一種約束穩(wěn)定性最小均方噪聲對消算法*

張炳婷，趙建平，陳 麗,盛艷梅

(曲阜師范大學 物理工程學院,山東 曲阜 273165)

一種約束穩(wěn)定性最小均方噪聲對消算法*

張炳婷，趙建平，陳 麗,盛艷梅

(曲阜師范大學 物理工程學院,山東 曲阜 273165)

研究了最小均方誤差(LMS)算法、歸一化的最小均方(NLMS)算法及變步長NLMS算法在自適應噪聲干擾抵消器中的應用，針對目前這些算法在噪聲對消器應用中的缺點，將約束穩(wěn)定性最小均方(CS-LMS)算法應用到噪聲處理中，并進一步結(jié)合變步長的思想提出來一種新的變步長CS-LMS算法。通過MATLAB進行仿真分析，結(jié)果證實提出的算法與其他算法相比，能很好地濾除掉噪聲從而得到期望信號，明顯的降低了穩(wěn)態(tài)誤差，并擁有好的收斂速度。

約束穩(wěn)定性；變步長；噪聲抵消；穩(wěn)態(tài)誤差

0 引 言

目前自適應噪聲對消器的用途十分廣泛，常被用于語音通信的噪聲抵消，天線旁瓣干擾消除和生物醫(yī)學信號檢測中的干擾抵消等領域[1]。自適應噪聲抵消器的核心是自適應濾波器，通過自適應算法來實現(xiàn)對參數(shù)的控制，從而實現(xiàn)最佳濾波。在具體的自適應噪聲抵消系統(tǒng)中，信號的輸入增加了相關的噪聲信號作為參考輸入信號，從而獲得更多的噪聲信息，達到好的降噪效果，能夠從被噪聲干擾的環(huán)境中獲得有用信號[2]。針對不同的自適應算法在自適應噪聲對消應用中存在的不足之處，本文將一種新的算法約束穩(wěn)定性最小均方(Constraint Stability LMS,CS-LMS)算法[3]應用到自適應噪聲對消的系統(tǒng)當中，進行仿真比較分析。最后結(jié)合變步長的思想提出變步長的CS-LMS算法，進行進一步的仿真研究。

1 自適應噪聲對消系統(tǒng)的原理

自適應噪聲對消器是一個具有兩端輸入的自適應濾波器，主要分析采用LMS算法的噪聲對消器，它的原理圖如圖1所示：原始信號d(n)從信號源發(fā)出的有用信號s(n)與從噪聲源產(chǎn)生的噪聲g(n)干擾疊加得到的，而參考輸入信號x(n)是一個與有用信號s(n)無關，與噪聲信號g(n)相關的信號即是噪聲源產(chǎn)生的信號h(n)。經(jīng)過分析，同源噪聲在某種程度上是相關的，而噪聲和有用信號間是相互獨立的這個前提下，經(jīng)過多次自適應濾波器的迭代，使濾波器的輸出y(n)無限接近噪聲干擾信號g(n)，這樣系統(tǒng)的輸出信號e(n)就近似等于我們需要的有用信號s(n)[4]。系統(tǒng)的均方誤差即輸出信號的均方值：

E[e(n)2]=E[d(n)-y(n)2]=E{[s(n)+g(n)-y(n)]2}=E[s(n)2]+E{[g(n)-y(n)]2}+2E{s(n)[g(n)-y(n)]}

(1)

因為s(n)與g(n)和h(n)是不相關的，則式(1)可寫為E[e(n)2]=E[s(n)2]+E{[g(n)-y(n)]2}，又信號的輸入功率和自適應調(diào)節(jié)無關，所以要讓E[e(n)2]最小即使E{[g(n)-y(n)]2}最小，也就是系統(tǒng)的輸出信號e(n)與有用信號s(n)的均方差最小。在自適應對消系統(tǒng)中，自適應濾波器在的調(diào)節(jié)下改變自身的權(quán)系數(shù)，使得系統(tǒng)的輸出誤差均值E[e(n)2]最小，從而達到干擾對消的目的[5]。

圖1 自適應噪聲對消系統(tǒng)框

2 算法的分析

2.1 傳統(tǒng)的LMS算法

最小均方誤差(LMS)算法，它是以期望響應和濾波器輸出信號之間誤差的均方最小值為準則，并使用誤差來控制自適應濾波器的權(quán)系數(shù)，是最終輸出的權(quán)系數(shù)達到最佳的權(quán)系數(shù)。針對自適應噪聲對消系統(tǒng)，LMS算法的表達式：

y(n)=w(n)Tx(n)

(2)

d(n)=s(n)+g(n)

(3)

e(n)=d(n)-y(n)

(4)

w(n+1)=w(n)+ue(n)x(n)

(5)

式中，x(n)是參考輸入信號,d(n)是輸入端的原始信號,y(n)是自適應濾波器輸出的信號,w(n)是濾波器的抽頭系數(shù)。則誤差信號e(n)是有用信號s(n)的最佳估計。式(5)是自適應濾波器抽頭權(quán)向量的遞推公式，u是步長因子，當滿足0

w(n+1)=w(n)+u(n)e(n)x(n)

(6)

式(6)中u(n)=β(1-exp(-α|e(n)|2))，β控制步長函數(shù)的取值范圍，α控制步長函數(shù)的形狀。該算法具有較小的穩(wěn)態(tài)誤差和較快的收斂速度。但是在外界噪聲嚴重的情況下，穩(wěn)態(tài)誤差較大。

2.2 NLMS算法

對于基本的LMS算法，它的收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差和自適應濾波器權(quán)系數(shù)矢量的系數(shù)目和輸入信號的輸入功率有關，當輸入信號功率增大時，會帶來大的穩(wěn)態(tài)誤差，對梯度噪聲敏感，這一問題在噪聲抵消系統(tǒng)中尤為關鍵。為了解決這一問題，對基本的LMS的步長因子進行了歸一化[7]的處理，從而降低了算法對梯度噪聲的敏感度，減小了穩(wěn)態(tài)誤差，提高了收斂速度。

具體來說NLMS算法的步長因子表達式：

(7)

權(quán)向量更新表達式：

(8)

其中uo是固定步長因子，當滿足0

該算法的步長表達式：

保護裝置中非選擇性動作概率是指當電氣設備發(fā)生故障時跳閘的越級動作。越級跳閘的原因有很多種如環(huán)境，溫度，電子元件參數(shù)的不穩(wěn)定等。因而在設計電力保護系統(tǒng)設備時要充分考慮這些因素。對于可能發(fā)生的越級跳閘，要采用必要的方案對策。仔細研究對于因環(huán)境，溫度變化或者元器件的損害導致的越級跳閘動作發(fā)生的概率，計算因這些因素導致的發(fā)生越級跳閘非選擇性動作概率。

u(n)=β[1-exp(-α|e(n)e(n-1)|)]

(9)

權(quán)向量的更新表達式：

(10)

就是在步長函數(shù)中不直接使用誤差信號e(n)的平方，而是使用前一時刻的誤差信號e(n-1)與當前時刻的誤差信號e(n)的乘積即e(n-1)e(n)來代替，降低了算法對噪聲的敏感度。同時采用變步長算法。達到在收斂階段，采用大的步長，加快收斂速度，等到收斂穩(wěn)定后，采用小的步長，來降低穩(wěn)態(tài)誤差的目的。

2.3 CS-LMS算法

與NLMS算法不同CS-LMS算法在運算的過程中放松了對NLMS算法的約束條件，使用拉格朗日乘子法求解最佳優(yōu)化問題，得到約束穩(wěn)定性最小均方CS-LMS算法的權(quán)值更新方程。它的權(quán)向量更新表達式為：

(11)

式(11)中δe(n)=e(n)-e(n-1)，是相鄰的誤差增量，‖δx(n)‖2=‖x(n)-x(n-1)‖2是參考輸入信號增量的范數(shù)的平方，當‖δx(n)‖2≠0算法收斂。由于NLMS算法優(yōu)化問題的約束條件是讓后驗誤差為零，過于苛刻，會使算法在穩(wěn)態(tài)時收斂過度，會產(chǎn)生較大的穩(wěn)態(tài)誤差，而CS-LMS算法放松約束條件后使后驗誤差趨于一定值，這樣改善了NLMS算法穩(wěn)態(tài)誤差偏大的現(xiàn)狀[9]。

2.4 改進的變步長CS-LMS算法

CS-LMS算法的步長仍是固定的，本文在CS-LMS算法的基礎上結(jié)合變步長的思想提出了變步長的CS-LMS算法。這樣可以達到在收斂階段，采用大的步長，加快收斂速度，等到收斂穩(wěn)定后，采用小的步長，來降低穩(wěn)態(tài)誤差的目的。將文獻[10]中提出變步長算法與CS-LMS算法結(jié)合得到的變步長CS-LMS算法的步長表達式如下：

u(n)=αu(n-1)+β|e(n)e(n-1)|

(12)

權(quán)向量更新表達式：

(13)

該算法采用變步長的思想，解決了穩(wěn)態(tài)誤差和收斂速度間的矛盾，同時又放松了約束條件，進一步的減小了穩(wěn)態(tài)誤差，歸一化的處理讓算法降低了對梯度噪聲的敏感度。

3 仿真結(jié)果及性能對比分析

3.1 算法對輸入信號敏感程度的分析

將不同的算法應用到噪聲抵消系統(tǒng)中，驗證不同算法在不同大小的輸入信號下濾除噪聲的性能，主要從穩(wěn)態(tài)誤差和收斂速度兩個方面來進行對比。針對不同算法選取相同的輸入正弦信號s(n)=2*sin(0.01*pi*n)，噪聲信號noise=randn(1,n)，其中濾波器的階數(shù)是4，為保證算法的收斂，步長選取適當?shù)闹怠τ诠潭ú介LLMS算法，取步長為u=0.003，G-SVSLMS算法中選取β=0.006,α=0.8，NLMS算法中uo=0.04,γ=1，CS-LMS算法中uo=0.3,γ=1，分別做200次獨立仿真，采樣點數(shù)為2 000，以瞬時誤差作為均方誤差的簡單估計，求它們的統(tǒng)計平均，得到算法的學習曲線圖如圖2所示。由圖2可以看出，CS-LMS算法的收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差確實都要優(yōu)于其他的算法。

圖2 不同算法的學習曲線

將噪聲信號改為noise=0.5*randn(1,n)，即改變輸入信號的功率時再用相同的4種算法進行仿真分析，得到的學習曲線如圖3所示。對比圖2與圖3可以清楚地看到NLMS算法和CS-LMS算法的收斂速度不受輸入信號功率變化的影響，克服了對輸入噪聲較為敏感的缺點。而另外兩種算法對輸入信號功率變化十分敏感。綜上CS-LMS算法的收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差都要優(yōu)于其他算法，而且不易受輸入信號功率變化的影響。

圖3 不同算法的學習曲線

3.2 不同算法噪聲對消結(jié)果的分析

將CS-LMS算法、VSSNLMS算法和變步長的CS-LMS算法應用到具體的自適應噪聲對消系統(tǒng)中，定義濾波器的輸入正弦信號為s(n)=2*sin(0.01*pi*n)，噪聲信號為noise=0.5*randn(1,n)，其中濾波器的階數(shù)是4，為保證算法的收斂，步長選取適當?shù)闹?。將變步長CS-LMS算法中α=0.7,β=0.09，VSSNLMS算法中α=0.8,β=0.04，CS-LMS算法的uo=0.2,γ=1每種算法獨立做200次仿真，然后對其求平均值。

圖4是有用的正弦信號、噪聲信號和加入噪聲信號后的正弦信號，圖5是不同的LMS算法自適應對消后的結(jié)果，與圖4中的正弦信號相比，明顯看出CS-LMS算法和本文提出的變步長CS-LMS算法濾除噪聲恢復信號的效果要好。圖6是變步長VSSNLMS算法、CS-LMS算法、變步長CS-LMS算法的學習曲線圖，顯然CS-LMS算法、變步長CS-LMS算法的穩(wěn)態(tài)誤差低于變步長VSSNLMS，收斂速度也要快許多，這其中本文提出的變步長CS-LMS的性能最好。

圖4 信號的波形

圖5 不同LMS算法的噪聲對消后的結(jié)果

圖6 不同算法的學習曲線

4 結(jié) 語

文中對目前自適應噪聲對消器的應用和原理做了簡單的說明，研究了傳統(tǒng)的LMS算法、NLMS算法及變步長算法的對消過程，針對它們的不足之處，將CS-LMS算法應用到自適應噪聲對消系統(tǒng)中，并結(jié)合變步長的思想，提出了一種新的變步長CS-LMS算法，最后對文中提到的算法進行了仿真，仿真結(jié)果證明，在自適應噪聲對消的應用中，本文提出的算法降低了對梯度噪聲的敏感度，同時不僅加快了算法的收斂速度，也大幅度的減小穩(wěn)態(tài)誤差。但是穩(wěn)態(tài)誤差的收斂過程起伏較大，在接下來的研究當中，會對本文的算法進一步的改進，并在硬件當中進行實施。

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A Constrained Stability Least Mean Square Noise Cancellation Algorithm

ZHANG Bing-ting，ZHAO Jian-ping，CHEN Li，SHENG Yan-mei

(College of Physics Engineering ，Qufu Normal University ， Qufu Shandong 273165，China )

The least mean square error (LMS) algorithm, normalized least mean square (NLMS) algorithm and variable step NLMS algorithm in adaptive noise canceller are studied, and aiming at the shortcomings of these algorithms in applications, the constrained stability least mean square (CS-LMS) algorithm is applied to dealing with noise,and further combined with the thought of variable step size,a new variable step size CS-LMS algorithm is proposed. Simulation with MATLAB indicates that this proposed algorithm, as compared with other algorithms, could fairly filter out the noise so as to acquire the desired signal, significantly reduce the steady-state error, and has excellent convergence speed.

constraint stability; variable step size; noise cancellation; steady-state error

2015-03-25；

2015-07-19 Received date:2015-03-25；Revised date：2015-07-19

國家自然科學基金(No.11302118)；山東省自然科學基金資助(No.ZR2014FM011)

Foundation Item:National Natural Science Foundation of China(No.11302118)，Natural Science Foundation of Shandong Province (No.ZR2014FM011)

TN929.5

A

1002-0802(2015)09-1010-05

張炳婷(1990—)，女，碩士研究生，主要研究方向為無線通信技術；

趙建平(1964—)，男，教授，主要研究方向為無線通信技術；

陳 麗(1990—)，女，碩士研究生，主要研究方向為光纖通信技術；

盛艷梅(1991—)，女，碩士研究生，主要研究方向為智能信息處理。

10.3969/j.issn.1002-0802.2015.09.006