基于正定矩陣等價(jià)性的判定方法

張二喜，楊 浩，劉高杰

(成都理工大學(xué)管理科學(xué)學(xué)院，四川 成都 610059)

基于正定矩陣等價(jià)性的判定方法

張二喜，楊 浩，劉高杰

(成都理工大學(xué)管理科學(xué)學(xué)院，四川 成都 610059)

運(yùn)用高等代數(shù)中一系列矩陣?yán)碚摰南嚓P(guān)知識(shí)，討論了正定矩陣的等價(jià)條件，通過這些等價(jià)條件得到了正定矩陣的若干判定方法，如定義法、順序主子式法、合同關(guān)系法、特征值法以及半正定法，并對(duì)每一種方法做了實(shí)例說明.

正定矩陣;等價(jià)條件;判定;順序主子式;合同;特征值;半正定

0 引言

隨著數(shù)學(xué)本身及應(yīng)用矩陣的其它學(xué)科或領(lǐng)域的發(fā)展，正定矩陣引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注［1－4］.對(duì)正定矩陣判定的研究也取得了巨大進(jìn)展［5－8］.二次齊次多項(xiàng)式在實(shí)際工作和理論研究中是一種重要的多項(xiàng)式，它不僅在數(shù)學(xué)的許多分支中要用到，而且在物理學(xué)中也會(huì)經(jīng)常遇到.實(shí)二次型的正定二次型具有特殊的位置，正定二次型的系數(shù)矩陣就是正定矩陣.因此，對(duì)正定矩陣的討論研究無論在矩陣?yán)碚摲矫妫€是實(shí)際應(yīng)用方面都有重要的意義.本研究在前人的基礎(chǔ)上對(duì)正定矩陣的性質(zhì)、判定做了進(jìn)一步的討論研究，獲得了相應(yīng)的一些結(jié)論.

1 正定矩陣的等價(jià)條件

1.1 正定矩陣的定義

定義1［1］n階實(shí)對(duì)稱矩陣A稱為正定矩陣，如果對(duì)于任意的n維實(shí)非零實(shí)列向量X，都有XTAX＞0.正定的實(shí)對(duì)稱矩陣A簡(jiǎn)稱為正定矩陣，記作A＞0.單位矩陣E就是正定矩陣.

1.2 正定矩陣的等價(jià)條件

定理1 設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，則以下條件等價(jià)［2－3］:

1)A為正定矩陣;

2)對(duì)于任意一組不全為零的數(shù) c1，c2，…，cn，有，

3)任意 α ∈Rn，α ≠0，有，α'Aα ＞ 0;

4)任意n階可逆陣C，C'AC正定;

6)存在正交陣P，使P'AP=In;

7)A的特征值全大于0;

8)A的順序主子式全大于0.

2 正定矩陣的判定方法

2.1 定義法

運(yùn)用正定矩陣的定義來判定正定矩陣有時(shí)很簡(jiǎn)便.

例1 如果A，B都是n階正定矩陣，證明，A+B也是正定矩陣.

證明 因?yàn)?A，B為正定矩陣，所以 X'AX，X'BX為正定二次型，且

因此，

于是，X'(A+B)X必為正定二次型，從而A+B為正定矩陣.

2.2 順序主子式法

在上述等價(jià)條件中，條件1)與8)是等價(jià)的，因此可借助順序主子式來判定正定矩陣，即n階實(shí)對(duì)稱矩陣A的一切順序主子式都大于0，則A為正定矩陣［4］.

解 二次型f的矩陣為三角矩陣，

A的任意的k階順序主子式，

所以，矩陣A為正定矩陣，原二次型為正定二次型.

2.3 合同關(guān)系法

例3 A合同于n階單位矩陣E，則A為正定矩陣.

證明 若A合同于E，則存在可逆矩陣B，使得，

任取，X≠0，BX=Y=(y1，y2，…，yn)T，則Y≠0.

于是，

故A為正定矩陣.

2.4 特征值法

在等價(jià)條件的討論中，條件1)等價(jià)于7)，因此可借助特征值來判定正定矩陣，即n階實(shí)對(duì)稱矩陣A的所有特征值都大于0，則A為正定矩陣［8］.

例4 試證二次型，

為正定二次型.

證明 設(shè)f對(duì)應(yīng)的矩陣為A，則，

計(jì)算可得，

所以，A 的特征值為，λ1= … = λn－1=1，λn=n+1，由于A的特征值全為正，所以A為正定陣，從而f為正定二次型.

2.5 半正定法

例5 設(shè)A是n階正定矩陣，B是n階半正定矩陣，求證，

當(dāng)且僅當(dāng)B=0或n=1時(shí)等號(hào)成立.

證明 由A＞0知，存在n階可逆矩陣P，使得PTBP=En，有，

又因?yàn)镻TBP顯然是半正定的，設(shè)，

則有，

其中，ci是 C 的所有 i階主子式之和，i=1，2，…，n.因?yàn)?，C=PTBP≥0，它的主子式都非負(fù)，因此，

所以，

由此得，

當(dāng)B=0或n=1時(shí)，顯然，

成立.

當(dāng) B≠0且n ＞1時(shí)易知PTBP=C≠0n×n，于是至少有一個(gè)cij≠0，此時(shí)C的一階主子式cii，cjj不能為零，否則，這與C半正定矛盾.于是c1＞0，進(jìn)一步有，

從而，

成立.

［1］王萼芳，石生明.高等代數(shù)［M］.北京:高等教育出版社，1996.

［2］張奎，楊俠.正定矩陣的若干等價(jià)條件［J］.阜陽師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2005，22(1):19 －20.

［3］王平.廣義Fuzzy正交矩陣［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2003，26(4):366 －369.

［4］司鳳娟.實(shí)正交矩陣的性質(zhì)及判定［J］.科技視界，2013，3(17):85.

［5］姜國(guó).正定矩陣的判定與性質(zhì)［J］.湖北師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2006，26(1):15 －16.

［6］倪凌煒.實(shí)正定矩陣的若干判定方法［J］.湖州師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2004，26(2):12 －14.

［7］胡躍進(jìn)，駢俊生.廣義正定矩陣的一個(gè)不等式［J］.阜陽師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2001，18(1):10 －11.

［8］陳惠汝，劉紅超.關(guān)于正規(guī)矩陣的判定［J］.高師理科學(xué)刊，2009，29(5):87 －89.

Determination Method Based on Equivalence of Positive Definite Matrix

ZHANG Erxi，YANG Hao，LIU Gaojie
(College of Management Science，Chengdu University of Technology，Chengdu 610059，China)

This paper uses a series of advanced algebra matrix theories to discuss the equivalence conditions of positive definite matrix.By these conditions，we obtain several determination methods for positive definite matrix，including the definition method，the order principal minors method，the contractual relationship method，the eigenvalue method and the positive semi-definite method.This paper gives one example for each method.

positive definite matrix;equivalence condition;determination;order principal minors;contract;eigenvalue;positive semi-definite

O151.21

A

1004－5422(2015)01－0032－03

2015－02－04.

張二喜(1990—)，男，碩士研究生，從事概率論與拓?fù)鋵W(xué)研究.

book=218,ebook=218