基于Kal man濾波的高聳建筑物沉降預(yù)測模型研究

楊 帆，趙利民，郭正一

（遼寧工程技術(shù)大學(xué) 測繪與地理科學(xué)學(xué)院，遼寧 阜新123000）

隨著高聳建筑物的不斷興建，由于地質(zhì)條件、荷載的變化、施工質(zhì)量較差等多種因素的影響，導(dǎo)致建筑物地基基礎(chǔ)和上部結(jié)構(gòu)荷載相差較大，使建筑物極大可能會出現(xiàn)變形，比如沉降、水平位移、傾斜、扭曲、張裂等，眾多因素中，對建筑物進(jìn)行沉降監(jiān)測是建筑物安全施工和運(yùn)行的必要措施之一［1－3］。高聳建筑物沉降監(jiān)測可以及時、準(zhǔn)確地進(jìn)行變形分析，對高聳建筑物建設(shè)意義重大，是高聳建筑物防災(zāi)減災(zāi)的重要內(nèi)容之一，可以保障建筑物的使用安全，為建筑物后期的安全運(yùn)營提供了必要的評估數(shù)據(jù)。

卡爾曼濾波是一種具有無偏性的遞推線性最小方差估計，估計誤差的均值或數(shù)學(xué)期望為零。在計算方法上，卡爾曼濾波采用遞推形式，即在t－1時刻估值的基礎(chǔ)上。利用t時刻的觀測值，遞推得到t時刻的狀態(tài)估值。由于一次只處理一個時刻的觀測值，無需存儲先前的觀測數(shù)據(jù)，計算量大大減少，這種方法很適合處理動態(tài)系統(tǒng)的觀測數(shù)據(jù)［4］。另外高聳建筑物沉降變形實(shí)質(zhì)是一種隨時間或空間變化的信號，可歸結(jié)為信號分析［5］。目前小波分析是一種新的高性能的信號分析方法，也是進(jìn)行信號分析最新的有效工具。然而，動態(tài)變形測量信號中包含不確定性的噪聲，有用的信號不易分離，用傳統(tǒng)的小波分析方法很難將噪聲信號濾除 因此，本文利用小波分析并結(jié)合Kal man濾波理論，將二者有機(jī)地結(jié)合起來，進(jìn)行動態(tài)沉降變形數(shù)據(jù)處理與預(yù)測研究。

1 基本模型

在動態(tài)沉降數(shù)據(jù)中，對測量得到的信號進(jìn)行小波變換，剔除細(xì)節(jié)中的變異值，這樣就避免了出現(xiàn)大的濾波偏差，重新統(tǒng)計噪聲的方差。由于小波變換特有的低通濾波效應(yīng)，使得分解后的測量噪聲大大減小。雖然小波變換是對相鄰幾項的加權(quán)平均的結(jié)果，但變換后相鄰之間是互不相關(guān)的，并且經(jīng)過分解后的向量其自相關(guān)性也明顯減弱，使動態(tài)協(xié)方差矩陣和觀測協(xié)方差矩陣自適應(yīng)于當(dāng)前動態(tài)信息和觀測信息，再應(yīng)用經(jīng)典Kal man濾波模型進(jìn)行解算，對沉降數(shù)據(jù)進(jìn)行二次信號處理，獲得系統(tǒng)狀態(tài)的最優(yōu)估計，其效果比假定的噪聲模型更符合實(shí)際，從而提高沉降變形分析的精度［9］。

1．1 小波去噪

1．1．1 連續(xù)小波變換

應(yīng)用中對復(fù)雜信號分析需要進(jìn)一步推動時頻變換分析理論的發(fā)展，尋求時間窗和頻率窗都可改變的時頻局部化分析，導(dǎo)致了小波變換的產(chǎn)生［10］。

如果函數(shù)ψ（）x 滿足以下容許性條件：

則稱ψ（x）為容許小波，并定義如下積分變換：

為f（x）以ψ（x）為基的積分連續(xù)小波變換，a為尺度因子，表示與頻率相關(guān)的伸縮；b為時間平移因子。

ψ（t）又稱為母小波，因?yàn)槠渖炜s、平移可構(gòu)成L2（R）的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基。

因?yàn)樽冃伪O(jiān)測所采集的信號都是有限長度的離散信號。在實(shí)際的變形監(jiān)測數(shù)據(jù)采集中，面臨離散數(shù)據(jù)情況，處理過程中要對連續(xù)小波進(jìn)行針對尺度參數(shù)a和平移參數(shù)b的離散化處理。

1．1．2 離散小波變換

連續(xù)小波變換中的伸縮因子和平移因子都是連續(xù)變化的實(shí)數(shù)，在實(shí)際工程應(yīng)用中，由于連續(xù)小波變換存在冗余，為了重構(gòu)信號，需針對變換域的變量伸縮因子a和平移因子b進(jìn)行離散化，以消除變換中的冗余

（Wψf）（a，b）＝＜f（t），ψa，b（t）＞，將a，b離散化，令b＝2－jk，a＝2－j；j，k∈Z，可得離散小波變換

1．1．3 小波去噪原理

設(shè)有觀測信號f（t）＝x（t）＋s（t）。其中，x（t）為真實(shí)信號，s（t）為噪聲信號。將觀測信號中的真實(shí)信號x（t）與噪聲信號s（t）盡可能的進(jìn)行分離，即對有效的信號進(jìn)行保留，對噪聲信號進(jìn)行排除，即為小波去噪的實(shí)質(zhì)。消除或減小原始信號的噪聲，最大程度地提取原始信號中的有用信息［11］。而真實(shí)信號的小波系數(shù)的幅值隨著尺度的增加基本保持不變，從而有效地對信噪進(jìn)行分離，最后再把去噪后的小波系數(shù)進(jìn)行信號的重構(gòu)，得到真實(shí)信號的最優(yōu)估計［12－13］。

1．2 Kal man濾波

首先假設(shè)隨機(jī)離散線性系統(tǒng)狀態(tài)方程和觀測方程為

式中：Xk為k時刻的系統(tǒng)狀態(tài)向量，Zk為k時刻的系統(tǒng)觀測向量，Φk，k－1為k－1到k時刻的系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，Γk－1為k－1到k時刻系統(tǒng)狀態(tài)噪聲輸入矩陣，Wk－1為k－1時刻的系統(tǒng)狀態(tài)噪聲，Hk為k時刻系統(tǒng)的觀測矩陣，Vk為k時刻的系統(tǒng)觀測噪聲。

關(guān)于系統(tǒng)過程狀態(tài)噪聲和觀測噪聲滿足如下約束條件：E［Wk］＝0，E［Vk］＝0，Cov［Wk，Vj］＝E［Wk］＝0，Cov［Wk，Wj］＝E［Wk］＝Qkδkj，Cov［vk，Vj］＝E［VkVTj］＝Rkδkj。式中：Qk是系統(tǒng)狀態(tài)噪聲Wk的方差陣，在卡爾曼濾波中它是一個已知的非負(fù)矩陣，Rk是系統(tǒng)觀測噪聲Vk的方差陣，在卡爾曼濾波中它是一個已知正定陣，δkj是Kr onecker函數(shù)。

根據(jù)最小二乘準(zhǔn)則，通過下面的濾波基本方程可以實(shí)現(xiàn)用Xk來估計最優(yōu)濾波值。狀態(tài)一步預(yù)測方程

狀態(tài)一步預(yù)測誤差協(xié)方差陣

狀態(tài)量估計計算方程

濾波增益矩陣方程

狀態(tài)估計誤差協(xié)方差陣方程

卡爾曼濾波方程整個計算過程是一個不斷地預(yù)測、修正的過程。在估計狀態(tài)量時不需要存儲大量的觀測數(shù)據(jù)，并且當(dāng)?shù)玫叫碌挠^測數(shù)據(jù)時，可隨時得到狀態(tài)量新的濾波值，便于實(shí)時處理觀測成果。給定初始值X0和P0，k時刻的狀態(tài)估計值Xk（k＝1，2，…），通過Zk，即能遞推得出k時刻的實(shí)時最優(yōu)的濾波值。

2 實(shí)例分析

本文以某高層建筑物實(shí)際沉降變形監(jiān)測數(shù)據(jù)為依據(jù) 其沉降觀測使用TOPCON DL－101C電子水準(zhǔn)儀及其配套使用的條碼式銦鋼尺。每次觀測盡量做到了人員相對固定、儀器設(shè)備固定、固定測站數(shù)的“三固定”的作業(yè)方法，按一級變形測量精度要求進(jìn)行觀測，測量精度滿足規(guī)范要求。綜合樓A座共布設(shè)了8個沉降觀測點(diǎn)，每個點(diǎn)都做了蓋板式的防護(hù)罩進(jìn)行保護(hù)，確保了沉降觀測成果的準(zhǔn)確性和連續(xù)性。

本實(shí)驗(yàn)自2007年11月10日至2012年3月5日對綜合樓A座施工過程進(jìn)行沉降觀測，共進(jìn)行了28次觀測。首次沉降測量觀測兩次取平均值作為首次沉降觀測成果，本次沉降觀測共進(jìn)行了28次，得出了該綜合樓8個點(diǎn)的下沉值。本實(shí)驗(yàn)以1號觀測點(diǎn)作為處理實(shí)例。原始觀測沉降累計值如表1所示。

表1 原始觀測下沉量

2．1 沉降數(shù)據(jù)處理及預(yù)測

本文使用基于小波分析的方法用于高聳建筑物沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)的降噪處理，然后結(jié)合卡爾曼濾波的方法對高聳建筑物的沉降變形量進(jìn)行預(yù)測。并以小波分析去噪后的數(shù)據(jù)作為卡爾曼濾波的輸入值，這種算法是建立在標(biāo)準(zhǔn)的卡爾曼濾波基礎(chǔ)上，將小波分析的優(yōu)勢與卡爾曼濾波的優(yōu)點(diǎn)相結(jié)合，來完成高聳建筑物的沉降估計和預(yù)測。

2．1．1 小波去噪預(yù)處理

運(yùn)用Matlab程序?qū)Τ两禂?shù)據(jù)進(jìn)行小波去噪處理，本次試驗(yàn)采用分解的小波函數(shù)為N＝6的Db小波，同時分解層次定為4，采用軟閾值去噪。去噪處理后的沉降曲線與原始沉降曲線對比如圖1所示，去噪后的沉降累計沉降量如表2所示。

圖1 去噪前后對比

表2 去噪后累計沉降量

從去噪后的圖像1中可以看出 經(jīng)小波去噪后信號已經(jīng)沒有很大的波動，觀測點(diǎn)位的累積沉降觀測值變得更加平滑，從而有效地消除了觀測噪聲對信號的干擾，達(dá)到了去噪的目的，下面進(jìn)行卡爾曼濾波預(yù)測處理。

2．1．2 卡爾曼濾波預(yù)測處理

本文以28期的觀測數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，首先利用小波分析進(jìn)行去噪，提高觀測數(shù)據(jù)的精度，然后，根據(jù)去噪后處理的變形數(shù)據(jù)作為輸入值，并結(jié)合Kal man預(yù)測模型進(jìn)行逐一預(yù)測，并以后8期的累計沉降值為基礎(chǔ)，與單一Kal man理論所預(yù)測結(jié)果進(jìn)行對比分析。其結(jié)果如圖2和圖3所示。累計沉降量處理后的預(yù)測值見表3。

2．2 結(jié)果分析

從圖3和表3中可看出，結(jié)合小波去噪分析的卡爾曼濾波預(yù)測處理后的變形曲線更加趨向于平穩(wěn)，能很好的提高建筑物的沉降預(yù)測精度。通過計算，卡爾曼濾波模型直接預(yù)測的中誤差為1．14 mm，結(jié)合小波去噪分析的卡爾曼濾波模型預(yù)測的中誤差為0．77 mm。結(jié)合小波去噪分析的Kal man濾波相對于單一的卡爾曼濾波處理沉降數(shù)據(jù)的精度有明顯的提高，有效改善了動態(tài)沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)的預(yù)測精度 可以對高聳建筑物進(jìn)行較好的實(shí)時預(yù)測。

圖2 卡爾曼濾波處理后曲線圖

圖3 結(jié)合小波去噪分析的卡爾曼濾波預(yù)測曲線圖

表3 累計沉降量處理后的預(yù)測值

3 結(jié) 論

本文通過對小波去噪分析結(jié)合卡爾曼濾波模型進(jìn)行研究，以及對高聳建筑物沉降數(shù)據(jù)進(jìn)行分析預(yù)測，有以下3個結(jié)論：

1）經(jīng)小波去噪后的信號再進(jìn)行卡爾曼預(yù)測效果明顯優(yōu)于觀測值直接用卡爾曼濾波預(yù)測。結(jié)合小波去噪分析的Kal man濾波模型能一定程度上解決卡爾曼模型直接預(yù)測的滯后性，在一定程度上減少了預(yù)測殘差值，預(yù)測殘差也隨著信號的平滑而趨于穩(wěn)定，從而取得很好的預(yù)測效果。

2）用小波分析與卡爾曼濾波綜合處理的方法在消除沉降觀測數(shù)據(jù)的噪聲干擾上存在互補(bǔ)，有效地提高實(shí)測動態(tài)沉降觀測數(shù)據(jù)精度，比單一方法計算結(jié)果效果更好，精度更高。

3）選擇結(jié)合小波去噪分析的Kal man濾波理論對于經(jīng)小波預(yù)處理后遺留的不確定性噪聲進(jìn)行二次處理，提高了變形分析的精度，解決了傳統(tǒng)Kalman濾波直接預(yù)測發(fā)散的問題，滿足了實(shí)時動態(tài)處理數(shù)據(jù)的精度要求，對高聳建筑物進(jìn)行沉降預(yù)測精度可以很好地達(dá)到精度要求。

［1］ 周呂，文鴻雁，韓亞坤．灰色預(yù)測與Kal man濾波在建筑物沉降變形分析中的應(yīng)用J．測繪科學(xué)2014 39（4）：149－151．

［2］ 潘家寶，戴吾蛟．Kriging Kal man濾波在變形監(jiān)測中的應(yīng)用［J］．測繪工程，2014，23（3）：46－49．

［3］ 冉典．基于抗差卡爾曼濾波的GM（1，1）模型在變形預(yù)計中的應(yīng)用［J］．測繪與空間地理信息，2014，37（8）：84－86．

［4］ 何秀鳳．變形監(jiān)測新方法及其應(yīng)用［M］．北京：科學(xué)出版社，2007．

［5］ 文鴻雁．小波多分辨分析在變形分析中的應(yīng)用［J］．地殼形變與地震，2000，20（3）：27－32．

［6］ 馬攀，孟令奎，文鴻雁．基于小波分析的Kal man濾波動態(tài)變形模型研究［J］．武漢大學(xué)學(xué)報：信息科學(xué)版，2004，29（4）：349－353．

［7］ 文鴻雁．基于小波理論的變形分析模型研究［J］．測繪學(xué)報，2005，34（2）：186－187．

［8］ 黃聲享 劉經(jīng)南．GPS變形監(jiān)測系統(tǒng)中消除噪聲的一種有效方法［J］．測繪學(xué)報，2002，31（2）：104－107．

［9］ 姜剛，楊志強(qiáng)，張貴鋼．卡爾曼濾波算法的灰色理論模型在變形監(jiān)測中的應(yīng)用［J］．測繪科學(xué)，2011，36（4）：19－21．

［10］袁德寶．GPS變形監(jiān)測數(shù)據(jù)的小波分析與應(yīng)用研究［D］．北京：中國礦業(yè)大學(xué)（北京），2009：17－18．

［11］趙瑞山．改進(jìn)的kal man濾波理論在地表變形預(yù)測中的應(yīng)用［D］．阜新：遼寧工程技術(shù)大學(xué)，2011：16－17．

［12］董小剛，秦喜．信號消噪的小波處理方法及其應(yīng)用［J］．吉林師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2003（2）：14－17．

［13］黃聲享，尹暉，蔣征．變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理［M］．2版．武漢：武漢大學(xué)出版社，2010．