基于庫伊克模型的地面沉降預(yù)測分析

甄宗坤，蔡東健

（蘇州工業(yè)園區(qū)測繪地理信息有限公司，江蘇 蘇州215000）

地面沉降是指區(qū)域性地面高程下降的一種環(huán)境地質(zhì)變化［1－2］，從地面沉降的綜合分析來看，過度開采地下水是影響其形成與發(fā)展的重要因素［3－5］，在地下水水位持續(xù)降低的情況下，地面呈現(xiàn)不斷下沉的趨勢，沉降范圍也隨之?dāng)U大，也就是說，地面沉降的幅度和沉降速率與地下水水位下降表現(xiàn)為明顯的同步、正比關(guān)系［6－8］。另外，地面沉降變化態(tài)勢延續(xù)到本期，從而使得當(dāng)期地面沉降量受到自身影響［9－10］。因此，針對地面沉降與地下水水位變化的內(nèi)在關(guān)系，且考慮到地面沉降受到自身變化規(guī)律的影響，本文建立了基于庫伊克變換的地面沉降預(yù)測模型，并對預(yù)測模型進(jìn)行評價(jià)和分析。

1 庫伊克模型的建立

對于無限分布滯后變量模型：

式中：Yt為因變量，Xt－s（s＝0，1，2，…，t）為滯后自變量，μt為隨機(jī)擾動項(xiàng)，α為常數(shù)，βs（s＝0，1，2，…，t）為模型參數(shù)。

庫伊克提出兩個先驗(yàn)約束：模型參數(shù)的符號都是相同的；模型參數(shù)的衰減服從某種公比小于1的幾何級數(shù)

式中：β0為常數(shù)，λ（0＜λ＜1）為分布滯后衰減率，λ的大小決定了滯后衰減的速度，其值越小，衰減速度越快。

以上兩個先驗(yàn)約束對于地面沉降與地下水水位的關(guān)系是合理的，各期地下水水位對當(dāng)前地面沉降的影響是正的，且這種影響隨著滯后時(shí)間的增大隨之變小

將式（2）代入式（1）并整理各項(xiàng)，模型變?yōu)?/p>

顯然，模型仍然無法直接估計(jì)，可對其進(jìn)行庫伊克變換，減小模型參數(shù)的個數(shù)。將式（3）滯后一期，模型變?yōu)?/p>

對式（4）兩邊同乘以λ并與式（3）相減，整理各項(xiàng)得

整理式（5）有

令α＊＝（1－λ）α，＝β0，＝λ，＝μtλμt－1，則庫伊克模型變?yōu)?/p>

通過上述庫伊克變換，無限分布滯后模型被簡化為只有當(dāng)期自變量Xt和滯后一期的因變量Yt－1自回歸模型。模型只需估計(jì)α＊，，3個參數(shù)，極大地簡化了模型，且最大程度減小參數(shù)估計(jì)中自由度的損失。同時(shí)，Yt－1與Xt的線性相關(guān)程度小于X的各滯后值之間的相關(guān)程度，從而在很大程度上削弱了多重共線性。

2 實(shí)例計(jì)算及模型評價(jià)

2．1 實(shí)例計(jì)算

本文將采用庫伊克模型對地面沉降與地下水水位以及本身的關(guān)系進(jìn)行定量模擬，現(xiàn)收集到某地區(qū)1980～2002年連續(xù)23年內(nèi)的地面累計(jì)沉降值及地下水水位統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，如圖1所示。

圖1 某地區(qū)地面累計(jì)沉降值及地下水水位統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)

分別用Y和X兩個序列表示地面沉降量與地下水水位，為了保證模型參數(shù)是一致估計(jì)無偏量，對建立的庫伊克模型進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)。假定模型Yt＝α（1－λ）＋β0Xt＋λYt－1＋，（＝μtλμt－1）；隨機(jī)擾動項(xiàng)μt滿足古典假設(shè)，即

根據(jù)以上假設(shè)則有

由此可知，庫伊克模型Yt＝α＊＋Xt＋Yt－1＋μ＊t中隨機(jī)變量Yt－1與μ＊t相關(guān)，因此，不能直接采用最小二乘法對庫伊克模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，在估計(jì)模型前需解決兩個問題：診斷隨機(jī)擾動項(xiàng)μ＊t是否存在自相關(guān)；設(shè)法消除Yt－1與μ＊t的相關(guān)性。

其中T為樣本容量，R2為決定系數(shù)。給定顯著水平α＝0．05，查卡方分布表得

其中，p為滯后的期數(shù)。

采用工具變量法來消除變量Yt－1與擾動項(xiàng)μ＊t之間的相關(guān)性，選用替代變量Yt－1進(jìn)行估計(jì)，庫伊克模型變?yōu)?/p>

根據(jù)最小信息準(zhǔn)則以及地面沉降滯后理論，滯后期q＝2。

對Y和X兩個序列建立庫伊克模型，預(yù)測模型：

式中：Yt為第t年的地面沉降值，Xt為第t年的地下水水位，是的滯后值，且

2．2 模型評價(jià)

1）回歸方程分析。α＊＝8．499為樣本回歸方程的截距，表示自發(fā)的地面沉降量，＝0．493為地下水水位對地面沉降的影響程度，＝0．320為地面沉降受到自身趨勢的影響程度，可以看出，α＊，的符號和大小 基本符合該地區(qū)實(shí)際情況

2）擬合優(yōu)度檢驗(yàn)。采用決定系數(shù)R2來評價(jià)回歸方程對地下水水位和地面沉降量的模擬精度，統(tǒng)計(jì)模擬誤差，得到?jīng)Q定系數(shù)R2＝0．988 6，說明總離差平方的98．86%能被回歸方程解釋，預(yù)測模型擬合效果良好。同時(shí)，庫伊克預(yù)測模型計(jì)算所得地面沉降值與實(shí)際值相比，所得的誤差大部分在±3%以下，進(jìn)一步說明預(yù)測模型能較好擬合樣本的觀測值。圖2為模型預(yù)測值與實(shí)際值的對比圖。

圖2 模型預(yù)測值與實(shí)測值的對比圖

3）預(yù)測精度分析。對庫伊克模型進(jìn)行預(yù)測分析，分析結(jié)果如表1所示，均方根誤差RMSE和平均絕對誤差MAE作為相對指標(biāo)來評價(jià)相同序列在不同模型中的預(yù)測結(jié)果，誤差越小，該模型預(yù)測能力強(qiáng)，本文庫伊克模型均方根誤差RMSE和平均絕對誤差MAE均較小，說明模型預(yù)測效果較高。計(jì)量學(xué)規(guī)定平均絕對百分誤差MAPE取值在0～5之間，則預(yù)測精度較高，希爾不等式系數(shù)TIC介于0～1之間，且數(shù)值越小預(yù)測精度越高，模型平均絕對百分誤差MAPE＝3．417，希爾不等式系數(shù)TIC＝0．016，進(jìn)一步說明模型預(yù)測精度較高，預(yù)測值比較接近實(shí)際值。

表1 預(yù)測分析結(jié)果

3 結(jié)束語

針對地面沉降與地下水水位變化的內(nèi)在關(guān)系，且考慮到地面沉降受到自身變化規(guī)律的影響，建立基于庫伊克變換的地面沉降預(yù)測模型，應(yīng)用該模型對某地區(qū)地面沉降與地下水水位統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬分析，有效實(shí)現(xiàn)了該地區(qū)地面沉降與地下水水位以及本身之間的定量模擬，并探討模型的擬合效果和預(yù)測精度。結(jié)果表明，庫伊克模型能較好的擬合樣本的觀測值，預(yù)測精度較高，能較好的反映研究區(qū)域的地面沉降變形趨勢。因此，庫伊克模型可以推廣到地面沉降領(lǐng)域中去。

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