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    關(guān)于積分型Cauchy中值定理的一個結(jié)論

    2015-03-27 06:15:05李冬輝
    關(guān)鍵詞:中值河南性質(zhì)

    李冬輝

    (河南教育學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院,河南 鄭州 450046)

    關(guān)于積分型Cauchy中值定理的一個結(jié)論

    李冬輝

    (河南教育學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院,河南 鄭州 450046)

    研究當積分區(qū)間長度趨于無窮時,積分型Cauchy中值定理中間點的漸近性質(zhì),同時得到Lagrange中值定理中間點的漸近性質(zhì).

    積分型Cauchy中值定理;Lagrange中值定理;中間點;漸近性

    0 引言

    當區(qū)間長度趨于零時,對于中值定理中間點的漸近性質(zhì),有學者進行了研究并得出了一些有意義的結(jié)論[1-4].文獻[1]和文獻[2]研究了在積分區(qū)間長度趨零時,積分型Cauchy中值定理中間點的漸近性.本文用另一種方法討論當積分區(qū)間長度趨于無窮時,積分型Cauchy中值定理中間點的漸近性質(zhì),在弱于文獻[1]定理3的條件下,得出了具有一般形式的結(jié)果.作為此結(jié)果的一個特例,又得出當區(qū)間長度趨于無窮時,Lagrange中值定理中間點漸近性具有的一般形式的結(jié)果.

    首先引述積分型Cauchy中值定理和Lagrange中值定理.

    積分型Cauchy中值定理 若①f(t),g(t)在[a,x]上連續(xù);②g(t)≠0,t∈[a,x],則在(a,x)內(nèi)至少存在一點ξ,使得

    (1)

    其中ξ稱為積分型Cauchy中值定理的中間點.

    Lagrange中值定理 設函數(shù)F(t)在[a,x]上連續(xù),在(a,x)內(nèi)可導,則在(a,x)內(nèi)至少存在一點ξ,使得

    F(x)-F(a)=F′(ξ)·(x-a),

    (2)

    其中ξ稱為Lagrange中值定理的中間點.

    1 主要定理

    進而有

    所以

    (3)

    同理

    (4)

    由(1),(3),(4)式得

    一方面,由(3),(4)式得

    (5)

    另一方面,由(1)式得

    由定理1條件及L’Hospital法則,得

    (6)

    從而,由(5),(6)式得

    即有

    所以

    推論1 設F′(x)在[a,+∞)內(nèi)連續(xù),若存在α>0,使

    則對于Lagrange中值定理確定的中間點ξ,有

    (7)

    證明在(1)式中,取f(t)=F′(t),g(t)=1,得

    F(x)-F(a)=F′(ξ)·(x-a).

    從而,(1)式中的積分型Cauchy中值定理確定的中間點ξ,即為(2)式中的Lagrange中值定理確定的中間點ξ.再取β=0,根據(jù)推論的條件,由定理1知(7)式成立.

    [1] 劉文武,嚴忠權(quán).積分型Cauchy中值定理中間點的漸近性[J].數(shù)學的實踐與認識,2010,40(11):228-231.

    [2] 戴立輝,劉龍章.積分型Cauchy中值定理中間點的漸近性[J].大學數(shù)學,2009,25(3):168-172.

    [3] 高國成.微分中值定理“中間點”的漸近性[J].工科數(shù)學,2001,17(5):102-104.

    [4] 張廣梵.關(guān)于微分中值定理的一個注記[J].數(shù)學的實踐與認識,1988,18(1):87-89.

    A Conclusion on Integral Type of Cauchy Mean Value Theorem

    LI Dong-hui

    (SchoolofMathematicsandStatistics,HenanInstituteofEducation,Zhengzhou450046,China)

    The asymptotic properties for median point of integral Cauchy mean-value theorem with infinite integration interval were studied, and a conclusion about the asymptotic property for median point of Lagrange mean-value theorem is given.

    integral Cauchy mean-value theorem; Lagrange mean-value theorem; median point; asymptotic property

    2014-09-28

    河南省教育廳科學技術(shù)研究重點項目(13A140224)

    李冬輝(1963—),男,河南許昌人,河南教育學院數(shù)學與統(tǒng)計學院副教授,主要研究方向:基礎數(shù)學.

    10.3969/j.issn.1007-0834.2015.01.006

    O172.2

    1007-0834(2015)01-0018-03

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