擬周期激勵(lì)下非線性半車模型的混沌振動(dòng)研究

楊智勇， 梁 山， 周 桐

(1.重慶工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院 信息工程學(xué)院， 重慶 402260； 2.重慶大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院， 重慶 400044)

擬周期激勵(lì)下非線性半車模型的混沌振動(dòng)研究

楊智勇1,2， 梁 山1， 周 桐1

(1.重慶工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院 信息工程學(xué)院， 重慶 402260； 2.重慶大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院， 重慶 400044)

為了克服單一頻率路面激勵(lì)下車輛懸架模型不能真實(shí)反映實(shí)際車輛的非線性動(dòng)力學(xué)特性問題，建立了雙頻擬周期動(dòng)態(tài)路面激勵(lì)函數(shù)，并構(gòu)建了4自由度非線性1/2車輛懸架模型.運(yùn)用龐加萊圖、相位圖，功率譜密度分析了車輛4自由度非線性半主動(dòng)懸架模型通過凹凸不平路面時(shí)的動(dòng)力學(xué)特性，得到了系統(tǒng)發(fā)生混沌振動(dòng)時(shí)的激勵(lì)振幅和振動(dòng)特性，即車輛通過凹凸不平路面時(shí)的振動(dòng)特性為:擬周期→過渡態(tài)→混沌態(tài).同時(shí)通過調(diào)整彈簧剛度系數(shù)，有效抑制了混沌振動(dòng)的發(fā)生.研究結(jié)果表明:雙頻擬周期激勵(lì)下的4自由度非線性半主動(dòng)懸架模型模擬更能接近實(shí)際情況，這有助于汽車懸架的設(shè)計(jì)和路面鋪裝設(shè)計(jì).

擬周期；非線性車輛；半主動(dòng)懸架；混動(dòng)振動(dòng)

0 引言

由于車輛系統(tǒng)中懸架、輪胎、彈簧、阻尼元件存在非線性特性，因此當(dāng)車輛通過凹凸不平的路面時(shí)，路面激勵(lì)可能導(dǎo)致車輛內(nèi)部發(fā)生復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，如分岔現(xiàn)象、混沌振動(dòng)等[1-2].這些非線性現(xiàn)象可能會(huì)導(dǎo)致車輛振動(dòng)加劇，增大系統(tǒng)噪聲，破壞周邊環(huán)境，造成元器件磨損和道路早期疲勞損害，甚至威脅乘車舒適性和行車安全[3-4].因此對(duì)車輛通過凹凸不平路面產(chǎn)生混沌振動(dòng)的機(jī)理和抑制混沌振動(dòng)的方法開展研究，對(duì)提高駕乘人員舒適性具有重要意義.

近年來，對(duì)汽車非線性懸架的混沌振動(dòng)的機(jī)理研究，特別對(duì)路面不平度激勵(lì)下非線性車輛懸架系統(tǒng)的混沌振動(dòng)的研究已越來越受到人們的關(guān)注[1-7].但是由于非線性系統(tǒng)的復(fù)雜性，目前模型多是簡(jiǎn)單的單自由度1/4車輛模型和兩自由度1/4車輛模型.1/4車輛模型是一種極其簡(jiǎn)化的模型，它將汽車簡(jiǎn)化為一個(gè)車輪支撐的振動(dòng)系統(tǒng)，只能研究車輛在垂直方向的振動(dòng)，忽略了真實(shí)懸架系統(tǒng)很多重要的振動(dòng)特性，很難提供足夠反映懸架系統(tǒng)和車體的實(shí)際動(dòng)態(tài)特性的信息，不能代表真實(shí)的車輛系統(tǒng)懸架特性[3-6].而4自由度1/2車輛模型是一種相對(duì)接近實(shí)際懸架系統(tǒng)的模型，它可用于研究車身的垂直運(yùn)動(dòng)和俯仰運(yùn)動(dòng)以及前后2車輪的垂直運(yùn)動(dòng)，并可研究前后兩輪激勵(lì)輸入相位差對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響.由于隨機(jī)路譜表示的路面激勵(lì)不便于理論研究，因此，路面激勵(lì)模型多以單一頻率或雙頻的正弦或余弦來近似模擬路面激勵(lì)，討論路面位移激勵(lì)對(duì)系統(tǒng)非線性特性的影響[1-2,7].但是單一的正弦頻率很難真實(shí)地表示路面的真實(shí)激勵(lì).目前針對(duì)雙頻擬周期激勵(lì)下多自由度非線性車輛懸架的混沌振動(dòng)的研究還鮮見報(bào)道.鑒于以上問題，筆者采用雙頻正弦擬周期激勵(lì)來表示凹凸不平的路面，以4自由度非線性半車模型為研究對(duì)象，研究非線性車輛在路面雙頻擬周期激勵(lì)下的混沌振動(dòng).所謂擬周期是指當(dāng)各個(gè)激勵(lì)頻率不可有理通約時(shí)稱為擬周期[7].筆者首先建立了車輛懸架和路面激勵(lì)模型，通過分析Poincaré截面圖、相位圖、功率譜等，驗(yàn)證了模型的合理性和系統(tǒng)存在混沌的可能性.

1 車輛模型及運(yùn)動(dòng)微分方程

為了得到更具有價(jià)值的車輛非線性動(dòng)力學(xué)特性，筆者將車輛看成左右對(duì)稱的結(jié)構(gòu)，由此建立4自由度非線性半車懸架系統(tǒng)模型，其模型力學(xué)結(jié)構(gòu)如圖1所示[3-4].4自由度非線性半車模型能對(duì)前后車輪、車身垂直和俯仰方向的非線性運(yùn)動(dòng)作較為完備的研究，同時(shí)研究車輛前后輪激勵(lì)的時(shí)間差對(duì)車輛懸架的影響，具有較強(qiáng)的理論研究?jī)r(jià)值.

圖1 4自由度非線性半主動(dòng)半車懸架模型Fig.1 Non-linear 4-DOF half-active half-vehicle suspension model

在圖1中,mb為車身質(zhì)量；mf，mr為前后輪非簧載質(zhì)量；xf為mf的垂直位移；xr為mr的垂直位移；xfd，xrd為前后輪受到的外部激勵(lì)；Fsf1，F(xiàn)sr1為前后輪懸架非線性阻尼力；Fsf2，F(xiàn)sr2為前后非線性懸架彈簧力；Fcf1，F(xiàn)cr1為前后非線性輪胎彈簧力；Fcf2，F(xiàn)cr2為前后懸架非線性阻尼力；Ffu，F(xiàn)ru為前后懸架主動(dòng)控制力.

(1)

彈簧的非線性特性分別被表示為

Fsf1=100(nf1-1)kf1sgn(Δxf1)|Δxf1|nf1；

(2)

Fsr1=100(nr1-1)kr1sgn(Δxr1)|Δxr1|nr1；

(3)

Fsf2=100(nf2-1)kf2sgn(Δxf2)|Δxf2|nf2；

(4)

Fsr2=100(nr2-1)kr2sgn(Δxr2)|Δxr2|nr2.

(5)

其中，

Δxf1=xf-xfd-sf1；

(6)

Δxf2=xb-xf-sf2-lfsinθ；

(7)

Δxr1=xr-xrd-sr1；

(8)

Δxr2=xb-xr-sr2-lrsinθ.

(9)

式中:sf1和sr1分別表示前后車輪在無激勵(lì)下的彈性形變; sf2和sr2分別表示前后懸架在無激勵(lì)下的彈性形變;kf1和kr1分別表示前后輪胎的等效剛度；kf2和kr2分別表示前后懸架的等效剛度.

阻尼器的非線性特性被表示為[4-5]

(10)

(11)

(12)

(13)

式中:cf1和cr1表示前后輪胎的非線性阻尼因子; cf2和cr2表示前后懸架的非線性阻尼因子，表示為

(14)

(15)

(16)

設(shè)mb前后軸承受的分質(zhì)量，分別為mbf和mbr，可計(jì)算得

(17)

因此，車輛懸架垂直方向的靜態(tài)狀態(tài)方程可表示為

(18)

從式(18)可得

(19)

2 路面激勵(lì)模型及車輛懸架混沌振動(dòng)分析參數(shù)

筆者用雙頻正弦擬周期函數(shù)表示路面不平度激勵(lì)，因此路面不平度可近似地用如下等式表示.

xfd=A1sinω1t+A2sinω2t ；

(20)

xrd=A1sin(w1t+α)+A2sin(w2t+α) .

(21)式中：A1和A2表示路面激勵(lì)的振幅;ω1和ω2分別表示兩個(gè)正弦激勵(lì)的角頻率;α表示激勵(lì)對(duì)前后車輛的滯后延遲,α的值約等于(lf+lr)/v, lf和lr是前后車輪和車輛中心位置的距離.

由于系統(tǒng)非線性微分方程的存在，故可采用定步長(zhǎng)4階Runge-Kutta算法進(jìn)行仿真研究.數(shù)值仿真的汽車模型參數(shù)見表1[4, 6].

表1 數(shù)值仿真參數(shù)Tab.1 Parameters for numerical simulation

3 仿真分析

當(dāng)A1=A2=0.004,nf1=nf2=1.75時(shí)，車輛的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為擬周期，如圖2所示.

圖2 擬周期運(yùn)動(dòng)Fig.2 Quasi periodic motion

當(dāng)A1=A2=0.038,nf1=nf2=1.75時(shí)，擬周期環(huán)破裂，有進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的趨勢(shì)，筆者將此狀態(tài)稱為過渡運(yùn)動(dòng)態(tài)，如圖3所示.

圖3 過渡態(tài)運(yùn)動(dòng)Fig.3 The transition state of motion

當(dāng)A1=A2=0.04,nf1=nf2=1.75時(shí),系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)從過渡態(tài)進(jìn)入到混沌狀態(tài)，如圖4所示.

圖4 混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)Fig.4 Chaotic motion

為了進(jìn)一步研究引起車輛發(fā)生混沌振動(dòng)的機(jī)理，為車輛懸架設(shè)計(jì)提供依據(jù)參考，論文通過調(diào)整車輛前后懸架彈簧剛度系數(shù)進(jìn)行對(duì)比研究.懸架彈簧剛度系數(shù)nf1=nf2=1.25，路面激勵(lì)振幅A分別為0.004，0.038，0.04時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性如圖5～7所示.

圖5 擬周期運(yùn)動(dòng)Fig.5 Quasi periodic motion

在路面相同振幅激勵(lì)下，通過將前后懸架彈簧剛度系數(shù)從1.75調(diào)整為1.25后，車輛懸架原先的過渡態(tài)和混沌態(tài)不再存在，而是做擬周期運(yùn)動(dòng)，這說明了可以通過調(diào)整車輛懸架彈簧的剛度系數(shù)來改變車輛的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，提高乘坐舒適性和行車安全性.

圖6 擬周期運(yùn)動(dòng)Fig.6 Quasi periodic motion

圖7 擬周期運(yùn)動(dòng)Fig.7 Quasi periodic motion

4 結(jié)論

筆者采用數(shù)值仿真方法分析了4自由度1/2非線性懸架模型在雙頻擬周期激勵(lì)下的混沌振動(dòng).采用龐加萊圖、相位圖和功率譜密度證實(shí)了系統(tǒng)發(fā)生混沌的可能，同時(shí)獲得了系統(tǒng)發(fā)生混沌振動(dòng)時(shí)激勵(lì)的振幅.仿真結(jié)果揭示了車輛懸架系統(tǒng)通過凹凸不平路面時(shí)的振動(dòng)特性為擬周期→過渡態(tài)→混沌態(tài).同時(shí)在路面激勵(lì)振幅不變的情況下，通過調(diào)整車輛前后懸架彈簧剛度系數(shù)，有效改變了車輛懸架的運(yùn)動(dòng)狀態(tài):車輛從混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)轉(zhuǎn)變到了擬周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài).結(jié)果驗(yàn)證了可以通過調(diào)整懸架彈簧系數(shù)來有效避免混沌運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生.研究結(jié)果對(duì)車輛懸架設(shè)計(jì)和路面鋪裝具有重要參考意義.下一步將通過理論方法對(duì)系統(tǒng)發(fā)生混沌的可能性和振動(dòng)特性進(jìn)行推導(dǎo)，通過對(duì)比分析理論推導(dǎo)和仿真分析結(jié)果，為懸架的動(dòng)力學(xué)特性設(shè)計(jì)和道路路面鋪裝提供理論依據(jù).

[1] LIANG Shan, LI Cong-gang, ZHU Qin. The influence of parameters of consecutive speed control humps on the chaotic vibration of a 2-DOF nonlinear vehicle model[J]. Journal of Vibroengineering, 2011, 13(3)： 406-413.

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[5] 王威，李瑰賢，宋玉玲. 四輪激勵(lì)含相位差的汽車高維非線性超混沌動(dòng)力學(xué)特性研究[J]. 振動(dòng)與沖擊，2009，28(3)：102-202.

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[7] 李韶華，楊紹普. 擬周期激勵(lì)下滯后非線性汽車懸架的混沌[J]. 振動(dòng)與沖擊，2003，22(3)：61-65.

Research on Chaotic Vibration Characteristics of Nonlinear Half Vehicle Model under Quasi-Periodic Excitation

YANG Zhi-yong1,2， LIANG Shan1，ZHOU Tong1

(1.College of Information Engineering, Chongqing Institute of Engineering, Chongqing 402260, China; 2.College of Automation, Chongqing University, Chongqing 400044, China)

To overcome the problem that the vehicle suspension model of the single periodic excitation road does not truly reflect the nonlinear dynamics characteristics of the actual vehicle, the paper establishes a quasi-periodic dynamic road excitation function, and builds a four-degree of freedom nonlinear half vehicle suspension model. Using the Poincaré map, phase diagram, power spectral density to analyse the nonlinear dynamics characteristics of the four degrees of freedom semi-active vehicle suspension model on uneven road surface, we obtain the amplitude of chaotic vibration and its vibration characteristics which is quasi-periodic → transition state → chaotic state as the vehicle through uneven road surface. At the same time, the occurrence of chaotic vibration can be inhibited effectively by adjusting the spring stiffness coefficient. The results show that the simulations of the four degrees of freedom nonlinear semi-active suspension model under dual-frequency quasi-periodic excitation is more closer to the real situation, which helps the design of vehicle suspension and pavement.

quasi-periodic； nonlinear vehicle； semi-active suspension； chaotic vibration

2014-08-17；

2014-11-10

中央高校基本科研業(yè)務(wù)基金項(xiàng)目(CDJXS12170002)；重慶市科技項(xiàng)目基金資助項(xiàng)目(KJ112002)

楊智勇(1979-)，男，重慶忠縣人，重慶工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院副教授，博士，主要從事非線性控制理論研究，E-mail:yzy023@aliyun.com.

1671-6833(2015)01-0110-04

TP391.9

A

10.3969/j.issn.1671-6833.2015.01.026