關(guān)于*-Sylvester矩陣方程的條件數(shù)?

耿 雪，王衛(wèi)國

(中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266100)

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關(guān)于*-Sylvester矩陣方程的條件數(shù)?

耿 雪，王衛(wèi)國

(中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266100)

條件數(shù)反應(yīng)計算問題的解關(guān)于擾動的敏感性，在擾動分析中占有重要地位。本文考慮*-Sylvester矩陣方程，得到混合型條件數(shù)，分量型條件數(shù)，有效條件數(shù)的精確表達式，并給出相應(yīng)的上界估計。數(shù)值實驗表明混合型條件數(shù)，分量型條件數(shù)和有效條件數(shù)能給出更精確上界。

*-Sylvester矩陣方程； 混合型條件數(shù)； 分量型條件數(shù)； 有效條件數(shù)

本文考慮如下*-Sylvester矩陣方程[1]：

AX+X*B*=C,A,B,X∈Cn×n

(1)

其中:*表示轉(zhuǎn)置或共軛轉(zhuǎn)置，當(dāng)*=T時，稱為T-Sylvester矩陣方程。當(dāng)*=H時，稱為H-Sylvester矩陣方程。

條件數(shù)反映計算問題的解關(guān)于數(shù)據(jù)擾動的敏感性，但范數(shù)型條件數(shù)不能很好的反應(yīng)各個元素的擾動情況且沒有很好地利用到數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)。為了反映數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)對條件數(shù)的影響，Gohberg和Koltracht給出了2種結(jié)構(gòu)條件數(shù)：混合型條件數(shù)和分量型條件數(shù)[2]。為了給出更加精確的誤差估計，Diao等給出了廣義Sylvester矩陣方程的有效條件數(shù)的定義[3]。

關(guān)于混合型和分量型條件數(shù)已有很多研究成果。Lin和Wei在文獻[4]中提出了一般Sylvester矩陣方程的混合型條件數(shù)和分量型條件數(shù)。Baboulin M和Dongana J等對線性最小二乘問題的這兩種條件數(shù)做了研究[5]。Lin和Wei[6]及Liu[7]分別研究了非對稱Riccati方程的混合型條件數(shù)和分量型條件數(shù)。對于雙曲QR分解的混合型條件數(shù)和分量型條件數(shù)也由Wang和Hao在文獻[8]中給出。

本文主要研究*-Sylvester矩陣方程的條件數(shù)，分別給出了混合型條件數(shù)，分量型條件數(shù)和有效條件數(shù)，并給出了相應(yīng)的上界估計。數(shù)值算例表明，上述3種條件數(shù)比傳統(tǒng)的范數(shù)型條件數(shù)要小許多。

1 基本概念

設(shè)矩陣

A=[a1,a2,…,an]∈Rn×n，

其中ai∈Rn,i=1,2,…,n。定義拉直運算：

易知

‖vec(A)‖2=‖A‖F(xiàn)‖vec(A)‖∞=‖A‖max

其中‖·‖F(xiàn)是Frobenius范數(shù)，‖·‖max定義為：

‖A‖max=maxi,j|aij|。

關(guān)于Kronecker積，有以下性質(zhì)：

vec(AXB)=(BT?A)vec(X)

(2)

其中|A|為A各個分量的絕對值矩陣。定義混合型與分量型條件數(shù)需要以下定義。

d(A,B)=d(vec(A),vec(B))。

對?ε>0，記B0(a,ε)={x|d(x,a)≤ε}，對于向量值方程：F:Rp→Rq，記Dom(F)為F的定義域。

混合型與分量型條件數(shù)的定義如下：

定義1.1[2]令F:Rp→Rq是定義在開集Dom(F)?Rp上的連續(xù)映射，0?Dom(F)。令a∈Dom(F)且F(a)≠0。

(a)F在點a處的混合型條件數(shù)定義為：

由定義1.1和[9]中引理1，可得下述引理：引理1.2 設(shè)F:Dom(F)→Rq是定義在開集Dom(F)?Rp上的連續(xù)函數(shù)，且0?Dom(F)。假設(shè)a∈Dom(F),且F(a)≠0，F(xiàn)在點a處是Fréchet可導(dǎo)的，則：

Ⅰ：F在點a處的混合型條件數(shù)可定義如下：

(3)

Ⅱ：若F(a)=[f1(a),f2(a),…,fq(a)]的分量fj(a)≠0,j=1,2,…,q，則F在點a處的分量型條件數(shù)定義為：

(4)

其中DF(a)是F在點a處的Fréchet導(dǎo)數(shù)。

注1.3 考慮分量型條件數(shù)及其上界時假設(shè)X中沒有零元素。

注1.4 引理1.2將條件數(shù)的計算轉(zhuǎn)化為尋找|DF(a)||a|的精確表達式，更確切地說是求DF(a)的矩陣表達式。

引理1.5[9]φ(A,f)=A-1f的Fréchet導(dǎo)數(shù)可表示為：

Dφ(A,f)(ΔA,Δf)=-A-1(ΔA)A-1f+A-1(Δf)

(5)

2 *-Sylvester矩陣方程

*-Sylvester矩陣方程的擾動方程如下：

(A+ΔA)(X+ΔX)+(X+ΔX)*(B+ΔB)*=C+ΔC

(6)

其中

‖ΔA‖F(xiàn)≤ε‖A‖F(xiàn),‖ΔB‖F(xiàn)≤ε‖B‖F(xiàn),

‖ΔC‖F(xiàn)≤ε‖C‖F(xiàn)，(0<ε<1)。

〈1〉*=T情形：

AX+XTBT=C

(7)

利用Kronecker積，方程(7)可改寫為：

Pvec(X)=vec(C)

P≡In?A+(B?In)E

(8)

〈2〉*=H情形：

AX+XHBH=C

(9)

矩陣A,B,C,X寫成如下實部與虛部形式：

A=Ar+iAiB=Br+iBi
C=Cr+iCiX=Xr+iXi

方程(9)改寫成以下形式[2]：

(10)

其中：

3 混合型條件數(shù)和分量型條件數(shù)

3.1T-Sylvester方程問題

為了定義混合型條件數(shù)和分量型條件數(shù)，定義以下映射：

(11)

其中X是方程(7)的唯一解。

引理3.1 式(11)中的映射Φ是連續(xù)的且在v=(vec(A)T,vec(BT)T,vec(C)T)T是Fréchet可導(dǎo)的，并且其導(dǎo)數(shù)矩陣為：

DΦ(v)=-P-1((XT?In),(In?XT),-In)

(12)

證明 由方程(8)有：

Φ(v)=vec(X)=

P-1vec(C),P≡In?A+(B?In)E

其中：

Δv=(vec(ΔA)T,vec(ΔBT)T,vec(ΔC)T)T；

由性質(zhì)(2)得：

(In?ΔA+(ΔB?In)E)vec(X)=

(In?ΔA)vec(X)+(ΔB?In)vec(XT)=

vec(ΔAXIn)+vec(InXTΔBT)=

vec(InΔAX)+vec(XTΔBTIn)=

(XT?In)vec(ΔA)+(In?XT)vec(ΔBT)=

從而：

DΦ(v)°(Δv)=

P-1vec(ΔC)=

-P-1((XT?In),(In?XT),-In)(Δv)

則導(dǎo)數(shù)的矩陣表示為：

DΦ(v)=-P-1((XT?In)，(In?XT)，-In)。

證畢

下面的定理給出了方程(7)的混合型條件數(shù)和分量型條件數(shù)的精確表達式及其相應(yīng)的上界估計。

定理3.2 若方程(7)有唯一解X，且P形如(8)，則T-Sylvester矩陣方程(7)的混合型條件數(shù)和分量型條件數(shù)分別為：

mT-SYL(Φ,v)=

‖|P-1(XT?In)|vec(|A|)+|P-1(In?XT)|vec(|BT|)+|P-1|vec(|C|)‖∞/‖X‖max

相應(yīng)的上界估計為：

cT-SYL(Φ,v)≤‖Diag-1(vec|X|)|P-1|‖∞‖|A||X|+|XT||BT|+|C|‖max。

其中Diag-1(a)為以a為對角元的對角矩陣的逆矩陣。

證明 由引理1.2和引理3.1，方程(7)的混合型條件數(shù)為：

其上界為：

mT-SYL(Φ,v)≤

同理，可得方程(7)的分量型條件數(shù)：

其上界估計為：

cT-SYL(Φ,v)≤

‖Diag-1(vec|X|)(|P-1||XT?In|vec(|A|)+|P-1||In?XT|vec(|BT|)+

|P-1|vec(|C|))‖∞≤|Diag-1(vec|X|)|P-1|vec(|A||X|+|XT||BT|+|C|)‖∞≤

‖Diag-1(vec|X|)|P-1|‖∞‖|A||X|+|XT||BT|+|C|‖max

證畢

3.2H-Sylvester方程問題

對方程(10)利用3.1節(jié)方法，可直接得到(9)的混合型條件數(shù)和分量型條件數(shù)。由(10)得：

(13)

其中：

A≡|Ar||Xr|+|Ai||Xi|+

B≡|Ar||Xi|+|Ai||Xr|+

Diag-1(a)為以a為對角元的對角矩陣的逆矩陣。

其中

則：

由A,B,C,X滿足方程(9)，可得：

從而：

故

因此，混合型條件數(shù)和分量型條件數(shù)的上界分別為：

證畢

4 有效條件數(shù)

根據(jù)Diao等[9]給出的Sylvester方程的范數(shù)型條件數(shù)的定義，T-Sylvester方程的范數(shù)型條件數(shù)可定義如下：

(14)

其中：δ1=‖A‖F(xiàn)；δ2=‖B‖F(xiàn)；δ3=‖C‖F(xiàn)；P如(8)所示。為了給出有效條件數(shù)，需要矩陣分離度的定義[3]：

4.1T-Sylvester方程問題

下面給出*=T時的有效條件數(shù)。

定理4.1 對于擾動方程(6)，假設(shè)δ=‖P-1‖2‖ΔP‖2<1，P為(8)中所示，ΔP如引理3.1所示，則擾動界為：

其中

cond(P)=‖P‖2‖P-1‖2；

證明 由擾動方程

AΔX+ΔAX+ΔAΔX+XTΔBT+

ΔXTBT+ΔXTΔBT=ΔC。

得：

AΔX+ΔXTBT=

ΔC-(ΔAX+XTΔBT)-(ΔAΔX+ΔXTΔBT)。

利用Kronecker積，兩邊做按列拉直運算得：

Pvec(ΔX)=

vec(ΔC)-ΔPvec(X)-ΔPvec(ΔX)，

從而

vec(ΔX)=P-1(vec(ΔC)-

ΔPvec(X)-ΔPvec(ΔX))。

兩邊取2-范數(shù)得：

‖ΔX‖F(xiàn)≤‖P-1‖2(‖ΔC‖F(xiàn)+

‖ΔP‖2‖X‖F(xiàn)+‖ΔP‖2‖ΔX‖F(xiàn))。

‖ΔX‖F(xiàn)≤‖P-1‖2‖ΔC‖F(xiàn)+

(1-δ)‖ΔX‖F(xiàn)≤‖P-1‖2‖ΔC‖F(xiàn)+

則：

證畢。

注4.2取δ1，δ2為任意的，δ3=‖C‖F(xiàn)時：

進一步得：

證明 令λmax(·)是一個對稱半正定矩陣的最大特征值，κT-SYL如(14)所示，令

則

即得到

‖P-1‖2≤‖P-1S‖2/‖C‖F(xiàn)。

故

又由‖P-1S‖2≤‖P-1‖2‖S‖2，得：

由

cond(P)=‖P‖2‖P-1‖2=

得

證畢。

4.2H-Sylvester方程問題

*=H情形，對于(10)形式，與上述方法類似，可得如下定理。

定理4.2H-Sylvester方程的范數(shù)型條件數(shù)可定義如下：

其中

進一步得：

5 數(shù)值試驗及結(jié)果

只考慮方程(7)的情況，數(shù)值算例表明本文給出的混合型條件數(shù)，分量型條件數(shù)，有效條件數(shù)與范數(shù)型條件數(shù)的不同。數(shù)值試驗運行于MATLAB 2010b，機器精度為2.2×10-16。

例1 設(shè)

A=Diag(1,2,…,m)+Nm,

X是隨機矩陣，C=AX+XTBT，其中

當(dāng)t=25,m=10時，求得κT-SYL=208.6894，mT-SYL=63.5151，cT-SYL=63.5151?？梢郧宄目吹剑旌闲蜅l件數(shù)和分量型條件數(shù)都比范數(shù)型條件數(shù)小。

例2 設(shè)A，B與例1相同，

可以看出X有零元素，方程沒有分量型條件數(shù)。令m=10，取如下擾動：

ΔA=10-k·(E°A)，

ΔB=10-k·(F°B)，

ΔC=10-k·(G°C)，k=10。其中E,F,G為元素分布在(0,1)上的隨機矩陣，E°A=(eijaij)是Hadamard積。令

γm=‖ΔX‖max/‖X‖max，γk=‖ΔX‖F(xiàn)/‖X‖F(xiàn)，

ε0=min{ε：|ΔA|≤ε|A|，

|ΔB|≤ε|B|，|ΔC|≤ε|C|}，

γk，γm是真實相對誤差，ε1，ε0分別是基于范數(shù)型條件數(shù)和混合型條件數(shù)的線性漸近擾動界。

由表1可知，混合型條件數(shù)給出了更為嚴格的線性擾動界。

6 結(jié)語

本文提出了*-Sylvester方程的混合型條件數(shù)和分量型條件數(shù)，并給出兩種條件數(shù)的上界估計。通過數(shù)值實驗表明這兩種條件數(shù)比范數(shù)型條件數(shù)更有效。同時提出了*-Sylvester方程的有效條件數(shù)，只有方程右端項擾動時，利用有效條件數(shù)可以得到問題擾動界的很好的估計,且此時有效條件數(shù)比范數(shù)條件數(shù)要小。

表1 病態(tài)*-Sylvester方程線性漸近擾動界Table 1 Linear asymptotic bounds for the ill-conditioned *-Sylvester equations

表2 比較真實相對誤差和有效條件數(shù)一階擾動Table 2 The comparison of the true relative errors and the first order perturbation bounds

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AMS Subject Classifications: 65F35； 15A60； 15A12

責(zé)任編輯 陳呈超

On the Condition Numbers for *-Sylvester Matrix Equation

GENG Xue, WANG Wei-Guo

(School of Mathematical Sciences, Ocean University of China, Qingdao 266100, China)

The condition number is a measurement for the sensitivity of solution to the perturbation in the data of a computational problem, it plays an important role in the perturbation analysis. In this paper, we deal with the condition numbers for the *-Sylvester equationAX+B*X*=C,A,B,X∈Cn×n. The explicit expressions of the mixedcondition numbers, componentwise condition numbers， effective condition numbers and their upper bounds are derived respectively. Numerical examples illustrate the sharpness of our perturbation bounds.

*-Sylvester equation; mixed condition numbers; componentwise condition numbers; effective condition numbers

中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費青年教師基金項目(201313009)；山東省自然科學(xué)基金項目(ZR2013AM025)資助

2013-10-19；

2014-06-12

耿 雪(1988-)，女，碩士生。E-mail: snow-qx@126.com

O241.1

A

1672-5174(2015)06-132-07

10.16441/j.cnki.hdxb.20130284