對(duì)流層波導(dǎo)中電波傳播的拋物方程法及誤差分析

楊明珊，邱志勇，杜曉燕

(1.鄭州大學(xué) 信息工程學(xué)院, 河南 鄭州 450001; 2.信息工程大學(xué), 河南 鄭州 450001)

對(duì)流層波導(dǎo)中電波傳播的拋物方程法及誤差分析

楊明珊1，邱志勇1，杜曉燕2

(1.鄭州大學(xué) 信息工程學(xué)院, 河南 鄭州 450001; 2.信息工程大學(xué), 河南 鄭州 450001)

對(duì)窄角拋物方程推導(dǎo)過(guò)程中引入的主要誤差進(jìn)行分析，建立近似過(guò)程產(chǎn)生的誤差與傳播仰角、大氣折射指數(shù)變化的關(guān)系，關(guān)系式明確了兩因子引入誤差的大小與方程適用范圍.并驗(yàn)證在對(duì)流層大氣折射指數(shù)變化與較小傳播仰角情況下，窄角拋物方程求解的可靠性.最后，運(yùn)用該算法分別計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)大氣、蒸發(fā)波導(dǎo)與表面波導(dǎo)中電磁波傳播的損耗值.

對(duì)流層波導(dǎo)；拋物方程算法；傳播損耗；誤差

0 引言

我國(guó)東南沿海處于對(duì)流層波導(dǎo)高發(fā)生地區(qū)，海岸及艦船上運(yùn)作的雷達(dá)系統(tǒng)，通信和偵察等無(wú)線設(shè)備通常都會(huì)受其影響[1].例如，會(huì)使雷達(dá)產(chǎn)生傳播盲區(qū)、雜波增強(qiáng)等；對(duì)通信系統(tǒng)也會(huì)產(chǎn)生相當(dāng)大的干擾，嚴(yán)重時(shí)會(huì)導(dǎo)致通信中斷.因此，針對(duì)對(duì)流層波導(dǎo)環(huán)境中電磁波傳播特性研究的必要性日趨顯現(xiàn)；此外，開(kāi)展波導(dǎo)中電波傳播研究還關(guān)系到戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境中電磁壓制和反壓制、電波傳播環(huán)境的利用和反利用等問(wèn)題，具有重大國(guó)防和軍事價(jià)值.

拋物方程算法是在1987年，由Dockery首次將其運(yùn)用到對(duì)流層電波傳播問(wèn)題中[2]；二十世紀(jì)以來(lái)，美國(guó)海軍研究小組一直致力于拋物方程模型的應(yīng)用研究，并完成了基于離散混合傅里葉變換等方法的混合傳輸模型的技術(shù)報(bào)告[3].而我國(guó)對(duì)拋物方程法的研究卻起步較晚且多數(shù)集中在水聲領(lǐng)域，最近幾年才逐漸在電磁計(jì)算領(lǐng)域得到關(guān)注.總體說(shuō)來(lái)，目前國(guó)內(nèi)計(jì)算電磁學(xué)領(lǐng)域?qū)佄锓匠谭ǖ难芯窟€處于基礎(chǔ)理論研究階段.筆者首先由波動(dòng)方程導(dǎo)出窄角拋物方程，并針對(duì)該推導(dǎo)過(guò)程引入的近似量進(jìn)行分析，建立誤差與傳播仰角等因子的關(guān)系式，最后仿真分析了波導(dǎo)中電磁波傳播損耗分布情況.

1 波導(dǎo)折射率模型

電磁波傳播過(guò)程中，當(dāng)傳播距離較近時(shí)，可以近似認(rèn)為地表面為平面；若傳播距離大于極限直視距離，就必須探討地球曲率的影響.為了解決這個(gè)問(wèn)題，可以使用球面分層介質(zhì)中的斯奈爾定律得到大氣修正折射指數(shù)[4]

式中：z為海平面以上高度；n(z)為高度z處的大氣折射指數(shù)；ae為地球半徑，修正折射指數(shù)已經(jīng)將地球曲率的影響考慮在內(nèi).進(jìn)而，可得大氣的修正折射率

(2)

標(biāo)準(zhǔn)大氣的折射率梯度變化為定值，其折射率剖面為斜直線；而蒸發(fā)波導(dǎo)是由于海面水汽蒸發(fā)使得海面上空較小高度范圍內(nèi)的大氣濕度急劇減小而形成的，其修正折射率數(shù)學(xué)模型可表示為

M(z)=M(z0) + 0.125(z-z0) -

(3)

式中：z0為海面粗糙度高度；d為蒸發(fā)波導(dǎo)高度，當(dāng)d為0時(shí)，表示標(biāo)準(zhǔn)大氣的折射率模型.

表面波導(dǎo)是由于陸地干暖氣團(tuán)移動(dòng)到海面上濕冷氣團(tuán)上空，形成較大的負(fù)折射率梯度，從而構(gòu)成較強(qiáng)陷獲作用的表面波導(dǎo)結(jié)構(gòu)，其射率模型可表示為

(4)

式中：M0為海面粗糙度高度處的修正折射率；c1，c2分別為表面波導(dǎo)基礎(chǔ)層和逆變層的折射率梯度；h1，h2分別為基礎(chǔ)層與逆變層的厚度，當(dāng)h1為0時(shí)，模型表示為不含基礎(chǔ)層的表面波導(dǎo).

2 窄角拋物方程的導(dǎo)出

在折射指數(shù)為n的各向同性介質(zhì)中，場(chǎng)量ψ滿足Helmholtz方程[5]

(5)

式中：k為波數(shù);n為介質(zhì)的折射指數(shù);對(duì)水平方向的電波傳播而言，x表示水平距離，z表示垂直方向高度.該波動(dòng)方程有以下形式的解

ψ(x,z)=u(x,z)exp(ikx) .

(6)

將式(6)代入方程(5)中，可得

(7)

此處，引入偽微分算子

(8)

(9)

方程(9)有解

(10)

(11)

代入方程(10)中，可以得到標(biāo)準(zhǔn)窄角拋物方程

(12)

這里使用分步傅里葉變換算法求解該拋物方程，其解經(jīng)過(guò)變換可得

u(x+Δx,z)=exp[ik(n2-1)Δx/2]·

F-1{exp(-ip2Δx/2k)F[u(x,z)]} .

(13)

式中：Δx表示x方向上的步進(jìn)；p=ksinα，表示垂直空間波數(shù)；F(*)表示傅里葉正變換；F-1(*)表示傅里葉逆變換；exp(-ip2Δx/2k)表示傳播媒質(zhì)對(duì)電波的折射效應(yīng)，而exp(-ip2Δx/2k)則反映了電波對(duì)障礙物的繞射效應(yīng)[8].拋物方程算法正是基于式(13)逐步計(jì)算空間中各點(diǎn)的電波傳播損耗值.

3 誤差分析

窄角拋物方程是由波動(dòng)方程逐步近似演變而來(lái)，其推導(dǎo)過(guò)程中，存在近似，所以不可避免地產(chǎn)生誤差.分析誤差產(chǎn)生機(jī)理，并且明確因子引起誤差的大小，有助于提高計(jì)算結(jié)果的可靠性.

筆者具體對(duì)微分算子Q的近似所產(chǎn)生誤差進(jìn)行分析，由(8)，(11)式中，Q、Q1的表達(dá)式，可得兩者的平方差表達(dá)式

Eerror=Q12-Q2=

(14)

近似過(guò)程產(chǎn)生的誤差并不是恒定的，而是隨著參數(shù)的大小變化而變.通過(guò)變換式(14)，建立誤差Eerror與折射指數(shù)變化Δn、傳播仰角α兩因子之間的關(guān)系.在電磁波傳播仰角較小的情況下，|μ(u)| ≈ sin2α[9]，大氣折射指數(shù)接近于1，其變化量為Δn，則n=1+Δn，將以上條件與ε表達(dá)式代入到誤差表達(dá)式中可得

(15)

其相對(duì)誤差為

(16)

式中：α為電磁波傳播仰角.

假設(shè)Δn分別為0.01,0.05,0.1,0.2，可得絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差與傳播仰角之間的關(guān)系圖如圖1所示.

由圖1中可以得出，傳播仰角控制在15°以內(nèi)時(shí)，大氣折射指數(shù)變化小于0.1情況下，絕對(duì)誤差比較小，在0.02以內(nèi)，相對(duì)誤差也控制在1%以內(nèi)，而Δn為到0.2時(shí)，絕對(duì)誤差增大到0.05左右，相對(duì)誤差為4%左右.

圖中曲線趨勢(shì)表明，傳播仰角逐步增大，誤差與相對(duì)誤差都相應(yīng)增大，從而對(duì)計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生較大影響，尤其在傳播仰角大于20°以后，誤差增大更為顯著.因此窄角拋物方程不適用于求解傳播仰角較大的電波傳播過(guò)程.一般認(rèn)為，傳播仰角在10°以內(nèi)，使用窄角拋物方程法計(jì)算電波傳播損耗能達(dá)到足夠精度.

下文討論誤差與折射指數(shù)變化關(guān)系，若傳播仰角為5°， 10°， 15°，則誤差與折射指數(shù)變化之間的關(guān)系圖為圖2所示.

對(duì)流層大氣當(dāng)折射指數(shù)變化在1.000 25～1.000 4之間，變化量較小.由圖2可知，在3種不同天線發(fā)射仰角情況下，由折射指數(shù)變化Δn引起的絕對(duì)誤差都在0.001左右，其相對(duì)誤差也控制在0.1%以內(nèi).以上表明折射指數(shù)變化引起的誤差對(duì)計(jì)算結(jié)果影響較小.

在窄角拋物方程算法計(jì)算步長(zhǎng)內(nèi)(一般為100 m～1 000 m之間)，折射指數(shù)變化更為細(xì)小，可認(rèn)為恒定不變.所以在窄角拋物方程推導(dǎo)過(guò)程中，式(7)假定折射指數(shù)不隨x變化而變，對(duì)窄角拋物方程精度的影響可以忽略.

圖1 誤差與傳播仰角關(guān)系Fig.1 Error and elevation angle relationship

圖2 誤差與折射指數(shù)關(guān)系Fig.2 Relative error and refractive index relationship

4 數(shù)值算例

使用C語(yǔ)言編程，分別計(jì)算了標(biāo)準(zhǔn)大氣，蒸發(fā)波導(dǎo)，含基礎(chǔ)層表面波導(dǎo)3種大氣結(jié)構(gòu)的電磁波傳播損耗分布；其中，天線發(fā)射高度在標(biāo)準(zhǔn)大氣與蒸發(fā)波導(dǎo)中為10 m，表面波導(dǎo)和含基礎(chǔ)層表面波導(dǎo)中為15 m，傳播仰角為0°；蒸發(fā)波導(dǎo)高度為20 m；含基礎(chǔ)層表面波導(dǎo)，基礎(chǔ)層高30 m，逆變層高度50 m；電磁波頻率為6 GHz；極化方式為水平極化；波束寬度為0.7；海面相對(duì)介電常數(shù)為70；電導(dǎo)率為5 s/m；垂直步長(zhǎng)為0.2 m，水平步長(zhǎng)為100 m.

圖3～5分別為標(biāo)準(zhǔn)大氣及2種波導(dǎo)類型下，電磁波傳播損耗分布偽色彩圖.

由圖3可知，標(biāo)準(zhǔn)大氣中，電磁波是偏離水平面?zhèn)鞑サ?，傳輸距離有限，在距離發(fā)射源40～60 km處，傳播損耗值就達(dá)到了160 dB以上，通信及雷達(dá)系統(tǒng)已經(jīng)不能正常使用；圖4顯示蒸發(fā)波導(dǎo)對(duì)電磁波出現(xiàn)陷獲作用，計(jì)算條件下，波導(dǎo)內(nèi)傳播衰減在100～130 dB之間，衰減值比標(biāo)準(zhǔn)大氣要小.由圖5可知，含基礎(chǔ)層表面波導(dǎo)對(duì)電磁波的陷獲作用明顯大于蒸發(fā)波導(dǎo)，同等距離波導(dǎo)內(nèi)傳播衰減也較蒸發(fā)波導(dǎo)小并且出現(xiàn)波動(dòng)情況.少量電磁波在傳輸過(guò)程中，向上傳播角度大于波導(dǎo)最大陷獲角度，所以表面波導(dǎo)上方出現(xiàn)電波透射出波導(dǎo)情況.

圖3 標(biāo)準(zhǔn)大氣Fig.3 Standard atmosphere

圖4 蒸發(fā)波導(dǎo)Fig.4 Evaporation duct

圖5 含基礎(chǔ)層表面波導(dǎo)Fig.5 Including base layer surface duct

2種波導(dǎo)類型均出現(xiàn)波導(dǎo)傳播現(xiàn)象，實(shí)際情況中，就有可能實(shí)現(xiàn)超視距傳播，將大大利于雷達(dá)探測(cè)等應(yīng)用.然而，波導(dǎo)上方的區(qū)域電磁波傳播衰減明顯大于波導(dǎo)內(nèi)區(qū)域，該區(qū)域可能成為作業(yè)雷達(dá)的探測(cè)盲區(qū).

5 結(jié)論

為了求解海平面上空電磁波傳播損耗情況，將波動(dòng)方程經(jīng)過(guò)近似，演變成窄角拋物方程；筆者分析了窄角拋物方程推導(dǎo)過(guò)程中Q算子引入的誤差，并建立了誤差與傳播仰角、大氣折射指數(shù)變化的關(guān)系式.結(jié)果表明，算子Q通過(guò)泰勒近似所推出的窄角拋物方程只適用于傳播仰角在10°以內(nèi)的情況，而求解過(guò)程中，水平方向折射指數(shù)的變化引起的誤差可以忽略，即可近似認(rèn)為x方向上，折射指數(shù)為恒定值.

拋物方程算法是目前求解對(duì)流層波導(dǎo)中電磁波傳播問(wèn)題的最主要工具，如何更為準(zhǔn)確地求解出電磁波傳播衰減值一直是研究人員所探索的問(wèn)題，此過(guò)程中除了建立準(zhǔn)確的對(duì)流層波導(dǎo)傳輸模型外，減小拋物方程求解過(guò)程中可控輸入因子引入的誤差，以提高解的準(zhǔn)確性也是必不可少的.

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Troposphere Radio Waves Propagation in Duct of Parabolic Equation Method and Error Analysis

YANG Ming-shan1， QIU Zhi-yong1， DU Xiao-Yan2

(1.School of Information Engineering, Zhengzhou University, Zhengzhou 450001, China; 2.Information Engineering University, Zhengzhou 450002, China)

The main error which is introduced in the process of the Narrow-angle parabolic equation derivation is analyzed. Then,the relationship between the approximation error and propagation elevation and atmospheric refraction index changes is established. The established expression ascertains the value of the error brought by the two operators and verifies the reliability of the derivation of narrow-angle parabolic equation in the condition of small changes of propagation elevation and atmospheric refraction index. Finally, the loss values of electromagnetic wave propagation in standard atmosphere, evaporation duct and surface duct are calculated.

troposphere duct；parabolic equation；propagation loss；error

2014-09-22；

2014-11-19

河南省科技廳資助項(xiàng)目(112300410055)

楊明珊(1968-)，女，江西南昌人，鄭州大學(xué)教授，博士，主要從事電磁波傳播，材料的電磁性能方面研究,E-mail:qiuzhi158371@163.com.

1671-6833(2015)01-0101-05

TN011

A

10.3969/j.issn.1671-6833.2015.01.024