基于驗后方差估計的穩(wěn)健整體最小二乘方法

李 政，李永樹，楚 彬

（西南交通大學(xué) 地球科學(xué)與環(huán)境工程學(xué)院，四川 成都610031）

穩(wěn)健估計法能夠保證所估的參數(shù)不受或少受模型誤差（首先指的是粗差）的影響，這種方法主要用來發(fā)現(xiàn)粗差和對粗差進(jìn)行定位［7］。然而一般穩(wěn)健估計權(quán)函數(shù)多通過經(jīng)驗法選取，而且權(quán)被表示成改正數(shù)的函數(shù)。由于改正數(shù)僅是真誤差的可見部分，所以經(jīng)驗權(quán)函數(shù)未顧及平差的幾何條件。事實上，粗差可以視為來自期望為零、方差很大的正態(tài)母體的子樣［8］。根據(jù)整體最小二乘的驗后方差估計，求出觀測值的驗后方差，通過方差檢驗可找出方差異常大（即含粗差）的觀測值；根據(jù)經(jīng)典權(quán)與觀測值方差成反比的性質(zhì)賦予它一個相應(yīng)小的權(quán)進(jìn)行下一步迭代平差，逐步實現(xiàn)粗差定位。

1 驗后方差估計定權(quán)

大地測量和攝影測量平差往往包含多組觀測值，每組包含的觀測值具有相同的精度。若假定觀測值互不相關(guān)，則可按Forst ner［9］提出的方法求解各組觀測值的驗后方差：

其中

為了發(fā)現(xiàn)每組觀測值內(nèi)的粗差，對第i組內(nèi)任一觀測值li，j求其方差估值＾和相應(yīng)的多余觀測分量ri，j。根據(jù)式（1）、式（2）可得

由此，建立下列統(tǒng)計量來檢驗該方差是否異常，即相應(yīng)的觀測值是否包含粗差［10］：

H0假設(shè)：E（）＝E），

注:Rpei,Rpej—高低壓繞組單元與油箱之間的絕緣電阻;Cii,Cij—高低壓繞組單元的對地電容;hi,lj—高低壓側(cè)的節(jié)點;Ki,Kj—高低壓繞組各單元間的串聯(lián)電容;Rpi,Rpj—高低壓繞組各單元之間的絕緣電阻;Rsi,Rsj—高低壓繞組各單元的歐姆電阻;Chlij—高低壓繞組之間的電容;L—自感;M—互感。uhi-1,ulj-1—hi-1和lj-1節(jié)點的節(jié)點電壓;ihi,ilj—流過高低壓繞組單元阻抗支路的支路電流。

假設(shè)觀測值li，j不含粗差，即H0假設(shè)成立，則統(tǒng)計量Ti，j近似為自由度為1和ri的中心F分布。若Ti，j＞Fa，1，ri，則表明該觀測值方差與該組觀測值方差有顯著差異，它很可能包含粗差。于是按下列權(quán)函數(shù)計算迭代平差中觀測值的權(quán)：

由于第一次迭代中，含粗差觀測值的權(quán)是不準(zhǔn)確的，因此所有的殘差及＾δ0均會受影響，即此時的估計是有偏差的。由于驗后方差在迭代過程中不斷變化，將粗差觀測值的權(quán)逐步減小，直至接近于零，最終不影響平差結(jié)果，從而使估計從有偏走向無偏。

2 穩(wěn)健整體最小二乘解

在選定合適的權(quán)函數(shù)之后，根據(jù)Krar up［10］提出的最小二乘穩(wěn)健估計方法對觀測向量的協(xié)因數(shù)陣Qy進(jìn)行Cholesky分解：Qy＝Gy，Gy為上三角矩陣。由于在EIV模型中，系數(shù)矩陣中的元素可能為常數(shù)或可確定的元素，其協(xié)方差陣QA的某些行或列的元素可能全為0，因此QA并非為正定矩陣，所以不能采用Cholesky分解。因此本文引入Schur分解定理［11］：假設(shè)A為n×n維實對稱矩陣，那么則有n×n維正交矩陣S和對角矩陣U U中對角線上的元素為A的特征值），使得STAS＝U，STS＝In。

將QA進(jìn)行Schur分解可得QA＝SUST。結(jié)合文獻(xiàn)［15］中加權(quán)整體最小二乘解（WTLS）和文獻(xiàn)［10］的最小二乘穩(wěn)健估計方法，可得穩(wěn)健整體最小二乘解（RTLS）迭代過程：

1）構(gòu)造系數(shù)矩陣的協(xié)方差矩陣QA，

2）Qy＝Gy，QA＝SUST，

其中，Py（i）和PA（i）由式（5）確定，（·）－0．5為矩陣·的算術(shù)平方根逆根。在迭代過程中，對統(tǒng)計量Ti，j進(jìn)行假設(shè)檢驗，然后根據(jù)式（5）更新下一次迭代的權(quán)函數(shù)。通過迭代，含粗差觀測值的權(quán)函數(shù)元素值會逐步趨近于0，不含粗差觀測值的權(quán)函數(shù)元素變化不大。因此，此方法不僅可以對粗差進(jìn)行定位，而且所估參數(shù)受粗差影響較小，具有穩(wěn)健性。

3 實驗與討論

在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換實驗中，由于觀測方程等號兩邊都為觀測值，不可避免會存在隨機誤差，因此采用整體最小二乘方法求解待估參數(shù)更為合理［12］。然而，當(dāng)觀測值混入粗差時，普通整體最小二乘方法解得的各待估參數(shù)受粗差影響較大，精度較低。為了檢驗本文穩(wěn)健整體最小二乘方法（RTLS）的可行性，分別采用一般最小二乘（LS）、文獻(xiàn)［15］中提出的加權(quán)整體最小二乘（WTLS）以及本文的穩(wěn)健整體最小二乘（RTLS）三種方法求解待估參數(shù)，并評價其精度。實驗步驟流程見圖1。

3．1 實驗數(shù)據(jù)

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的基本原理是在兩套坐標(biāo)系下通過足夠數(shù)量同名點求取坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)，然后根據(jù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)將某一坐標(biāo)系下坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到另一坐標(biāo)系下。因此，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵就是求解坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)。假設(shè)兩套坐標(biāo)系有以下轉(zhuǎn)換關(guān)系：

假設(shè)有n組觀測值時，觀測方程如下：

圖1 實驗步驟流程圖

實驗以文獻(xiàn)［16］數(shù)據(jù)為例，假設(shè)有13組觀測值，見表1，通過參數(shù)a1＝0．9，b1＝－0．8，c1＝1，a2＝0．6，b2＝0．7，c2＝5從某一坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換至另一坐標(biāo)系。

表1 模擬觀測數(shù)據(jù)

3．2 觀測值僅含有偶然誤差

本文對x0和y0添加ε1∈［－0．3～0．3］的隨機誤差得到組成系數(shù)矩陣的觀測值，對xt和yt添加ε2∈［－0．2～0．2］的隨機誤差構(gòu)成與系數(shù)矩陣不同精度的觀測向量的值，然后通過編寫程序，分別采用一般最小二乘（LS）、加權(quán)整體最小二乘（WTLS）、穩(wěn)健整體最小二乘（RTLS）求得坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)，求解結(jié)果見表2。

表2 待估參數(shù)統(tǒng)計表（觀測值僅含偶然誤差）

由表2可知，當(dāng)觀測向量和系數(shù)矩陣同時含有偶然誤差時，采用加權(quán)整體最小二乘法（WTLS）和穩(wěn)健整體最小二乘法（RTLS）所求待估參數(shù)的精度要高于一般最小二乘法（LS）。由于觀測值不含粗差，因此在假設(shè)檢驗過程中，H0假設(shè)成立，迭代過程中其權(quán)函數(shù)并未發(fā)生變化，所以采用加權(quán)整體最小二乘法（WTLS）和穩(wěn)健整體最小二乘法（RTLS）獲得的結(jié)果相同。

3．3 觀測值含有偶然誤差與粗差

為了驗證穩(wěn)健整體最小二乘法（RTLS）是否有正確定位粗差并且降低粗差對其他觀測數(shù)據(jù)影響的能力，對模擬觀測數(shù)據(jù)加入隨機誤差的同時在第3組數(shù)據(jù)x0與y0中混入3δ0粗差，第7組數(shù)據(jù)xt與yt中混入10δ0粗差，然后分別采用一般最小二乘法（LS）、加權(quán)整體最小二乘法（WTLS）和穩(wěn)健整體最小二乘法（RTLS）求解坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)，見表3。

表3 待估參數(shù)統(tǒng)計表（觀測值含偶然誤差和粗差）

由表3可知，在觀測數(shù)據(jù)混入粗差時，無論采用一般最小二乘法（LS）還是加權(quán)整體最小二乘法（WTLS）求得的待估參數(shù)都偏離真值較遠(yuǎn)。并且所含粗差越大，對其他觀測數(shù)據(jù)影響越大。采用穩(wěn)健整體最小二乘法（RTLS）求解待估參數(shù)，雖然不能完全剔除粗差的影響，但是無論所含粗差大小，其他觀測值受其影響較小 因此本文所述方法具有穩(wěn)健性。為了探究穩(wěn)健整體最小二乘法（RTLS）如何抵抗粗差影響，將迭代過程中含粗差的觀測值權(quán)值變化情況繪制成曲線，如圖2所示。

圖2 含粗差觀測值權(quán)變化曲線圖

圖2 中含有粗差的觀測值權(quán)函數(shù)數(shù)值變化較快，隨著迭代過程，其值越來越小。平差過程就是誤差分配的過程，穩(wěn)健整體最小二乘法（RTLS）根據(jù)觀測值的驗后方差，通過假設(shè)檢驗的方法檢測方差異常大的觀測值，并在下次迭代平差中賦予一個相應(yīng)小的權(quán)值，逐步實現(xiàn)粗差定位。由于含粗差觀測值的權(quán)值較小，其對待估參數(shù)求解“貢獻(xiàn)”也較小，因此待估參數(shù)能盡可能少的受到來自粗差的污染。

4 結(jié) 論

由上述實驗可知，當(dāng)觀測向量與系數(shù)矩陣同時存在偶然誤差時，采用加權(quán)整體最小二乘法（WTLS）以及本文的穩(wěn)健整體最小二乘法（RTLS）求解待估參數(shù)效果好于一般最小二乘法（LS）；當(dāng)觀測向量和系數(shù)矩陣同時混入粗差，采用一般最小二乘法（LS）以及加權(quán)整體最小二乘法（WTLS）求解待估參數(shù)時，改正數(shù)受粗差影響較大，所求參數(shù)嚴(yán)重偏離真值；而采用驗后方差估計進(jìn)行定權(quán)，能保證權(quán)函數(shù)盡可能少受粗差污染，在得到合適的權(quán)函數(shù)之后采用穩(wěn)健整體最小二乘法（RTLS）求解待估參數(shù)，其參數(shù)估值受粗差影響較小，具有穩(wěn)健性。

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