首次積分法及其在非線性電報方程中的應(yīng)用

李 釗，孫峪懷，黃 春

(四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院，四川 成都 610066)

首次積分法及其在非線性電報方程中的應(yīng)用

李 釗，孫峪懷，黃 春

(四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院，四川 成都 610066)

在交換代數(shù)環(huán)理論的基礎(chǔ)上，通過首次積分方法和Maple軟件，研究了非線性電報方程，得到了該方程新的精確解.

首次積分法;非線性電報方程;精確解;除法定理

0 引言

非線性電報方程［1］，也稱非線性傳輸方程，其形式為，

式中，α，β，γ，δ是常數(shù)，x代表空間位置，t表示時間，u表示某時刻各點(diǎn)的電位.

方程(1)是非常重要的數(shù)學(xué)物理方程，特別地，當(dāng)α=1，β=0時，方程(1)為Klein-Gordon方程.因此求解方程(1)的精確解意義重大.對于方程(1)，范恩貴等［2］利用齊次平衡法并結(jié)合吳消元法，獲得了方程(1)的孤波解.李想等［3］利用平面動力系統(tǒng)理論對方程(1)的行波解對應(yīng)的動力系統(tǒng)作定性分析，研究了方程(1)有界行波解的個數(shù)和所有可能存在的解形式.郭鵬等［4］利用Tanh-coth方法求解了非線性電報方程，得到了扭結(jié)狀孤立波，奇異行波解和三角函數(shù)周期波解.

首次積分法首先由Feng［5］提出，其基本原理是對非線性發(fā)展方程做行波變換，化為常微分方程(組)，由可交換代數(shù)環(huán)理論找出一階常微分方程(組)的首次積分，然后利用直接積分得到方程的精確解.實(shí)踐證明，這個方法可以用來求解許多非線性發(fā)展方程的精確解［6－8］.基于此，本研究利用首次積分法討論方程(1)的精確解.

1 首次積分法

除法定理［7］設(shè) P(ω，z)是復(fù)數(shù)域 C［ω，z］上的多項(xiàng)式，并且P(ω，z)在 C［ω，z］上是不可約的，如果Q［ω，z］包含P(ω，z)的全部零點(diǎn)，那么在復(fù)數(shù)域C(ω，z)上存在一個多項(xiàng)式G(ω，z)使得，

對于含獨(dú)立變量x，t的非線性發(fā)展方程，

式中，u=u(x，t)是未知函數(shù)，P是u和u的關(guān)于x和t的各階偏導(dǎo)數(shù)的多項(xiàng)式.

利用首次積分法求解式(3)的主要步驟如下:

步驟1 通過行波變換將x和t轉(zhuǎn)化為行波變量ζ，設(shè)定，

式中，ω為待定常數(shù)，式(4)就可轉(zhuǎn)化為只含行波變量ζ的二階常微分方程，

式中，u'=du/dζ，u″=d2u/dζ2.

步驟2 引入2個獨(dú)立變量，X(ζ)=u(ζ)，Y(ζ)=u'(ζ)，則式(5)等價于一階常微分方程組，

步驟3 設(shè)式(6)的首次積分形式為，

式中，ai(X)(i=0，1，…，m)(通常 m=2)，是實(shí)數(shù)域上的待定多項(xiàng)式.根據(jù)除法定理，存在實(shí)數(shù)域上的多項(xiàng)式α(X)，β(X)使得，

由式(8)確定多項(xiàng)式 α(X)，β(X)，進(jìn)而求出P(X，Y).

步驟 4 將 X(ζ)=u(ζ)，Y(ζ)=u'(ζ)代入式(7)中，解之即可得到式(5)的精確解.

2 方程(1)的解

首先，將方程(1)進(jìn)行行波變換，ζ=x－ωt，將ζ=x－ωt代入到方程(1)中，得到常微分方程，

令，X(ζ)=u(ζ)，Y(ζ)=u'(ζ)，則式(9)的等價方程為，

式中，

根據(jù)式(10)和除法定理，可確定式(9)的首次積分.

設(shè)式(9)的首次積分的形式為，

式中，ai(X)(i=0，1，2，…，m)是實(shí)數(shù)域上的待定多項(xiàng)式.根據(jù)除法定理，存在實(shí)數(shù)域上的多項(xiàng)式α(X)，β(X)使得，

情形1 當(dāng)m=1時，由式(13)兩邊Yi(i=0，1，2)的系數(shù)相等，即，

因?yàn)?，ai(X)(i=0，1)均是X的多項(xiàng)式，由式(14)可以推出a1(X)是常數(shù)且β(X)=0.不失一般性，取a1(X)=1，將其代入式(15)，平衡α(X)和β(X)的次數(shù)，可得出，deg(α(X))=1，deg(a0(X))=2，不妨設(shè)，α(X)=A1X+A0，則由式(15)可得，

式中，D為積分常數(shù).

將 α(X)，a0(X)，a1(X)代入式(16)，并令所有Xi的所有系數(shù)為零，得到，

解式(18)，得到2組解，

將上面的式(19)、(20)代入式(12)，可分別得到，

將 X(ζ)=u(ζ)，Y(ζ)=u'(ζ)分別代入式(21)、(22)，解得，

由此可得方程(1)的一組精確解為，

情形2 當(dāng)m=2時，由式(12)兩邊Yi(i=0，1，2，3)的系數(shù)相等，得，

因?yàn)?，ai(X)(i=0，1，2)均是X的多項(xiàng)式，由式(27)可以推出a2(X)是常數(shù)，且β(X)=0.不失一般性，取a2(X)=1，將其代入式(28)，平衡α(X)和β(X)的次數(shù)，可得出 deg(α(X))=0，或者deg(α(X))=1.事實(shí)上，如果 degα(X)＞ 1，設(shè)degα(X)=k(k ＞ 1)，由式(28)、(29)可知，dega1(X)=k+1，dega0(X)=2k+2，而由式(30)可知，k+4=3k+2，即k=1，這與k＞1矛盾.

當(dāng)degα(X)=0時，取α(X)= α0，將其代入式(28)、(29)可得，

式中，G為積分常數(shù).

將α(X)，a0(X)，a1(X)代入式(30)中，令X的同冪次項(xiàng)系數(shù)為0，得代數(shù)方程組，

解代數(shù)方程組(31)，得到2組解，

將式(32)代入式(12)，可得到，

式(33)可化簡為，

將 X(ζ)=u(ζ)，Y(ζ)=u'(ζ)代入式(34)，運(yùn)算可知其與m=1的結(jié)果相同.

當(dāng) degα(X)=1 時，取 α(X)=A5X+A4，將其代入式(26)、(27)可得，

式中，E、F為積分常數(shù).

將 α(X)，a0(X)，a1(X)，a2(X)代 入 式 (30)中，令X的同冪次項(xiàng)系數(shù)為0，得代數(shù)方程組，

解式(37)～(42)，得，

將式(43)、(44)代入式(12)，可得到，

化簡式(45)、(46)，得，

聯(lián)立式(47)、(48)和式(12)，運(yùn)算可知其與m=1的情況相同.

3 結(jié)論

近年來，許多學(xué)者應(yīng)用首次積分法求解非線性發(fā)展方程的精確解.與雙曲函數(shù)方法和輔助方程法直接求解方法相比較，首次積分法具有許多優(yōu)點(diǎn):首先，首次積分法不需要先對方程解的形式進(jìn)行假設(shè)，再代入進(jìn)行求解;其次，它在獲得精確解的過程中，避免了求解復(fù)雜和繁瑣超越方程的計算.

［1］Farlow S J.Partial differential equations for scientists and engineers［M］.New York:Wiley Interscience，1982.

［2］范恩貴，張鴻慶.非線性波動方程的孤立波解［J］.物理學(xué)報，1997，46(7):1254 －1258.

［3］李想，張衛(wèi)國，趙巖.非線性電報方程行波解的定性分析與求解［J］.上海理工大學(xué)學(xué)報，2011，33(4):372 －378.

［4］郭鵬，陳宗廣，孫小偉.非線性電報方程的簡潔解法［J］.大學(xué)物理，2014，33(4):15 －17.

［5］Feng Z S.The first-integral method to study the Burgers-Korteweg-de vries equation［J］.Journal of Physics A:Mathematical and General Physics，2002，35(2):343 －349.

［6］黃欣.首次積分法下高維非線性偏微分方程新的行波解［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2014，37(3):312 －315.

［7］Bourbaki N.Commutative algebra［M］.Paris:Herman，Publishers in Arts and Science，1972.

［8］孫峪懷，楊少華，王佼，等.非線性Chaffee-Infante反應(yīng)擴(kuò)散方程的新精確解［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2012，35(3):293 －296.

First Integral Method and Its Applications in Nonlinear Telegraph Equation

LI Zhao，SUN Yuhuai，HUANG Chun
(College of Mathematics and Software Science，Sichuan Normal University，Chengdu 610066，China)

Based on the ring theory of commutative algebra，applying the first integral method，and combining the software of Maple，we obtain some new exact traveling wave solutions for the nonlinear telegraph equation.

first integral method;nonlinear telegraph equation;exact solution;division theorem

O175.29

A

1004－5422(2015)01－0029－04

2015－02－04.

四川省教育廳自然科學(xué)重點(diǎn)基金(2012ZA135)資助項(xiàng)目.

李 釗(1984—)，男，碩士研究生，從事非線性方程研究.