基于古諾博弈策略的報(bào)童問(wèn)題的模型及分析

張婧　白依川　胡博文

摘要通過(guò)建立和分析基于古諾博弈策略的報(bào)童問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，尋求兩個(gè)銷售商有重疊銷售區(qū)域時(shí)的競(jìng)爭(zhēng)價(jià)格策略優(yōu)化方法. 模型的主要特點(diǎn)是：基于蜂窩理論刻畫(huà)每個(gè)銷售商的營(yíng)銷區(qū)域呈正六邊形，分析了相鄰銷售商有重疊銷售區(qū)域時(shí)，如何確定最優(yōu)競(jìng)爭(zhēng)價(jià)格策略，保證其利潤(rùn)最大；其次，該模型把需求量看成價(jià)格的函數(shù)，將消費(fèi)者與銷售商的距離看成是影響實(shí)際消費(fèi)行為的重要因素納入到消費(fèi)者密度函數(shù).

關(guān)鍵詞報(bào)童問(wèn)題；均衡解；博弈；蜂窩理論

中圖分類號(hào)F110.20 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A

Abstract Based on the Cournot game strategy， this paper established a mathematical model of the newsboy problem in order to optimize the price competition strategy if the two vendors have overlapping sales areas. The model characterized the marketing areas of each seller as regular hexagons based on the honeycomb theory， and presented the competitive pricing strategy in order to ensure the maximum profit . Furthermore， this model considered the demand quantity as a function of the price， and introduced the distance between the consumer and the seller into the consumer density function since it is an important factor affecting the actual consumption action .

Key wordsnewsboy problem； equilibrium solution； game

1引言

報(bào)童模型自從1956首次被提出，一直成為學(xué)術(shù)界的關(guān)注焦點(diǎn)，近60年的時(shí)間里，產(chǎn)生了許多可觀的研究成果1. 經(jīng)典報(bào)童問(wèn)題即單周期庫(kù)存問(wèn)題，研究的是面對(duì)隨機(jī)需求量，銷售商應(yīng)該訂購(gòu)多少產(chǎn)品以獲得最大的利潤(rùn)，目前的研究主要集中在對(duì)模型參數(shù)及決策變量的擴(kuò)展. Hua等（2012）2將不同地點(diǎn)價(jià)格對(duì)需求的影響因素納入模型的考慮范圍. Lin 等3考慮需求相關(guān)的多地點(diǎn)的報(bào)童模型，其中：缺貨成本、批發(fā)價(jià)及殘值費(fèi)用函數(shù)，及各點(diǎn)零售價(jià)格均相同，并得出一些關(guān)于集中控制與分散控制下期望收益大小的關(guān)系.

現(xiàn)實(shí)生活中，市場(chǎng)上往往存在多個(gè)銷售商，他們通常銷售相同或者可以相互替代的商品，而顧客對(duì)這類商品的總需求是一定的，銷售商需要通過(guò)競(jìng)爭(zhēng)滿足顧客的需求以追求最大利潤(rùn)，在進(jìn)行價(jià)格、訂貨量等決策時(shí)必須考慮其他銷售商的行為策略. 1838年，法國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家古諾提出了關(guān)于產(chǎn)量決策的在雙頭壟斷古諾模型. 在該模型中，只有2個(gè)銷售者銷售這種產(chǎn)品，雖然這2個(gè)銷售者之間沒(méi)有勾結(jié)或者聯(lián)盟，但雙方都清楚對(duì)方的行動(dòng)方案，因此通過(guò)制定最優(yōu)的產(chǎn)量策略來(lái)達(dá)到利潤(rùn)最大化4. 唐小我5 用差分方程方法分析了2個(gè)廠商條件下的古諾模型的均衡解和產(chǎn)量序列動(dòng)態(tài)變化過(guò)程.

報(bào)童問(wèn)題是一個(gè)日益重要而且相當(dāng)具有活力的研究方向，但是，隨著經(jīng)濟(jì)與社會(huì)的發(fā)展，市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)日益激烈，市場(chǎng)格局也日趨復(fù)雜，如果不考慮市場(chǎng)格局的復(fù)雜性，不考慮銷售商之間的競(jìng)爭(zhēng)因素，對(duì)報(bào)童問(wèn)題的研究可能不會(huì)有很大的實(shí)用價(jià)值. 為此，本文借鑒已有的研究成果，基于古諾博弈策略，試圖構(gòu)建一種全新的報(bào)童模型，尋求2個(gè)甚至多個(gè)存有競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系的銷售商在商品銷售區(qū)域有重疊的時(shí)候，其競(jìng)爭(zhēng)價(jià)格策略優(yōu)化方法.

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)第 31卷第4期

張婧等：基于古諾博弈策略的報(bào)童問(wèn)題的模型及分析

2模型假設(shè)

為簡(jiǎn)化問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)研究目的，本文根據(jù)研究對(duì)象的特征，做以下模型假設(shè)：

假設(shè)1兩個(gè)銷售商之間存在的是非合作博弈.

本文主要探討一個(gè)寡頭市場(chǎng)僅有的兩個(gè)銷售商之間的博弈問(wèn)題. 2個(gè)銷售商各自優(yōu)先考慮自己的利益，自主決策商品價(jià)格，且他們之間并不能達(dá)成具有約束力的協(xié)議，也就是說(shuō)2個(gè)銷售商之間雖存有競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系，但存在的是非合作博弈6.

假設(shè)2銷售商的銷售區(qū)域呈正六邊形.

兩個(gè)銷售商都有自己的商品銷售區(qū)域，位于銷售商固有銷售區(qū)域內(nèi)的消費(fèi)者都會(huì)到自己所處的銷售區(qū)域購(gòu)買(mǎi)商品. 根據(jù)蜂窩猜想：由許多六邊形組成的圖形周長(zhǎng)最小 7，因此，本文假設(shè)兩個(gè)銷售商的銷售區(qū)域均呈正六邊形. 當(dāng)2個(gè)銷售商之間存在銷售競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系時(shí)，而銷售商固有銷售區(qū)域是指正六邊形區(qū)域除去相關(guān)正六邊形區(qū)域的“重疊區(qū)域”后的剩余部分.

假設(shè)3兩個(gè)銷售商存在重疊銷售區(qū)域.

現(xiàn)實(shí)生活中，銷售相同或者可以相互替代商品、存有競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系的銷售商，其銷售區(qū)域不可避免地會(huì)有重疊. 本文所討論的問(wèn)題即為存在重疊區(qū)域的情況下，如何找到一個(gè)均衡解，使2個(gè)銷售商的收益都能達(dá)到最優(yōu).

假設(shè)4重疊區(qū)域消費(fèi)者對(duì)商品的選擇，其消費(fèi)心理只與價(jià)格有關(guān).

2個(gè)銷售商所處地理位置雖有不同，但可以近似的認(rèn)為兩個(gè)銷售商所處位置的營(yíng)銷條件及環(huán)境相近，地理位置所產(chǎn)生的差異不大，與地理位置有關(guān)的參數(shù)可視為已知固定的條件.

當(dāng)任一銷售商的訂購(gòu)量小于需求量時(shí)，銷售商在其銷售區(qū)域里僅能銷售與訂購(gòu)量相同的商品；當(dāng)訂購(gòu)量大于需求量時(shí)，剩余商品是可以回收的，且認(rèn)為客源不會(huì)發(fā)生轉(zhuǎn)移，也就是說(shuō)訂購(gòu)量的大小不影響重疊區(qū)域內(nèi)消費(fèi)者的選擇，訂購(gòu)量將被視為常量.

因此，假設(shè)重疊區(qū)域消費(fèi)者對(duì)商品的選擇，其消費(fèi)心理只與價(jià)格有關(guān)，消費(fèi)者距離銷售商的距離看成是影響實(shí)際消費(fèi)行為的重要因素將被納入到消費(fèi)者密度函數(shù)8.

3模型建立

3.1符號(hào)設(shè)置與說(shuō)明

為此，假設(shè)重疊區(qū)域內(nèi)，客源的流失量與2個(gè)銷售商定價(jià)的差成線性關(guān)系，線性項(xiàng)系數(shù)為γ>0，且在定價(jià)相同時(shí)，2個(gè)銷售商的銷售份額相同. 這是因?yàn)?個(gè)銷售商定價(jià)相同時(shí)，2個(gè)銷售商的銷售區(qū)域半徑相同，重疊部分對(duì)于兩個(gè)銷售商來(lái)說(shuō)是對(duì)稱的，所以重疊區(qū)域內(nèi)的消費(fèi)者面對(duì)的是完全相同的兩個(gè)銷售商，即認(rèn)為消費(fèi)者到任一銷售商處購(gòu)買(mǎi)商品的概率相同，也就是每個(gè)銷售商享有重疊區(qū)域一半的客源. 這樣，重疊區(qū)域中銷售商i流失的客源，即損失的銷售量為

3.3最優(yōu)均衡價(jià)格

對(duì)于存有重疊銷售區(qū)域、具有競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系的兩個(gè)銷售商而言，最優(yōu)價(jià)格，應(yīng)是使兩個(gè)銷售商均能獲得最大利潤(rùn)的各自商品價(jià)格. 此時(shí)，利潤(rùn)函數(shù)一定存在最大值，為凹函數(shù)9.

首先，當(dāng)銷售商2選擇與銷售商1不同的售價(jià)p2時(shí)，記銷售商1的最優(yōu)價(jià)格策略為 BE1（p2）；同樣，當(dāng)銷售商1選擇與銷售商2不同的售價(jià)p1時(shí)，銷售商2的最優(yōu)價(jià)格策略為 BE2（p1）. 當(dāng)銷售商博弈存在均衡解時(shí)，銷售商各自的最優(yōu)價(jià)格策略才能確定.

4模型分析

依據(jù)以上構(gòu)建的“報(bào)童模型”，兩個(gè)銷售商在銷售區(qū)域有重疊的時(shí)候，確保其利潤(rùn)盡可能最大化的最優(yōu)競(jìng)爭(zhēng)價(jià)格策略為：

第一步，首先需要測(cè)算出兩個(gè)銷售商在訂購(gòu)量均大于需求量、訂購(gòu)量均不大于需求量以及訂購(gòu)量與需求量關(guān)系不同三種情況下的最優(yōu)價(jià)格p1∧，p2∧.

第二步，根據(jù)最優(yōu)價(jià)格，分別計(jì)算出三種情況下兩個(gè)銷售商的各自利潤(rùn)E（P1，P2）、E（P2，P1）.

第三步，將2個(gè)銷售商在三種情況下的利潤(rùn)各自進(jìn)行比較.

若2個(gè)銷售商的各自最大利潤(rùn)出現(xiàn)在同一種情況，則該種情況下的最優(yōu)價(jià)格p1∧，p2∧即為最優(yōu)解；若2個(gè)銷售商的各自最大利潤(rùn)分別出現(xiàn)在不同種情況，可以根據(jù)2個(gè)銷售商的實(shí)際情況（如可以考慮2個(gè)銷售商對(duì)整個(gè)地區(qū)經(jīng)濟(jì)發(fā)展推動(dòng)力大小、對(duì)商品的重要程度等）對(duì)2個(gè)銷售商設(shè)置權(quán)值，計(jì)算每種情況下2個(gè)銷售商的利潤(rùn)乘以權(quán)值后的總利潤(rùn)之和，再選擇總利潤(rùn)最大的一種情況，按照此種情況下的最優(yōu)價(jià)格p1∧，p2∧制定銷售策略.

通過(guò)對(duì)“報(bào)童模型”最優(yōu)價(jià)格求解過(guò)程的分析，可以看出：

若2個(gè)銷售商的訂購(gòu)量與需求量關(guān)系相同，即訂購(gòu)量均大于需求量或訂購(gòu)量均不大于需求量的情形下，他們的最優(yōu)競(jìng)爭(zhēng)價(jià)格策略是制定相同的銷售價(jià)格. 這與人們的日常經(jīng)驗(yàn)相符. 此時(shí)，2個(gè)銷售商各自占有重疊區(qū)域內(nèi)一半的消費(fèi)者.

對(duì)于訂購(gòu)量均不大于需求量的情形來(lái)說(shuō)，當(dāng)達(dá)到均衡解之后，任意一個(gè)銷售商想要提高價(jià)格，必定會(huì)導(dǎo)致需求量與訂購(gòu)量的關(guān)系發(fā)生改變，從而需要對(duì)銷售商獲得的利潤(rùn)重新進(jìn)行計(jì)算.

對(duì)于訂貨量與需求量關(guān)系不同的情況，2個(gè)銷售商的最佳反應(yīng)函數(shù)受對(duì)方定價(jià)影響，通過(guò)確立最佳反映函數(shù)之間的關(guān)系就可以得到最優(yōu)的競(jìng)爭(zhēng)價(jià)格策略.

5結(jié)論

價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)環(huán)境下客源的爭(zhēng)奪是不可避免的，也是銷售商在制定銷售策略時(shí)應(yīng)當(dāng)考慮的因素. 本文基于古諾博弈策略，通過(guò)報(bào)童問(wèn)題數(shù)學(xué)模型的建立和分析，對(duì)兩個(gè)銷售商在銷售區(qū)域有重疊的時(shí)候，其競(jìng)爭(zhēng)價(jià)格策略的優(yōu)化方法進(jìn)行了有益探討，其中，把需求量看成價(jià)格的函數(shù)，將消費(fèi)者距離銷售商的距離看成是影響實(shí)際消費(fèi)行為的重要因素納入到消費(fèi)者密度函數(shù). 雖然，本文為了研究問(wèn)題的方便，對(duì)模型的建立設(shè)定了一些前提和假設(shè)，但本文的研究成果必將對(duì)相關(guān)的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)起到一定的指導(dǎo)作用，可將結(jié)論應(yīng)用到多個(gè)寡頭廠商（三個(gè)或者三個(gè)以上）中.

參考文獻(xiàn)

1.李雪敏，繆立新，徐青青.報(bào)童模型的研究進(jìn)展綜述J..統(tǒng)計(jì)與決策，2008（17）：11-14.

2.G HUA， S WANG， T C E CHENG. Optimal pricing and order quantity for the newsvendor problem with free shippingJ.. International Journal of Production Economics， 2012， 135（1）： 162-169.

3.C T LIN， C B CHEN， H J HSIEH. Effects of centralization on expected profits in a multilocation newsboy problemJ.. Journal of the Operational Research Society， 2001，52（7）： 839-841.

4.閆安，達(dá)慶利.兩企業(yè)序貫博弈的動(dòng)態(tài)古諾模型研究J..系統(tǒng)工程理論方法應(yīng)用.2006，15（2）：103-106.

5.唐小我.兩個(gè)生產(chǎn)廠商條件下的古諾模型研究J..電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)，1997：26（1），83-88.

6.張維迎.博弈論與信息經(jīng)濟(jì)學(xué)M.. 上海：格致出版社，2004.

7.T C HALES. The honeycomb conjectureJ.. Discrete & Computational Geometry， 2001， 25（1）： 1-22.

8.J D DANA JR， N C PETRUZZI. Note： The newsvendor model with endogenous demandJ.. Management Science， 2001， 47（11）： 1488-1497.

9.N C PETRUZZI， M DADA. Pricing and the newsvendor problem： a review with extensionsJ.. Operations Research， 1999， 47（2）： 183-194.

10.DIXIT， K AVINASH. Thinking strategically： the competitive edge in business， politics， and everyday lifeM.. New York：WW Norton & Company， 1991.

11.趙德余，顧海英，劉晨.雙寡頭壟斷市場(chǎng)的價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)與產(chǎn)品差異化策略——一個(gè)博弈論模型及其擴(kuò)展J..管理科學(xué)學(xué)報(bào)，2006：9（5），1-7.

12.朱賽花，戴琳，胡朝明.兩個(gè)約束條件下允許外購(gòu)的多產(chǎn)品報(bào)童問(wèn)題J..經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2013：30（2）：31-35.