正確實(shí)施化歸 優(yōu)化解題策略

陳朝華

在解數(shù)學(xué)問題時，我們經(jīng)常遇到一些問題直接求解較為困難，通過仔細(xì)審題、認(rèn)真觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維過程，選擇運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法并進(jìn)行變換，經(jīng)?？梢詫⒃瓎栴}轉(zhuǎn)化為一個已知知識范圍內(nèi)容易解決的問題，達(dá)到解決原問題的目的，這一思想方法稱為化歸與轉(zhuǎn)化思想.

化歸與轉(zhuǎn)化思想的實(shí)質(zhì)就是揭示聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化?？梢哉f除了簡單的數(shù)學(xué)問題以外，每一個數(shù)學(xué)問題的解決都是通過轉(zhuǎn)化為已知問題來實(shí)現(xiàn)的。從某種意義上來說，數(shù)學(xué)的解題過程就是從未知向已知，從復(fù)雜到簡單的化歸與轉(zhuǎn)化過程。化歸與轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)學(xué)問題的根本思想，數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化比比皆是。如，未知向已知轉(zhuǎn)化，不規(guī)范問題向規(guī)范問題轉(zhuǎn)化，復(fù)雜問題向簡單問題轉(zhuǎn)化，新知識向舊知識轉(zhuǎn)化，命題之間的轉(zhuǎn)化，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，空間與平面的轉(zhuǎn)化，多元向一元轉(zhuǎn)化，無理向有理轉(zhuǎn)化，高次向低次轉(zhuǎn)化，函數(shù)、方程、不等式之間的轉(zhuǎn)化等等，都是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn).

我們學(xué)習(xí)化歸方法的根本目的是為了有效地解決數(shù)學(xué)問題，并在解決問題的過程中培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)思維能力，從而促進(jìn)自己數(shù)學(xué)思維的發(fā)展.

一、熟悉化原則：將陌生的問題化歸為熟悉的問題，以便運(yùn)用熟悉的知識、經(jīng)驗(yàn)來解決

分析：這是學(xué)生陌生的問題。首先點(diǎn)M在圓C1上運(yùn)動，點(diǎn)N在圓C2上運(yùn)動，點(diǎn)P又在x軸上運(yùn)動。三者都在動，很難上手。如果我們能考慮到曲線C1，C2是軸對稱圖形，于是我們可以先計(jì)算出PC1+PC2的最小值。結(jié)合幾何意義容易發(fā)現(xiàn)將這個最小值減去兩個圓的半徑之和，即可得到PM+PN的最小值。這樣問題又轉(zhuǎn)化為在x軸上找一點(diǎn)P，使得PC1+PC2，最小，這便是我們初中熟悉的問題了.

先求PC1+PC2的最小值.

二、直觀化原則：將比較抽象的數(shù)學(xué)問題化歸為形象直觀的問題來解決

例2.（2014·鎮(zhèn)江一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P（3，0）在圓C：x2+y2-2mx-4y+m2-28=0內(nèi)，動直線AB過點(diǎn)P且交圓C于A，B兩點(diǎn)，若△ABC的面積的最大值為16，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

數(shù)與形的和諧統(tǒng)一，往往使解題更生動，用數(shù)形結(jié)合方法解題，關(guān)鍵是幾何模型的建立，以及有關(guān)幾何性質(zhì)的熟練掌握，學(xué)生在平時要加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練.

三、簡單化原則：將復(fù)雜的問題化歸為簡單的問題，通過對簡單問題的解決，達(dá)到解決復(fù)雜問題的目的，或者獲得解決某種復(fù)雜問題的解題啟示和依據(jù)

例3.若橢圓上存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到兩個焦點(diǎn)的距離之比為2∶1，則此橢圓離心率的取值范圍是

分析：這個問題似乎比較難下手，如果設(shè)點(diǎn)P到兩個焦點(diǎn)的距離分別為k，2k，則k+2k=3k=2a與焦距2c的關(guān)系無法確定，這時就要考慮簡單情況——特殊情況橢圓上距離焦點(diǎn)最近距離為a-c，最遠(yuǎn)距離為a+c，再利用三角形兩邊之差小于第三邊來解.

分析：雙曲線是對稱圖形（中心對稱與軸對稱），利用雙曲線的定義可得AF2=AF1-2a，

AP+AF2=AP+AF1-2a的最小值，于是三點(diǎn)F1，A，P共線是最小.

解析：AP+AF2=AP+AF1-2a，要求AP+AF2的最小值，

分析：在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，因?yàn)閍1a1，從而得到q1006>1，q>1，∴數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，如果試圖通過對數(shù)列求和，問題的求解就變得相當(dāng)棘手。如果能利用等比數(shù)列和諧性質(zhì)：對于任意的正整數(shù)m，n，p，q，當(dāng)m+n=p+q時總有am+an=ap+aq成立來解，問題就變得簡單多了.

化歸與轉(zhuǎn)化思想方法是中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的一種重要的、基本的思想方法，這方面能力的高低可以看出一個人解題的素質(zhì)、掌握知識的程度和運(yùn)用知識的能力。學(xué)生在學(xué)習(xí)解題過程中要刻意滲透，不僅要注意提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的近期效果，而且要努力提高自己分析問題與解決問題的能力，培養(yǎng)自己素養(yǎng)的遠(yuǎn)期作用.

總之，化歸與轉(zhuǎn)化思想貫穿于中學(xué)數(shù)學(xué)解題的始終，化歸與轉(zhuǎn)化的方法精彩紛呈、不勝枚舉！學(xué)生必須深刻理解化歸與轉(zhuǎn)化的精髓，把握化歸與轉(zhuǎn)化的方法.只有這樣，才能進(jìn)一步提高分析問題和解決問題的能力.

編輯 薛直艷