解題技巧：運(yùn)用運(yùn)動(dòng)變化思想優(yōu)化解析幾何中的運(yùn)算

刁成章

常聽同學(xué)們說解析幾何的解法“好想的不好算，好算的不好想”，很難完整地解對一道題. 究其原因是解析幾何綜合試題的運(yùn)算量大，過程煩瑣，易出錯(cuò). 然而解析幾何綜合題在全國各地的高考試題中都會(huì)出現(xiàn)，且是倒數(shù)第一、二題，其難度都比較大. 高考數(shù)學(xué)要想考出好成績，必需邁過解析幾何中運(yùn)算這道坎.本文嘗試通過具體實(shí)例，闡述運(yùn)動(dòng)變化思想在解析幾何解題中的應(yīng)用即通過幾何元素的運(yùn)動(dòng)變化，探索已知條件和結(jié)論之間的聯(lián)系，從而找到解決問題的方法. 經(jīng)過多年的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，在幾何元素的運(yùn)動(dòng)變化過程中，我們需要特別關(guān)注：①運(yùn)動(dòng)變化過程中的變量與不變量（或不變關(guān)系）；②運(yùn)動(dòng)變化過程中相對于條件和結(jié)論的特殊位置；③運(yùn)動(dòng)變化過程中所求結(jié)論的變化規(guī)律.

觀察幾何量在運(yùn)動(dòng)變化過程中對所求結(jié)論的決定作用，選擇恰當(dāng)?shù)牧孔鳛樽宰兞?，降低運(yùn)算難度

例1 如圖1，已知橢圓C：+=1（a>b>0）的離心率為，以橢圓的左頂點(diǎn)T為圓心作圓T：（x+2）2+y2=r2（r>0）. 設(shè)圓T與橢圓C交于點(diǎn)M，N.

（1）求橢圓C的方程；

（2）求·的最小值，并求此時(shí)圓T的方程.

分析：在第（2）問中，當(dāng)圓T的半徑r增大時(shí)，點(diǎn)M，N在橢圓C上從左至右運(yùn)動(dòng)，在此運(yùn)動(dòng)變化過程中，（1）M，N關(guān)于x軸對稱的關(guān)系不變. （2）運(yùn)動(dòng)變化過程中特殊位置有：①M(fèi)，N無限靠近T，②⊥，③M，N到達(dá)右頂點(diǎn). （3）·的變化規(guī)律：①點(diǎn)M的位置決定·的值，②點(diǎn)M從左至右運(yùn)動(dòng)時(shí)，·的值先減小且為負(fù)數(shù)，當(dāng)?shù)侥骋晃恢脮r(shí)最小，繼而增大，當(dāng)M，N到達(dá)右頂點(diǎn)時(shí)最大.

解答：（1）橢圓C的方程為+y2=1（過程略）.

（2）設(shè)M（x1，y1），則N（x1，-y1），從而·=（x1+2）2-y21=（x1+2）2-1-=x1+-. 所以當(dāng)x1= -時(shí)·的最小值為-. 此時(shí)M-，，r=TM=，圓T的方程為（x+2）2+y2=.

點(diǎn)評：在第（2）問中，因運(yùn)動(dòng)變化過程中發(fā)現(xiàn)點(diǎn)M的位置決定·的大小，所以選定點(diǎn)M的坐標(biāo)（橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)）作為自變量，比選用圓T半徑r作為自變量更易表示·. 不僅簡化了運(yùn)算，而且結(jié)論中點(diǎn)M的位置符合·的取值變化規(guī)律，可以說運(yùn)動(dòng)變化思想還驗(yàn)證了運(yùn)算的準(zhǔn)確性.

觀察運(yùn)動(dòng)變化過程中的不變關(guān)系，變變量為常量，降低運(yùn)算復(fù)雜性

例2 如圖2，已知以點(diǎn)A（-1，2）為圓心的圓與直線l1：x+2y+7=0相切，過點(diǎn)B（-2，0）的動(dòng)直線l與圓A相交于M，N兩點(diǎn)，Q是MN中點(diǎn)，直線l與l1相交于點(diǎn)P.

（1）求圓A的方程；

（2）·是否為定值？如果是，求出其定值；如果不是，請說明理由.

分析：在第（2）問中，直線l繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，（1）運(yùn)動(dòng)變化過程中不變關(guān)系有：①Q(mào)為MN的中點(diǎn)，AQ⊥BP；②A，B點(diǎn)位置不變. （2）運(yùn)動(dòng)變化過程中的特殊位置有：①l∥l，這時(shí)點(diǎn)P不存在，不符合題意；②l⊥AB；③l⊥x軸，此時(shí)的斜率不存在. （3）在整個(gè)變化過程中，點(diǎn)B在線段PQ上，可得·<0.

解答：（1）圓A的方程為（x+1）2+（y-2）2=20（過程略）.

（2）因?yàn)锳Q⊥BP，所以·=0，所以·=（+）·=·+·=·. 當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，得P-2，-，則=0，-. 又=（1，2），所以·=·=-5. 當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x+2）. 由y=k（x+2），x+2y+7=0解得P，，所以=，. 所以·=·=-=-5. 綜上所述，·是定值，且·=-5.

點(diǎn)評：正是因?yàn)樵谥本€l繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)過程中發(fā)現(xiàn)了AQ⊥BP這個(gè)不變關(guān)系，將所求結(jié)論·中兩個(gè)變化的向量，，轉(zhuǎn)化成·中只有一個(gè)變化的向量，減少變量個(gè)數(shù)，從而使運(yùn)算得到簡化.

觀察運(yùn)動(dòng)變化過程中幾何量的變化規(guī)律，變未知為已知

例3 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（x，y）為動(dòng)點(diǎn)，已知點(diǎn)A（，0），B（-，0），直線PA與PB的斜率之積為-.

（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；

（2）過點(diǎn)F（1，0）的直線l交曲線E于M，N兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)N關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)為Q（M，Q不重合），求證：直線MQ過定點(diǎn).

分析：在第（2）問中，直線l繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)，在此過程中，（1）不變關(guān)系有：①l過點(diǎn)F，②Q，N關(guān)于x軸對稱. （2）特殊位置有：l不與x軸垂直，也不與x軸重合. （3）由橢圓關(guān)于x軸對稱，且點(diǎn)F在x軸上，可觀察出直線MQ所過定點(diǎn)在x軸上.

解答：（1）動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程為+y2=1（y≠0）（過程略）.

（2）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則Q（x2，-y2）. 設(shè)直線l：y=k（x-1），代入+y2=1（y≠0）得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0，從而x1+x2=，x1·x2=. 所以直線MQ的方程為y-y1=·（x-x1） ①.

令y=0，可得x=x1+=x1+==2 ②，所以直線MQ過定點(diǎn)（2，0）.

點(diǎn)評：由于在直線l繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)過程中觀察出“直線MQ所過定點(diǎn)在x軸上”，才有在第①式中“令y=0”，左邊從多項(xiàng)式變成單項(xiàng)式，簡化了運(yùn)算. 又因?yàn)槎c(diǎn)在x軸上，①式中的x必為定值，才知將①式化為②式并將前面的結(jié)論代入得出x的值. 通過運(yùn)動(dòng)變化思想不僅將未知數(shù)y變成已知數(shù)0，還指明了運(yùn)算方向，使運(yùn)算變得快速而準(zhǔn)確.

觀察運(yùn)動(dòng)變化過程中所求量的變化規(guī)律，變求值為證明

例4 如圖4，已知過坐標(biāo)原點(diǎn)且互相垂直的直線l，l與橢圓L：+=1（a>b>0）相交于A，C，B，D四點(diǎn)，求四邊形ABCD面積的最大值.

本題是2013年某地二診文科最后一題，解法一是命題人所給標(biāo)準(zhǔn)答案，解法二是筆者所做答案.

解法一：設(shè)直線l1：y=kx，與+=1（a>b>0）聯(lián)立解得A，，所以O(shè)A=. 同理設(shè)直線l2：y=-x，得OB=，所以SABCD=4S△AOB=2OA·OB= ①

=2ab ②

=2ab ③，

顯然當(dāng)k=0時(shí)，SABCD取得最大值2ab.

解法二：

分析：根據(jù)橢圓對稱性易得：四邊形ABCD為菱形，讓直線l1，l2繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，其過程可看做點(diǎn)A從橢圓右頂點(diǎn)M沿橢圓第一象限的部分移動(dòng)到橢圓上頂點(diǎn)N的過程，在此過程中（1）不變關(guān)系有：①四邊形ABCD是菱形，②SABCD=4S△AOB=2OA·OB；（2）特殊位置有：①A在橢圓的右頂點(diǎn)M處，②A在第一象限角平分線與橢圓交點(diǎn)P處，③A在橢圓的上頂點(diǎn)N處；（3）△AOB面積的變化規(guī)律：點(diǎn)A從M移動(dòng)到P時(shí)，△AOB面積遞減，從P移動(dòng)到N時(shí)，△AOB面積遞增，且點(diǎn)M與N處△AOB面積相等.

解答：當(dāng)l1，l2是坐標(biāo)軸時(shí)，易得SABCD=2ab ①. 當(dāng)l1，l2不是坐標(biāo)軸時(shí)，設(shè)直線l1：y=kx（k≠0），與+=1（a>b>0）聯(lián)立解得A，，所以O(shè)A=. 同理設(shè)直線l2：y=-x，得OB=. 所以SABCD=4S△AOB=2OA·OB= ②

=2ab· ③

=2ab ④.

因?yàn)閍4+b4>2a2b2（a>b>0），所以<1 ⑤. 所以SABCD=2ab·<2ab⑥. 綜上，SABCD的最大值為2ab.

點(diǎn)評：解法一是值得商榷的，首先未討論直線l1，l2斜率是否存在，存在時(shí)斜率k不能為0，所以③式中2ab只能得到小于2ab；且在運(yùn)算過程中，從①式到②式，為什么要提出2ab？②式為什么要化成③式？多數(shù)同學(xué)很難看懂，更難想到. 而解法二中，通過運(yùn)動(dòng)變化過程感知點(diǎn)A所在三種特殊位置，自然會(huì)想到l1，l2是否為坐標(biāo)軸時(shí)四邊形ABCD面積算法的不同，從而進(jìn)行分類；發(fā)現(xiàn)△AOB面積的變化規(guī)律，知道l1，l2不是坐標(biāo)軸時(shí)，SABCD會(huì)小于l，l是坐標(biāo)軸時(shí)四邊形ABCD的面積，從而將求②式的最值問題轉(zhuǎn)化成證明<2ab，使得后面的每一步驟思維自然，運(yùn)算方向明確，大大降低運(yùn)算難度.endprint