大學(xué)文科數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計中的辯證關(guān)系

摘 要：從研究大學(xué)文科數(shù)學(xué)課程目標(biāo)層次上的針對性、教學(xué)內(nèi)容層次上的適應(yīng)性、探索提高大學(xué)文科數(shù)學(xué)教學(xué)策略方法層次上的效度及其對象層次需求的匹配度出發(fā)，探討教育數(shù)學(xué)理念下大學(xué)文科數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計理念上的若干維度。研究表明，在大學(xué)文科數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計中，必須處理好學(xué)科嚴謹度與文化飽和度、設(shè)計問題難易度與受眾廣泛度、教學(xué)內(nèi)容寬泛度與處置合情度、教學(xué)策略科學(xué)性與情感融入度等關(guān)系。

文獻標(biāo)志碼：A

文章編號：1674－5884（2015）09－0046－03

doi：10．13582／j．cnki．1674－5884．2015．09．014 ①

收稿日期：20150320

基金項目：2014河北省高等學(xué)校科學(xué)研究計劃教育科學(xué)規(guī)劃項目（GH141086）；廊坊師范學(xué)院教學(xué)改革課題重點項目（K2011－

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作者簡介：張西恩（1965－），男，河南滑縣人，副教授，碩士，主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)論、數(shù)學(xué)文化研究。

1　問題的提出

在大數(shù)據(jù)時代，實用數(shù)學(xué)素養(yǎng)、公民數(shù)學(xué)素養(yǎng)、專業(yè)數(shù)學(xué)素養(yǎng)、休閑數(shù)學(xué)素養(yǎng)以及文化數(shù)學(xué)素養(yǎng)是作為一個現(xiàn)代公民必須具備的數(shù)學(xué)素養(yǎng) ［1］，大學(xué)文科數(shù)學(xué)培養(yǎng)的正是文科學(xué)生的上述數(shù)學(xué)素質(zhì)和思維素質(zhì)。然而，大學(xué)文科數(shù)學(xué)在我國高校開設(shè)的時間較短，尚未形成一整套成熟的課程體系，尚未形成熟悉文科各專業(yè)的教師隊伍，從目前情形來看，關(guān)注大學(xué)文科課程改革的研究人員、教學(xué)管理人員及參與具體教學(xué)的廣大教師，在教學(xué)理念、課程內(nèi)容等具體要求和認識上尚缺乏深入且統(tǒng)一的結(jié)論，在很多方面還存在較大的爭議和理論空白 ［2］。

自2011年以來，筆者多次對廊坊師院和邯鄲學(xué)院的文科生進行過問卷調(diào)查，樣本總數(shù)達1千多人次。結(jié)果顯示，在對數(shù)學(xué)課的價值認識上，25%的同學(xué)認同其價值，56%的不認同，19%的回答“說不清”；關(guān)于課程內(nèi)容，18%的同學(xué)認為合適，38%的認為基本合適，44%的認為不合適；對教學(xué)方式的滿意度，呈現(xiàn)嚴重分化，可能與不同教師的教學(xué)風(fēng)格有關(guān)；就教與學(xué)的效果而言，有60%的同學(xué)認為“一般”，有5%的人認為“很差”，只有35%的同學(xué)認為“較好”。調(diào)查發(fā)現(xiàn)，《大學(xué)文科數(shù)學(xué)》課程和教學(xué)中存在著突出的理論問題和現(xiàn)實矛盾，其中最突出的有兩個方面：其一，課程的內(nèi)容體系定位不夠準確。課程體系和教材內(nèi)容方面理應(yīng)針對文科專業(yè)的特點，定位于培養(yǎng)文科生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，而現(xiàn)狀卻是傳統(tǒng)的理工類高等數(shù)學(xué)內(nèi)容體系的移植和刪簡。其二，教育觀念和教學(xué)方法等方面急待轉(zhuǎn)變和改進。教學(xué)中重知識的傳授，輕數(shù)學(xué)思想方法的提煉，注重結(jié)論而非過程，很少涉及人文教育。這樣的現(xiàn)實促使我們思考：大學(xué)文科數(shù)學(xué)與傳統(tǒng)理工類高等數(shù)學(xué)所教授的技術(shù)數(shù)學(xué)相比，教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)理念、目標(biāo)與方法是否應(yīng)該有明顯的區(qū)別？若有，差別又何在？在教育數(shù)學(xué)理念之下，如何改良高等數(shù)學(xué) ［3］，使之較易被文科生接受呢？為此，經(jīng)過長期理論探索和調(diào)查實驗，對大學(xué)文科數(shù)學(xué)課程目標(biāo)層次上的針對性、教學(xué)內(nèi)容層次上的適應(yīng)性、探索提高大學(xué)文科數(shù)學(xué)教學(xué)策略方法層次上的效度及其對象層次需求的匹配度，進行了廣泛和深入的研究，發(fā)現(xiàn)了文科數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計上的若干維度。研究表明，大學(xué)文科數(shù)學(xué)課程和教學(xué)設(shè)計理念上必須處理好幾個辯證關(guān)系。

2　大學(xué)文科數(shù)學(xué)課程和教學(xué)設(shè)計理念上的幾個辯證關(guān)系

2．1 學(xué)科嚴謹度與文化飽和度

嚴謹性是數(shù)學(xué)三大特性之一，自不待說，所謂文化飽和度是指始終把數(shù)學(xué)作為一種文化，作為整體文化的子文化去教學(xué)，始終把數(shù)學(xué)與其他人文專業(yè)融合在一起去教學(xué)，即最大程度地使數(shù)學(xué)教學(xué)文化化 ［4］。

如極限定義方式的選擇上，從學(xué)科上講最嚴謹?shù)亩x方式是“ε－δ”定義，但其難度已大到大多數(shù)文科生難以理解的程度，當(dāng)然極其不利于其成功體驗，只能挫傷其學(xué)習(xí)積極性。此時，我們從數(shù)學(xué)文化角度去考量，可以安排這樣的文化之旅，從中國古代數(shù)學(xué)家劉徽“割圓”的思想入手，帶領(lǐng)學(xué)生了解極限思想的起源和發(fā)展，從有限到無限、由量變到質(zhì)變，從而給出極限的描述性定義，極限“概念”難點得以突破，同時，匹配了文科學(xué)生對知識層次上的文化需求，也突出了數(shù)學(xué)思想的哲學(xué)意義。

再如，在學(xué)習(xí)函數(shù)、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的原函數(shù)之相互關(guān)系時，以學(xué)科嚴謹度來說，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的差商的極限，而函數(shù)的原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)本身，以人文角度來說，正應(yīng)了一句俗語“前三十年由父看子，后三十年由子看父，”從求導(dǎo)運算上來說，如果說函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如函數(shù)生成之子的話，那么函數(shù)的原函數(shù)則似函數(shù)生命之父，函數(shù)的原函數(shù)、函數(shù)本身及其導(dǎo)數(shù)構(gòu)成了祖孫三代，這樣的比喻不僅不會破壞這些概念間關(guān)系的嚴謹度，而且為干澀的數(shù)學(xué)澆注了人文的營養(yǎng)液，何樂而不為呢？

我們知道，形式化、規(guī)范化的數(shù)學(xué)語言是數(shù)學(xué)的特點之一，也是數(shù)學(xué)的優(yōu)勢之一，恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)符號能夠較好地推動數(shù)學(xué)的發(fā)展，這也是數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容之一 ［5］。也正是這些符號，使數(shù)學(xué)更加抽象、神秘、干澀和冷艷，令許多文科生望而卻步。如果把這些符號的來歷講清楚，優(yōu)勢展現(xiàn)和彰顯出來，讓干巴巴的符號有血有肉，充滿人情味，使之達到充分的文化飽和度，我想任何人都會喜歡上它們的。比如，積分符號∫是德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲發(fā)明的，它是字母S拉長而成的，S是“求和”的英文“Summa”的首字母，表示定積分是一個特殊的求和過程 ［6］；該符號既有準確的內(nèi)涵又有簡潔的形式，外形似一個身材修長、凹凸有致的美女，美麗而高雅。再加上∫ b a還能表達出積分的上下限，形象、好用，所以這樣的定積分符號被數(shù)學(xué)家廣泛接受且一直延用至今。與萊布尼茲同時代的大數(shù)學(xué)家牛頓也獨立發(fā)明了微積分，也創(chuàng)造了自己的導(dǎo)數(shù)符號x和定積分符號 ［7］，雖然這些符號也使用了很長一段時間，但終因不如萊布尼茲創(chuàng)造的符號好用而逐漸消亡。

2．2 設(shè)計問題難易度與受眾廣泛度

大學(xué)文科數(shù)學(xué)的教學(xué)要針對最廣泛的文科學(xué)生群體，而不僅僅是那些對數(shù)學(xué)感興趣的佼佼者，是作為提高文科生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的文化教育，而不是培養(yǎng)研究型專業(yè)人才的理論教學(xué)。因此，設(shè)計問題情景應(yīng)盡量切合日常生活實際，由淺顯易懂的問題切入，真正做到由淺入深、深入淺出，這樣才能降低思維梯度，使文科生有興趣、可觸及，數(shù)學(xué)教學(xué)才能有血肉、富實效。

比如“微分”概念的引入，一般的數(shù)學(xué)教材是從面積改變量實例引入定義，之后解釋其幾何意義，其引入過程理論性強、問題性差，引入概念的價值不明。若改為如下引入方式，由曲線y＝f（x）上的點P，橫坐標(biāo)從a變成x時，函數(shù)值從f（a）變成f（x），估計函數(shù)值的增加量，此時，作出點P 0（a，f（a））處曲線的切線：y＝f（a）＋f′（a）（x－a），以y≈f（x）代換得f（x）≈f（a）＋f′（a）（x－a），可見f（x）的增量近似值為f′（a）（x－a），橫坐標(biāo)改變量很小時，切線接近曲線，以f′（a）（x－a）為f（x）的增量的近似值的誤差也很小，而f′（a）（x－a）是更易計算的，所以精度要求不高時，此法是有效的，稱f′（a）（x－a）為y＝f（x）在處a的微分，這里既加強了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，突出了“以直代曲”的思想，也指出微分方法的價值和有效性（以簡代繁） ［8］。這樣的設(shè)計，構(gòu)作了難易適中的問題情景，使知識梯度化，降低了思維坡度 ［9］，自然地，便贏得了最廣泛的受眾。

2．3 教學(xué)內(nèi)容寬泛度與處置合情度

目前，大學(xué)文科數(shù)學(xué)教材版本很多，包含的內(nèi)容有一元函數(shù)微積分、多元函數(shù)微積分、概率與統(tǒng)計初步、線性代數(shù)、微分方程、運籌學(xué)等，具體工作中，我們會結(jié)合課程學(xué)時遴選出一部分去教學(xué)，而按照培養(yǎng)文科生數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)和思維熏陶的功能，我們的選擇通常是盡量寬泛地涉及業(yè)已成熟的方法和完美的結(jié)論，以便讓學(xué)生盡量多地接觸不同的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，也從不同角度去了解數(shù)學(xué)文化概貌。與此同時，是否應(yīng)該且敢于介紹那些并沒有完美結(jié)論的數(shù)學(xué)問題呢？這里指的不僅是那些難以攻克的數(shù)學(xué)猜想，更是指數(shù)學(xué)家獲得真理的思維過程、數(shù)學(xué)思想的歷史局限性、甚至數(shù)學(xué)方法的缺陷，因為數(shù)學(xué)家們不斷試誤、創(chuàng)造真理的過程，解決新問題、完善舊方法的執(zhí)著與勇氣，正是提高文科生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要源泉，也正是數(shù)學(xué)課中德育滲透的重要法寶。

比如，利用面積引出積分，同樣是對于“曲邊梯形面積是什么？”的問題，教材通常是通過對計算方法的介紹，給出一個看似“唯一”的定義，這樣就錯失了借助這個典型問題對初學(xué)者進行思想啟發(fā)的好機會。相反，如果針對這一問題，進行多角度思考，重視分析問題的思維過程，不必盲從于所謂共識，在沒有完美的結(jié)論之時，依然敢于將“說不清”或沒有唯一結(jié)論的問題講出來，或者指出解決問題的某一結(jié)論和方法的局限性，提示學(xué)生進一步思考，這雖然需要教師極大的勇氣和肚量，但卻還原了歷史的原貌，這樣的處置是合乎生活情理的，有血有肉的，也必然是學(xué)生更愿意接受的數(shù)學(xué)。

2．4 教學(xué)策略科學(xué)性與情感融入度

當(dāng)代大學(xué)文科生具有較強的叛逆心理、很強的自我意識、較差的抗挫折能力，其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相當(dāng)薄弱，致使他們對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)具有很強的抵觸和恐懼心理，這種現(xiàn)象在高校文科生中已經(jīng)成為一個客觀事實，學(xué)生對學(xué)習(xí)文科數(shù)學(xué)存在許多情感問題，學(xué)生不明確高校開設(shè)文科數(shù)學(xué)的作用，認識不到學(xué)習(xí)文科數(shù)學(xué)對自身的重要性，認為學(xué)習(xí)的內(nèi)容枯燥乏味，學(xué)習(xí)文科數(shù)學(xué)就是為了修個學(xué)分，這樣的情感使文科學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)索然無味。因此，我們在講究教學(xué)策略科學(xué)化時，將情感融入大學(xué)文科數(shù)學(xué)教學(xué)中勢在必行 ［10］。情感融入的基礎(chǔ)當(dāng)然是建立良好的師生關(guān)系，給數(shù)學(xué)情感的培養(yǎng)營造一個良好的氛圍，這屬于教育心理學(xué)的研究范疇。我要強調(diào)的是，在教學(xué)內(nèi)容和策略的設(shè)計上，如何充分運用數(shù)學(xué)文化的人文價值實現(xiàn)這一融入。數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)教學(xué)也是數(shù)學(xué)教育者熱議的焦點之一，這里的切入點是數(shù)學(xué)文化融入的泛生活化，是“有機的”“水到渠成的” ［11］。

教學(xué)設(shè)計中，不應(yīng)拿出專門的章節(jié)“正正經(jīng)經(jīng)”地去講數(shù)學(xué)史或數(shù)學(xué)家故事，而是在每一部分數(shù)學(xué)知識的教學(xué)之內(nèi)，“信手拈來”“無心插柳”，這樣介紹的數(shù)學(xué)趣聞、歷史背景和知識內(nèi)容有機結(jié)合而非附著于表面，是情感的自然流露，激起情感的共鳴才有了可能。當(dāng)教學(xué)策略的科學(xué)性與情感的融入度有了高密度的匹配，轉(zhuǎn)變文科生的數(shù)學(xué)觀和學(xué)習(xí)積極性才有可能成為可以企及的目標(biāo)。