能譜漲落統(tǒng)計(jì)特征分析在Logistic混沌序列上的應(yīng)用

肖 琴, 楊會(huì)杰

(1.上海理工大學(xué)管理學(xué)院, 上海 200090； 2.上海應(yīng)用技術(shù)學(xué)院, 上海 201418)

能譜漲落統(tǒng)計(jì)特征分析在Logistic混沌序列上的應(yīng)用

肖 琴1, 2, 楊會(huì)杰1

(1.上海理工大學(xué)管理學(xué)院, 上海 200090； 2.上海應(yīng)用技術(shù)學(xué)院, 上海 201418)

混沌現(xiàn)象普遍存在于現(xiàn)實(shí)生活中, 混沌時(shí)間序列的分析是非線(xiàn)性系統(tǒng)研究的主要內(nèi)容.基于Anderson 模型, 提出了一種新的混沌序列的分析方法. 通過(guò)對(duì)Logistic序列的分析, 使用能譜漲落分析方法, 發(fā)現(xiàn)能級(jí)斥力的大小能與最大Lyapunov指數(shù)相對(duì)應(yīng). 結(jié)果表明, 該方法能較好的預(yù)測(cè)混沌序列, 而且具有較強(qiáng)的抗噪聲的能力, 不受初值敏感性的影響.

混沌序列； 隨機(jī)矩陣?yán)碚摚?能級(jí)間距

1 引 言

混沌系統(tǒng)是由確定性非線(xiàn)性系統(tǒng)產(chǎn)生的,是介于確定和隨機(jī)之間的不規(guī)則運(yùn)動(dòng). 隨著混沌理論研究的不斷深入的發(fā)展,混沌在很多的實(shí)際領(lǐng)域中得到了較為廣泛的應(yīng)用, 如生物醫(yī)學(xué)、自動(dòng)控制和通信等等.混沌時(shí)間序列的識(shí)別是混沌動(dòng)力系統(tǒng)研究中的主要內(nèi)容[1-4].

計(jì)算系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)是判斷一個(gè)系統(tǒng)是否存在混沌的常見(jiàn)的研究方法. 計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)常用的方法有Wolf算法[5]、小數(shù)據(jù)法[6,7]、矩陣算法[8]、混沌同步[9]等. 然而上述這些方法受時(shí)間序列的組成成分、初值、重構(gòu)相空間等的影響非常大, 可能出現(xiàn)大的偏差, 計(jì)算過(guò)程又過(guò)于繁瑣.

判斷系統(tǒng)的混沌性質(zhì)的還有頻譜法[10,11]、非整數(shù)維法[12]、Kolmogorov熵[13]等等方法, 雖然她們都能判斷系統(tǒng)的混沌性質(zhì), 然而不能把混沌的結(jié)構(gòu)表明清楚, 實(shí)現(xiàn)起來(lái)困難, 不易操作. 對(duì)于界于混沌和周期分叉的系統(tǒng)容易出現(xiàn)誤判. 因此, 尋求更加簡(jiǎn)單, 更能揭示混沌系統(tǒng)所蘊(yùn)含的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的方法一直是備受關(guān)注的問(wèn)題之一.

在本文中, 我們使用隨機(jī)矩陣[14,15]的能級(jí)間距分布(NNS)分析方法[16-20], 通過(guò)把Logistic序列映射到Anderson 模型, 研究了對(duì)應(yīng)的模型的能譜漲落統(tǒng)計(jì)特征, 從能譜的角度出發(fā), 通過(guò)能譜的能級(jí)間距分布提取混沌的特性, 發(fā)現(xiàn)能較詳細(xì)的說(shuō)明混沌序列的結(jié)構(gòu). 這種方法具有普適性, 同樣適用于其他的混沌序列. 該方法不受初值的影響.

2 方法與模型建立和求解

2.1 能級(jí)間距的Brody分布

隨機(jī)矩陣?yán)碚摫砻? 哈密頓體系在完全規(guī)則(可積)的情況下, 它的能級(jí)間隔分布(NNS)為Poisson分布. 而混沌體系對(duì)應(yīng)的量子系統(tǒng),它的NNS分布為Wigner分布. 大量的物理體系是這兩極限情形的“混合共存”. Brody分布可用于描述這種情況下能級(jí)間隔統(tǒng)計(jì)的性質(zhì). 其形式為,

fB(s)=β(α+1)sαexp(-βsα+1),

(1)

α為能級(jí)斥力參數(shù),α=0和1時(shí), 上述分布函數(shù)分布蛻變?yōu)镻oisson和Wigner分布函數(shù). Poisson和Wigner分布函數(shù)為:

fp(s)=exp(-s)

fw(s)=(πs)exp(-πs2)

(2)

2.2 模型的建立

我們把時(shí)間序列映射到一維無(wú)序格子, 時(shí)間序列的大小作為能量的大小, 由Anderson模型得到哈密頓矩陣, 通過(guò)分析格子的哈密頓矩陣的能級(jí)間隔特征來(lái)度量時(shí)間序列的結(jié)構(gòu)特征.

我們首先對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行歸一化, 對(duì)于任一個(gè)序列X1,X2,X3,…,Xn, 取

,i=1,2,…,N

(3)

取xmax=max(x1,x2,…xn), 我們得到了新的序列y1,y2,…yn, 其中,yi=xi-xmax.

圖1 新的序列對(duì)應(yīng)于Anderson模型里的能量的無(wú)序變化 Fig. 1 Time series corresponding to the disordered energy of the Anderson model

然后我們把新的序列對(duì)應(yīng)于一維格點(diǎn)的點(diǎn)能量, 這樣就得到了一個(gè)Anderson模型. 它的哈密頓量可寫(xiě)為:

(4)

{ΔEk|k=1,2,…,N-1}

={E2-E1,E3-E2,…,EN-EN-1}

(5)

3 Logistic混沌序列仿真實(shí)驗(yàn)

3.1Logistic方程

我們以L(fǎng)ogistic映射作為混沌的典型例子,來(lái)探索混沌序列的結(jié)構(gòu)性質(zhì).

Logistic方程： Xn+1=λXn(1-Xn)

0≤Xn≤1,0<λ≤4.

(6)

對(duì)于Logistic映射序列, 我們知道: 當(dāng)λ≥3.57時(shí)進(jìn)入混沌狀態(tài), 在實(shí)驗(yàn)中我們?nèi)?.57≤λ≤4, 來(lái)考察隨著λ的增大, 序列由倍周期分叉變成混沌狀態(tài)的反復(fù)變化過(guò)程. 我們先以0.3為初值, 隨著的λ不同大小,產(chǎn)生不同Logistic映射序列. 在實(shí)驗(yàn)中, 我們?yōu)榱耸箤?shí)驗(yàn)不是由特殊情況產(chǎn)生的, 我們每次都做了20次以上的實(shí)驗(yàn), 并且每次實(shí)驗(yàn)的序列取10000-100000不等的長(zhǎng)度大小.

對(duì)于離散Logistic映射序列來(lái)說(shuō), 序列的最大Lyapunov指數(shù)表征序列沿著軌跡的平均發(fā)散張開(kāi)程度, 即對(duì)初始條件的敏感依賴(lài)性. 在不同的狀態(tài)下, 最大Lyapunov指數(shù)可能大于、等于或小于零. 如果最大Lyapunov指數(shù)大于零, 表示運(yùn)動(dòng)軌道在每個(gè)局部都不穩(wěn)定, 相鄰軌道指數(shù)分離, 形成混沌吸引子. 指數(shù)越大, 相鄰軌道指數(shù)分離越快, 長(zhǎng)期的預(yù)測(cè)性越不可能, 因此正的Lyapunov可作為混沌行為的判據(jù). 如果指數(shù)小于零, 表明每次迭代后軌道的差距越來(lái)越小, 對(duì)應(yīng)于各個(gè)周期的運(yùn)動(dòng)狀態(tài). 指數(shù)由負(fù)變正, 表明周期軌道向混沌的轉(zhuǎn)變.其中λ=3.63,3.74,3.83,3.84,3.9等點(diǎn)時(shí), 最大Lyapunov指數(shù)為負(fù)值, 這里我們稱(chēng)之為奇異點(diǎn). 很顯然, 奇異點(diǎn)處的性質(zhì)會(huì)顯著不同于其他的混沌的點(diǎn).

圖2 初值為0.3的Logistic映射序列的最大Lyapunov指數(shù)變化圖, 其中3.57≤λ≤4(以0.005為劃分間隔)Fig. 2 The largest Lyapunov exponent of the Logistic series with the initial value 0.3(in 0.005 divided interval)

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

3.2.1 初值相同, 序列的長(zhǎng)度不同

我們先選取具有相同的初值, 而序列的長(zhǎng)度不同的Logistic映射序列做多次的實(shí)驗(yàn),分別計(jì)算它們的能級(jí)間隔分布的能級(jí)斥力α的分布的情況. 我們發(fā)現(xiàn)結(jié)果與序列的長(zhǎng)度無(wú)關(guān), 都能得到基本一樣的結(jié)果.

對(duì)不同的Logistic映射序列, 圖3中我們?nèi)?.5≤λ≤4計(jì)算得到的能級(jí)間隔分布所對(duì)應(yīng)的能級(jí)斥力參數(shù)α, 結(jié)合Lyapunov指數(shù)圖可以看出,α的變化趨勢(shì)與Lyapunov指數(shù)幾乎相同, 甚至更為細(xì)微.

圖3 初值為0.3的Logistic序列最大Lyapunov指數(shù)與相同初值的Logistic序列的能級(jí)間隔分布的能級(jí)斥力α值的對(duì)應(yīng)圖 Fig. 3 The largest Lyapunov exponent of Logistic series (a) and the corresponding graph of the series NNS level repulsion α (b) with the origin value 0.3

當(dāng)λ大于3.57后, 與Lyapunov指數(shù)相同的是, 在它的奇異點(diǎn)處能級(jí)間距參數(shù)也會(huì)有突然驟降, 我們從圖3中可以看出, α值以臨界值0.7為界, 越接近1越近于Wigner分布, 也說(shuō)明了當(dāng)系統(tǒng)處于完全混沌狀態(tài)時(shí), 能級(jí)間隔關(guān)聯(lián)性較強(qiáng). 因此可以說(shuō)明, 系統(tǒng)能級(jí)間隔的關(guān)聯(lián)性可以反映系統(tǒng)的混沌程度, 關(guān)聯(lián)性越強(qiáng), 混沌程度越強(qiáng).

3.2.2 初值不同的序列

對(duì)于序列具有不同的初值而具有相同的跳躍能的情況, 我們也進(jìn)行了分析. 我們得到了相同的結(jié)論, 如圖4可知, 初值的不同并不影響能級(jí)斥力α與最大Lyapunov指數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系. 從圖像中可以看出, 跳躍能一樣而初值不一樣, 則我們得到的臨界α值相同, 都是0.7.

圖4 初值為0.8的Logistic序列最大Lyapunov指數(shù)與相同初值的Logistic序列的能級(jí)間隔分布的能級(jí)斥力α值的對(duì)應(yīng)圖Fig. 4 The largest Lyapunov exponent of Logistic series (a) and the corresponding graph of the series NNS level repulsion α (b) with the origin value 0.8

3.2.3 具有不同跳躍能的序列

我們進(jìn)一步進(jìn)行分析, 對(duì)于具有不同的初值的Logistic映射序列, 我們同樣也計(jì)算了Lyapunov指數(shù)與系數(shù)α的關(guān)系, 我們得到了相同的結(jié)論, 同樣也有相同的對(duì)應(yīng)關(guān)系. 我們發(fā)現(xiàn), 對(duì)于不同的跳躍能, 所對(duì)應(yīng)的NNS的能級(jí)斥力系數(shù)臨界值α值的高度不同, 而與最大Lyapunov指數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系沒(méi)有改變. 如圖5所示, 在實(shí)驗(yàn)中我們?nèi)√S能為τ=31/2, 得到對(duì)應(yīng)的臨界α值為0.8.

圖5 初值為0.3的Logistic序列最大Lyapunov指數(shù)與跳躍能為τ=31/2的Logistic序列的能級(jí)間隔分布的能級(jí)斥力α值的對(duì)應(yīng)圖Fig. 5 The largest Lyapunov exponent of Logistic series (a) and the corresponding graph of the series NNS level repulsion α (b) with the τ=31/2 jump energy worth

3.2.4Lorenz序列的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

混沌序列Lorenz序列的方程為：

dx(1,1)=10*(x(2)-x(1));

dx(2,1)=x(1)*(30-x(3))-x(2);(7)

dx(3,1)=x(1)*x(2)-8/3*x(3);

我們也取同樣的方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn), 在實(shí)驗(yàn)中取跳躍能為1, 我們得到了以下的一些NNS的能級(jí)斥力α值為表1中的數(shù)據(jù), 從數(shù)據(jù)中可以看出, 他們都要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于臨界值0.7, 可以判斷為混沌系統(tǒng). 另外, 能級(jí)斥力α值接近1, 因此為Winger分布. 對(duì)于混沌序列Lorenz序列其他的參數(shù)的情況, 我們有相同的結(jié)論.

表1 混沌序列Lorenz序列的能級(jí)斥力α值

4 結(jié) 論

本文從隨機(jī)矩陣?yán)碚摮霭l(fā), 推導(dǎo)出了與最大Lyapunov指數(shù)相對(duì)應(yīng)的識(shí)別混沌序列的新的方法. 我們運(yùn)用Anderson模型, 把Logistic序列大小對(duì)應(yīng)于能量的大小, 進(jìn)而得到了相應(yīng)的哈密頓矩陣, 在使用隨機(jī)矩陣的能級(jí)間隔漲落的統(tǒng)計(jì)分布, 得到了能與Lyapunov指數(shù)對(duì)應(yīng)的斥力參數(shù). 對(duì)于不同的跳躍能, 臨界的NNS的能級(jí)斥力參數(shù)α不同. 對(duì)于有不同的初值, 而跳躍能一樣的情況, 這個(gè)臨界值不變. 結(jié)果表明, 本文算法對(duì)初值不敏感, 因此是一種有效簡(jiǎn)單的方法, 對(duì)于我們對(duì)序列的性質(zhì)的分析和探究有一定的作用.

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Spectral analysis approach to chaotic series

XIAO Qin1, 2, YANG Hui-Jie1

(1.Business School, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai 200093, China;2.College of Science, Shanghai Institute Technology, Shanghai 201418, China)

Chaos is ubiquitous in real life. Identification of chaotic time series is the main content of nonlinear field. We map a time series to a 1-dimensional random lattice. By using random matrix theory, we find that the statistical characteristics of level spacing are consistent very well with the Lyapunov exponent behaviors. The results show that the method has strong anti-noise ability and non-initial-state-sensitivity.

Chaotic time series; Random matrix theory; Nearest neighbor level spacing

上海市重點(diǎn)學(xué)科建設(shè)項(xiàng)目(XTKX2012);國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(10975099，10635040);上海市教委創(chuàng)新基金(13YZ072);上海高校特聘教授 (東方學(xué)者)崗位計(jì)劃

肖琴(1976—)，女，漢，博士研究生. E-mail: sunshao3000@163.com

103969/j.issn.1000-0364.2015.10.029

N941

A

1000-0364(2015)05-0891-05

投稿日期:2014-03-04