巖體強度空間變異性與邊坡可靠性研究

任富強 常 遠 常來山 陳東偉

(1. 中國礦業(yè)大學(xué)（北京）力學(xué)與建筑工程學(xué)院，北京100083;2. 深部巖土力學(xué)與地下工程國家重點實驗室，北京100083;3. 遼寧科技大學(xué)礦業(yè)工程學(xué)院，遼寧 鞍山114051)

以往對邊坡的可靠性分析中，巖體一般是作為均質(zhì)的隨機介質(zhì)考慮，認為不同點間的巖體強度參數(shù)是一致的，這顯然是不符合實際的，實際的巖土介質(zhì)不同點間、整體和局部的強度參數(shù)都有一定的差異性，這就需要考慮巖體的空間變異性，其中Vanmarcke［1-2］在該理論方面進行了開創(chuàng)性研究，隨后Chowdhurry［3］利用隨機場理論描述了巖體性質(zhì)的空間變異性。地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)理論被廣泛應(yīng)用于巖體空間變異性的評估，其中王家臣等［4-7］用地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)理論中的變差函數(shù)經(jīng)過推導(dǎo)得出巖體性質(zhì)參數(shù)的相關(guān)距離和相關(guān)函數(shù)，說明了巖體性質(zhì)的空間變異性，并進行了考慮巖體空間變異性的邊坡可靠性分析，但只考慮了1 種理論變差函數(shù)模型。

本研究結(jié)合野外實測點荷載數(shù)據(jù)擬合出了理論變差函數(shù)的球狀模型、高斯模型和指數(shù)模型的相應(yīng)曲線，并利用蒙特卡洛抽樣方法結(jié)合理論變差函數(shù)模型對單一巖性的邊坡巖體進行了可靠性分析。

1 巖體強度的空間變異性

1.1 現(xiàn)場點荷載測試

為了得到巖體強度的空間分布特征，在某露天鐵礦的某一勘探剖面上垂直巖層走向方向以間距1 m等間距布置46 個測點。在每個測點上利用SD －1型數(shù)碼點荷載儀對選取的若干混合巖巖塊進行了點荷載實驗，將實測結(jié)果按ISRM 法并經(jīng)過尺寸修正計算得到標準點荷載強度指數(shù)Is(50)，其垂直于巖層走向分布情況如圖1 所示。由圖1 可知，在空間位置上，標準點荷載強度指數(shù)Is(50)有較大的差異，但其整體較為穩(wěn)定，未曾發(fā)生漂移。對實測的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析后得出其平均值為11.60 MPa，標準差為6.79 MPa，變異系數(shù)為0.585。

圖1 混合巖Is(50)垂直巖層走向分布情況Fig.1 The vertical strata distribution of migmatite Is(50)

1.2 實驗變差函數(shù)與理論變差函數(shù)

混合巖Is(50)為區(qū)域化的變量且滿足二階平穩(wěn)假設(shè)，故可按地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)中的實驗變差函數(shù)［8-10］來計算Is(50)的實驗變差函數(shù)值r(h)，即

式中，h 為取樣點的間隔距離，取1 m;N(h)為被h 相隔的數(shù)據(jù)對的數(shù)目;Z(xi)和Z(xi+h)在此為Is(50)的不同取值。

為了預(yù)估區(qū)域化的變量Is(50)的未知值，需要根據(jù)實驗變差函數(shù)值擬合成相應(yīng)的理論變差函數(shù)模型，其中球狀模型、高斯模型和指數(shù)模型的理論公式分列如下。

(1)球狀模型:

式中，C0為塊金常數(shù);C0+ C 為基臺值;C 為拱高;a為變程(即隨機場中的相關(guān)距離D)。

(2)高斯模型:

(3)指數(shù)模型:

式中，a 不是變程，變程為3a，即h =3a 時，r(h)≈C0+C。

采用上述理論變差函數(shù)模型中的球狀模型、高斯模型和指數(shù)模型，根據(jù)實驗變差函數(shù)曲線利用Visual Basic 進行最小二乘擬合，擬合后3 個理論變差函數(shù)模型的參數(shù)見表1。由表1 可知指數(shù)模型相關(guān)距離最大，高斯模型的最小，由相關(guān)距離的物理含義可知同等長度內(nèi)指數(shù)模型的數(shù)據(jù)點的相關(guān)性最大，高斯模型最小;此外指數(shù)模型與高斯模型的基臺值相同，略大于球狀模型的基臺值，可近似認為3 種模型描述的Is(50)在垂直于巖層走向方向上變化幅度大小相同。實驗變差函數(shù)曲線與理論變差函數(shù)曲線如圖2 所示，由圖2 可知3 種模型的擬合曲線的趨勢一致，且對應(yīng)的擬合值基本相同。

表1 混合巖Is(50)計算結(jié)果Table 1 The calculation result of migmatite Is(50)

圖2 混合巖3 種模型實驗與理論變差函數(shù)曲線Fig.2 Curves of three kinds of model experiment and theoretic variation function for migmatite

1.3 巖體強度局部分析

由理論變差函數(shù)，可以求出巖體強度的相關(guān)函數(shù)。根據(jù)巖體強度，相關(guān)函數(shù)的定義為

式中，R(h)為強度相關(guān)函數(shù);r(h)為理論變差函數(shù);Var(Z(x))為Is(50)的方差，混合巖的方差為46.043。

根據(jù)式(5)可以得到混合巖3 種模型對應(yīng)的R(h)，而在邊坡可靠性計算中一般要將巖體分條再將每一分條作為均質(zhì)體處理，在每一分條上巖體強度要局部平均化，在二階平穩(wěn)假設(shè)的前提下局部平均化后的期望與整體的期望相同，但方差要發(fā)生變化。根據(jù)局部平均域大小、強度的空間相關(guān)距離、相關(guān)函數(shù)等不同，其方差衰減的程度不同，一般用式(6)表示巖體強度局部平均化后的方差，式中ZT(x)表示平均域長度為T 的巖體強度函數(shù)，G(T)為方差衰減函數(shù)，可由式(7)計算。故可以得到混合巖3 種模型對應(yīng)的方差衰減函數(shù)以及方差函數(shù)。

2 邊坡可靠性分析

為方便對比分析，探討不同的變差函數(shù)模型對邊坡可靠性的影響規(guī)律，構(gòu)造了圖3 所示的均質(zhì)混合巖的簡單邊坡模型，邊坡高度為400 m，邊坡角為45°。

圖3 混合巖簡單邊坡模型Fig.3 The simple slope model of migmatite

應(yīng)用Monte－Calo 隨機抽樣技術(shù)［11-12］，通過Visual Basic 編程得到巖體強度參數(shù)的隨機分布特征，模型的計算參數(shù)如表2 所示。極限平衡計算選用畢肖普(BISHOP)法，用單純形變法［13］進行優(yōu)化計算，確定了危險滑弧及安全系數(shù)，危險滑弧如圖3 曲線所示，混合巖邊坡的安全系數(shù)F 為1.835。

表2 巖體強度參數(shù)隨機分布表Table 2 The random distribution of rock strength parameters

根據(jù)不同的分條寬度將球狀模型、高斯模型、指數(shù)模型的可靠性指標［14］的部分計算結(jié)果列于表3 所示。

表3 混合巖邊坡Monte-Calo 法部分計算結(jié)果Table 3 Parts of calculation result by Monte-Calo method for migmatite slope

由表3 比較混合巖球狀模型、高斯模型、指數(shù)模型的邊坡可靠性指標計算結(jié)果。若以球狀模型為基準，高斯模型的絕對差值為0.003 ～0.312，平均為0.053，相對差值為0.515% ～17.154%，平均為3.383%;指數(shù)模型的絕對差值為0.046 ～2.568，平均為1.141，相對差值為11.348% ～83.229%，平均為59.941%;指數(shù)模型相差的較多，可靠性計算結(jié)果偏高，而高斯模型與球狀模型的可靠性計算結(jié)果較為接近。將3 種模型的可靠指標隨分條寬度變化的關(guān)系曲線繪制如圖4 所示。

圖4 3 種模型可靠性指標對比Fig.4 The reliability index contrast of three kinds of model

由圖4 可知，在分條寬度T =0 即不考慮巖體強度空間變異性時與T 趨于0 時有一個落差，并且差值的大小與塊金常數(shù)C0有關(guān)。不考慮巖體強度的空間變異性時邊坡的可靠指標最小，隨分條寬度的增加可靠指標整體呈增大的趨勢，其中球狀模型與球狀模型趨勢基本一致都低于指數(shù)模型的增長趨勢。當分條寬度大于相關(guān)距離時3 種模型的可靠指標均有下降的趨勢直到達到一定的分條寬度時又逐漸隨分條寬度的增大而上升。

3 結(jié) 論

(1)高斯模型的相關(guān)距離最小，指數(shù)模型的最大，3 種模型描述的巖體強度沿垂直于巖層走向方向的變化幅度基本接近。

(2)當考慮巖體強度空間變異性時計算邊坡的可靠指標增加，破壞概率降低。主要是由于強度參數(shù)方差衰減所致，而且在分條寬度達到相關(guān)距離前隨分條寬度的增加而增大，分條寬度達到相關(guān)距離之后的可靠指標先減小后增大。

(3)球狀模型與高斯模型的可靠指標隨分條寬度的變化基本一致，整體值都低于指數(shù)模型的可靠指標，增加的趨勢也較指數(shù)模型平緩。

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