解方程

吳春雨

摘要：解一元二次方程在初中教材中是個(gè)重要的內(nèi)容，方程的順利求解以及解法的選擇直接影響到后面二次函數(shù)內(nèi)容的理解和運(yùn)用，也關(guān)乎學(xué)生今后在高中學(xué)習(xí)時(shí)如何合理的去求解一元二次不等式。面對(duì)一個(gè)具體的一元二次方程，在解題時(shí)，學(xué)生能做出合理的選擇，才是我們教學(xué)的終極目標(biāo)。

關(guān)鍵詞：方程；求根；一題多解

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1672-1578（2017）09-0174-01

解一元二次方程在初中教材中是個(gè)重要的內(nèi)容，方程的順利求解以及解法的選擇直接影響到后面二次函數(shù)內(nèi)容的理解和運(yùn)用，也關(guān)乎學(xué)生今后在高中如何合理的去求解一元二次不等式等問(wèn)題。在教學(xué)中，我們感覺(jué)到學(xué)生在解方程中，存在著很多問(wèn)題。較低水平的學(xué)生是找不到求解的方法，胡編亂造，稀里糊涂的將題目做完；中等水平的學(xué)生是方法不當(dāng)，不能合理迅速的求解；較高水平的學(xué)生是方程求解完成了，但是為什么要這樣做，說(shuō)不出來(lái)合理的理由。這樣的求解也不是我們所希望的。

那么到底解一元二次方程中，我們要求學(xué)生要達(dá)到什么樣的效果呢？ 我認(rèn)為在教學(xué)中，不能一味的只是強(qiáng)調(diào)學(xué)生去多練，通過(guò)機(jī)械的重復(fù)的模仿，然后只要學(xué)生能將方程求解出來(lái)，就算完成了教學(xué)任務(wù)。我們應(yīng)該站在較高的一個(gè)高度上，去幫助學(xué)生整理求解的思路，對(duì)初中生適當(dāng)?shù)臐B透些許數(shù)學(xué)思想。使得學(xué)生不僅會(huì)解方程，而且知道為什么要這樣解。面對(duì)一個(gè)具體的一元二次方程，學(xué)生能做出合理的適當(dāng)?shù)倪x擇，這才是我們教學(xué)的終極目標(biāo)。要達(dá)到這一目的，我們?cè)诮虒W(xué)中，就要強(qiáng)調(diào)"化歸"和"整體"這兩大重要的數(shù)學(xué)思想。

1."一個(gè)中心，兩個(gè)基本點(diǎn)"的應(yīng)用

一元二次方程的求解要遵循"一個(gè)中心，兩個(gè)基本點(diǎn)"。所謂一個(gè)中心就是：降冪。在降冪之后，二次方程化歸為兩個(gè)一次方程，將陌生的二次方程轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的一次方程，從而求出二次方程的解。教學(xué)中要讓學(xué)生明白，我們的數(shù)學(xué)課，就是在研究從未知到已知的轉(zhuǎn)化，所有的未知的數(shù)學(xué)問(wèn)題都將轉(zhuǎn)化為我們熟知的數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而得以解決，這就是"化歸"的思想。 "兩個(gè)基本點(diǎn)"就是：既然要通過(guò)降冪來(lái)求解方程，那么如何來(lái)降冪呢？我們?yōu)閷W(xué)生提供了兩個(gè)基本的途徑，或稱(chēng)基本的操作方法：一曰開(kāi)方；二曰因式分解。

開(kāi)方法，即：通過(guò)開(kāi)平方，二次式自然降為一次式。這個(gè)方法自然、直接，比較容易為學(xué)生接受。而在開(kāi)方的求解方法中，又大致可以分為：直接開(kāi)方法、配方法和公式法。

例1：解下列方程：

（1）x2-2=0 （2）16x2-25=0

（3）（x+1）2-4=0 （4）12（2-x）2-9=0

（5）x2+2x=5 （6）x2-4x+3=0

【分析】這組方程中，前兩個(gè)一看就知道是直接開(kāi)平方，即使是（3）和（4）學(xué)生也可通過(guò)"整體"的數(shù)學(xué)思想發(fā)現(xiàn)其也可以使用直接開(kāi)方的方法?？墒牵?）和（6）怎么辦呢？無(wú)論我們從哪個(gè)方面去探究，都不具備開(kāi)方的條件啊？我們可以通過(guò)配方，在方程的左邊"制造"出完全平方式。既然可以通過(guò)配方來(lái)構(gòu)造直接開(kāi)方的條件，那么這個(gè)配方的方法就可運(yùn)用在所有的一元二次方程上。因此產(chǎn)生了公式法。其實(shí)質(zhì)就是在一元二次方程的一般形式下，進(jìn)行配方，然后將其運(yùn)用于所有的二次方程。綜上，不管是直接開(kāi)方也好，還是配方，還是公式法，其實(shí)都是為了開(kāi)方，從而達(dá)到降冪的效果。

例2：（1）3x2+2x=0（2）x2=3x

【分析】上述方程，是用了因式分解的方法來(lái)求解方程。其實(shí)質(zhì)是：通過(guò)因式分解，方程左邊產(chǎn)生因式積的形式，從而將二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一次方程來(lái)求解。從某種意義上來(lái)說(shuō)，這個(gè)方法最簡(jiǎn)潔。但這里存在的問(wèn)題就在于學(xué)生因式分解的水平如何？教師應(yīng)該在這個(gè)地方適當(dāng)?shù)慕榻B"十字相乘法"，該方法在高中階段運(yùn)用相對(duì)較多。

2.強(qiáng)調(diào)一題多解，比較解題過(guò)程，作出合理選擇

對(duì)于同一個(gè)一元二次方程來(lái)說(shuō)，通常解法不是唯一的。那么是選用開(kāi)方還是因式分解呢？我想一是要視具體情況來(lái)定，二要根據(jù)學(xué)生個(gè)人技能熟練的程度來(lái)自主選擇。

例3：4（x-2）2-（3x-1）2=0

【分析】像這樣一個(gè)二次方程，無(wú)論是使用直接開(kāi)方還是使用平方差公式進(jìn)行因式分解，我想都可以順利的求解，關(guān)鍵在于我們的學(xué)生對(duì)知識(shí)掌握的程度，但無(wú)論采用那種方法，都要求學(xué)生要具有"整體"的數(shù)學(xué)思想。方法的選擇，是可以看出來(lái)一個(gè)學(xué)生的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)的，在平時(shí)教學(xué)中，我們要注意培養(yǎng)學(xué)生多思考多觀察的能力。

3.通過(guò)變式訓(xùn)練，強(qiáng)化兩大數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用

例4：（2x-1）2+3（2x-1）+2=0

【分析】遵循"整體"的數(shù)學(xué)思想，將2x-1看作一個(gè)整體，該方程通過(guò)換元之后可化為"y2+3y+2=0"的形式，這是一個(gè)普通的二次方程，學(xué)生均可求解出來(lái)。問(wèn)題在于，我們的學(xué)生是否能敏銳的發(fā)現(xiàn)該方程的特點(diǎn)，能否熟練的使用"整體"的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行換元。兩大數(shù)學(xué)思想的交替使用，對(duì)學(xué)生提出了較高的要求。當(dāng)然在教學(xué)之初，類(lèi)似的題組訓(xùn)練還有很多，比如在前面已經(jīng)提到的直接開(kāi)方法，也需要在變式訓(xùn)練中交替使用兩大數(shù)學(xué)思想：

例：（1）x2-2=0 （2）16x2-25=0

（3）（x+1）2-4=0 （4）12（2-x）2-9=0

4.求解到根，不是最終目的，不解而解才是最高境界

一元二次方程的解求出來(lái)，但是問(wèn)題并沒(méi)有結(jié)束，我們的根本目的不是為了解方程而解方程。開(kāi)方法讓我們最終意識(shí)到：所有的一元二次方程都是可以求解的，因?yàn)槲覀兛梢允褂霉絹?lái)進(jìn)行規(guī)范的、程序化的求解。一旦學(xué)生意識(shí)到這一點(diǎn)，那么"求解"的壓力就降低了，從而讓我們有時(shí)間去研究，既然方程總是可以解出來(lái)的，那么方程解的情況又如何呢？公式法的程序化操作中，讓我們發(fā)現(xiàn)方程解的情況是由"b2-4ac"來(lái)決定的。而這個(gè)"b2-4ac"就是后來(lái)我們稱(chēng)之為"根的判別式"的東西。方程我們可以不解，但是我們也可以知道方程解的情況，這就是不解而解的境界??！并且解方程的問(wèn)題也被我們延伸到了另外一個(gè)更具有價(jià)值的領(lǐng)域。方程的是否有解和解的情況的討論，又會(huì)影響到下個(gè)章節(jié)"二次函數(shù)"的學(xué)習(xí)和理解。

因式分解法和公式法的產(chǎn)生，又讓我們明白任何一個(gè)二次三項(xiàng)式總可以進(jìn)行因式分解。即：ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2），這個(gè)因式的產(chǎn)生，讓我們對(duì)二次三項(xiàng)式的因式分解有了個(gè)比較完美的結(jié)果，而且，在下個(gè)章節(jié)"二次函數(shù)"中，我們還會(huì)著力去研究這個(gè)x1、x2到底是什么？在函數(shù)的圖象中，我們將給出這兩個(gè)根的幾何意義。從而將方程中抽象的根賦予了其幾何形式，達(dá)到數(shù)形結(jié)合的效果。

當(dāng)一個(gè)方程求解結(jié)束之后，其實(shí)練習(xí)并沒(méi)有結(jié)束，我們還有事情要做，當(dāng)我們研究所求出來(lái)的兩個(gè)根與系數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系之后，就會(huì)驚奇的發(fā)現(xiàn)：根與系數(shù)之間存在如此驚人的關(guān)系，這就是"韋達(dá)定理"。初中生會(huì)錯(cuò)誤的以為，一個(gè)方程只有求出了它的根，才算是完成解方程，那么"韋達(dá)定理"和"根的判別式"再一次告戒學(xué)生，求根不是解方程的終極目標(biāo)。endprint