diǎn)坐標(biāo)和中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式. 這種解題方法不妨叫設(shè)點(diǎn)求差法，簡(jiǎn)稱(chēng)點(diǎn)差法. 其解題的主要步驟是：第一步，設(shè)出弦的端點(diǎn)坐標(biāo)；第二步，代入方程并兩式相減；第三步，建立端點(diǎn)與中點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系；第四步，找出弦所在直線斜率與該弦端點(diǎn)坐標(biāo)和中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式.

例5 （2014年高考江西卷）過(guò)點(diǎn)M（1，1）作斜率為-的直線與橢圓C：+=1（a>b>0）相交于A，B兩點(diǎn). 若M是線段AB的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率等于________.

破解 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則+=1，+=1，兩式作差，得 （x1+x2）（x1-x2）+（y1+y2）（y1-y2）=0. 因?yàn)閤1+x2=2，y1+y2=2，k==-，所以a2=2b2，故a2=2c2，從而e=.

評(píng)注 雖然先將直線AB的方程y-1=-（x-1）與橢圓C：+=1聯(lián)立，消去x或y，得到關(guān)于x或y的一元二次方程，然后用韋達(dá)定理也可以解決本題，但是沒(méi)有用點(diǎn)差法來(lái)得既快速又簡(jiǎn)捷.endprint