預(yù)應(yīng)力混凝土受彎開裂截面應(yīng)力計(jì)算方法對(duì)比

鄭毅敏 王懷清 趙 勇，*

(1．同濟(jì)大學(xué)建筑工程系，上海200092;2．同濟(jì)大學(xué)建筑設(shè)計(jì)研究院(集團(tuán))有限公司，上海200092)

1 引言

非預(yù)應(yīng)力筋應(yīng)力是混凝土受彎構(gòu)件正截面裂縫寬度驗(yàn)算以及疲勞驗(yàn)算中一項(xiàng)重要計(jì)算內(nèi)容。《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB 50010—2010)［1］(以下簡(jiǎn)稱《規(guī)范》)第7．1．3條給出了預(yù)應(yīng)力混凝土構(gòu)件開裂截面應(yīng)力分析的基本假定，同時(shí)第7．1．4條給出了受拉區(qū)縱向鋼筋等效應(yīng)力的簡(jiǎn)化計(jì)算公式。但對(duì)于受壓區(qū)混凝土法向應(yīng)力圖，二者取法不同，其中第7．1．3 條取為三角形，而第7．1．4 條則取為拋物線形。采用不同受壓區(qū)混凝土法向應(yīng)力圖對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響值得研究，特別是當(dāng)混凝土強(qiáng)度較低或預(yù)應(yīng)力度較大時(shí)，預(yù)應(yīng)力混凝土構(gòu)件在正常使用極限狀態(tài)下受壓區(qū)混凝土進(jìn)入塑性的程度將較大。本文在平截面假定的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了混凝土本構(gòu)模型取為三角形和拋物線形時(shí)非預(yù)應(yīng)力筋應(yīng)力計(jì)算公式，通過算例對(duì)不同算法的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比與分析，并討論了折減彈性模量的取值。

2 計(jì)算方法的建立

2．1 基本假定

《規(guī)范》第7．1．3條對(duì)開裂截面應(yīng)力計(jì)算的基本假定為:① 截面應(yīng)變保持平面;②受壓區(qū)混凝土的法向應(yīng)力圖取為三角形;③不考慮受拉區(qū)混凝土的抗拉強(qiáng)度;④采用換算截面。其中對(duì)第③條、④條假定已為業(yè)界普遍認(rèn)可，但對(duì)第①條、②條仍然存在爭(zhēng)議。

在平均應(yīng)變層面以及受彎承載能力極限狀態(tài)下，正截面符合平截面假定已成共識(shí)，但對(duì)于正常使用極限狀態(tài)下，國(guó)內(nèi)外關(guān)于平截面假定仍存有不同看法。開裂截面的平截面假定是最新一版《規(guī)范》新增的內(nèi)容，《規(guī)范》過往版本并未明確該假定。蘇聯(lián)在20世紀(jì)五六十年代的研究認(rèn)為，開裂截面應(yīng)變不符合平截面假定［2］。而太原理工大學(xué)［3］和中國(guó)建筑科學(xué)研究院［4］通過對(duì)鋼筋混凝土梁和部分預(yù)應(yīng)力梁的疲勞性能試驗(yàn)，得出了可以采用平截面假定計(jì)算受彎構(gòu)件正截面應(yīng)力的結(jié)論。文獻(xiàn)［2］指出:采用平截面假定的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果符合較好，間接論證了平截面假定的成立。美國(guó)規(guī)范 ACI 318［5］、歐洲規(guī)范 EN1992 －1 －1［6］以及模式規(guī)范 MC2010［7］均采納了平截面假定。文獻(xiàn)［8］也采用了平截面假定，但在文獻(xiàn)［9］中推導(dǎo)相關(guān)計(jì)算公式時(shí)未明確提及是否采用了平截面假定。

對(duì)受壓區(qū)混凝土法向應(yīng)力圖的選取主要有兩種模式:

(1)取受壓區(qū)法向應(yīng)力圖為三角形(以下簡(jiǎn)稱“三角形模式”)?！兑?guī)范》第7．1．3條取了三角形模式，但未明確三角形斜率的取值，僅在相應(yīng)條文說明中指出，“計(jì)算換算截面時(shí)，必要時(shí)可考慮混凝土塑性變形對(duì)混凝土彈性模量的影響”。文獻(xiàn)［9］在推導(dǎo)開裂截面應(yīng)力計(jì)算公式時(shí)，也取混凝土法向應(yīng)力圖為三角形，且斜率取為混凝土彈性模量Ec。

(2)考慮混凝土彈塑性的影響取受壓區(qū)法向應(yīng)力圖為拋物線形(以下簡(jiǎn)稱“拋物線模式”)。我國(guó)《公路鋼筋混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土橋涵設(shè)計(jì)規(guī)范》(JTG DT62 －2004)［10］和《水工混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》(SL 191－2008)［11］采用拋物線模型計(jì)算預(yù)應(yīng)力混凝土受彎開裂截面的內(nèi)力臂。文獻(xiàn)［10］在建立開裂截面受拉鋼筋應(yīng)力的近似計(jì)算公式時(shí)，也取拋物線形法向應(yīng)力圖，并通過擬合分析來近似確定內(nèi)力臂，該思路已為《規(guī)范》第7．1．4條所采納。美國(guó)規(guī)范ACI 318［6］對(duì)兩種模式均有提及，但未明確采用何種模式。

2．2 開裂截面應(yīng)力計(jì)算簡(jiǎn)圖

計(jì)算預(yù)應(yīng)力混凝土受彎開裂截面的鋼筋應(yīng)力時(shí)，可將截面視為偏心受壓的鋼筋混凝土截面［9］。此時(shí)，作用于截面的等效壓力 Np0及該力距預(yù)應(yīng)力筋合力點(diǎn)的距離為e—，可按下式計(jì)算:

式中，σpe為預(yù)應(yīng)力筋有效應(yīng)力，np為預(yù)應(yīng)力筋彈性模量Ep與混凝土彈性模量Ec之比，np=Ep/Ec，σpc為由預(yù)加力產(chǎn)生的混凝土法向應(yīng)力，Ac、Ic分別為混凝土換算截面面積和慣性矩，Mk為外彎矩。

根據(jù)平截面假定，可得圖1所示的預(yù)應(yīng)力混凝土受彎開裂矩形截面應(yīng)力計(jì)算簡(jiǎn)圖。圖中，b，h，x，φ分別為截面寬度、高度、受壓區(qū)高度和曲率;x1，x2軸分別為截面形心軸和開裂截面中性軸;Ap，hp，ep，εp，Δσp分別為預(yù)應(yīng)力筋的面積、幾何中心到截面頂部的距離、偏心距、應(yīng)變和應(yīng)力增量;As，hs，εs，σs分別為非預(yù)應(yīng)力筋的面積、幾何中心到截面頂部的距離、應(yīng)變和應(yīng)力;εc，σc分別為頂面混凝土的壓應(yīng)變和壓應(yīng)力;d，z分別為頂面、受拉區(qū)縱筋合力點(diǎn)至混凝土壓應(yīng)力合力作用點(diǎn)的距離。

圖1 開裂截面應(yīng)力計(jì)算簡(jiǎn)圖Fig．1 Calculation diagram of cracked section

2．3 三角形模式下的計(jì)算公式

由圖1(c)，可建立力和力矩平衡方程，經(jīng)整理可得受壓區(qū)高度x的方程［9］:

其中，ns=Es/Ec，Es為非預(yù)應(yīng)力筋的彈性模量。

同時(shí)，可得到εc的計(jì)算公式:

進(jìn)而由圖1(b)，可以建立出 σs、Δσp與 εc的關(guān)系，即:

2．4 拋物線模式下的計(jì)算公式推導(dǎo)

參考《規(guī)范》第6．2．1條關(guān)于正截面極限承載能力計(jì)算假定中受壓區(qū)混凝土法向應(yīng)力模型，對(duì)強(qiáng)度等級(jí)不超過C50的混凝土，其單軸受壓本構(gòu)模型取為二次拋物線，即:

式中，σcc為混凝土壓應(yīng)力;εcc、fck、ε0分別為混凝土軸心抗壓強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值、壓應(yīng)變、受壓彈性極限應(yīng)變，取 ε0=0．002。

由圖1(d)，可建立力和力矩平衡方程，經(jīng)整理可得關(guān)于x和εc方程組:采用數(shù)值分析方法求解上述方程組，并將x和計(jì)算結(jié)果代入式(6)即可求得σs。

2．5 《規(guī)范》簡(jiǎn)化公式

《規(guī)范》第7．1．4條給出預(yù)應(yīng)力混凝土受彎構(gòu)件開裂正截面的受拉縱筋合力點(diǎn)處的等效應(yīng)力σs0計(jì)算的簡(jiǎn)化公式。為便于比較，需將σs0轉(zhuǎn)化成σs和 Δσp，并取受力縱筋合力點(diǎn)有效高度為由圖1(d)可知:

將式(11)、式(12)與式(6)、式(7)聯(lián)立方程組，可以求解出σs和Δσp。

3 算例分析

3．1 算例概況

從10個(gè)預(yù)應(yīng)力工程中選取了20個(gè)框架梁截面，其中非預(yù)應(yīng)力筋均為HRB400級(jí)鋼筋，預(yù)應(yīng)力筋均采用φs15．2鋼絞線，其抗拉強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值fpt，k=1 860 MPa，其他主要截面參數(shù)見表1。利用20個(gè)截面參數(shù)，通過3個(gè)算例對(duì)比不同計(jì)算模式的鋼筋應(yīng)力差異及分析主要的影響參數(shù)。算例1－3中拋物線模式、三角形模式和《規(guī)范》［1］簡(jiǎn)化公式算得的鋼筋應(yīng)力分別記為 σspi，σssi和 σsgi(i=1，2，3)，相對(duì)偏差記為:

表1 算例主要截面參數(shù)Table 1 Main sectional parameters

計(jì)算鋼筋應(yīng)力時(shí)，分別取了 Mk=0．55Mu，Mk=0．65Mu和 Mk=0．75Mu三個(gè)工況，其中，Mu為按照《規(guī)范》［1］第6．2．10 條計(jì)算的受彎承載力。

3．2 算例分析

【算例1】令混凝土強(qiáng)度等級(jí)為 C40，σpe=1 100 MPa。

算例1的計(jì)算結(jié)果如圖2所示，可見:

(1)與 σsp1相比，σss1偏小，δs1在 －14．5% ～－4．1%之間，平均為 －8．5%;

(2)與 σsp1相比，σsg1偏大，δg1在 0 ～42．7%之間，平均為14．7%，且較為離散;

(3)隨著Mk/Mu的增大，δs1沒有明顯變化，δg1有所下降，但離散性仍較高;

(4)δs1和 δg1的差值在 －49．6% ～ －7．6%之間，平均為－22．3%。

因此，根據(jù)《規(guī)范》第7．1．3 條和7．1．4 條計(jì)算的鋼筋應(yīng)力有較大偏差，可能會(huì)影響裂縫寬度或疲勞應(yīng)力驗(yàn)算結(jié)果，建議《規(guī)范》應(yīng)有必要的說明或修正。

圖2 例1計(jì)算結(jié)果Fig．2 Calculation results of example 1

【算例2】令混凝土強(qiáng)度等級(jí)為 C50，σpe=1 100 MPa，以研究混凝土強(qiáng)度等級(jí)對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響。

算例2的計(jì)算結(jié)果如圖3所示，由圖2和圖3可見，在提高混凝土強(qiáng)度后:

(1)與 δs1相比，δs2減小，在 －8．5% ～ －2．3%之間，平均為 －4．5%;

(2)與δg1相比，δg2有所增大，且更為離散，在3．4% ～47．3%之間，平均為18．2%。

因此，當(dāng)混凝土強(qiáng)度較高時(shí)，三角形模式和拋物線模式的計(jì)算結(jié)果差別不大，但《規(guī)范》［1］簡(jiǎn)化公式的結(jié)果會(huì)有較大差別，其適用性值得進(jìn)一步研究。

圖3 例2計(jì)算結(jié)果Fig．3 Calculation results of example 2

【算例3】令混凝土強(qiáng)度等級(jí)為C40，σpe=750 MPa，以研究預(yù)壓力大小對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響。

算例3的計(jì)算結(jié)果如圖4所示，由圖2和圖4可見，隨著預(yù)壓力的降低:

(1)相比 δs1，δg3有所減小，在 － 7．5% ～－3．0%之間，平均為 －4．8%;

(2)相比 δg1，δs3有所減小，離散程度下降，在0 ～16．1%之間，平均為5．7%。

因此，對(duì)于預(yù)壓力較大的情況，采用不同模式的計(jì)算結(jié)果差別不大，但對(duì)于《規(guī)范》簡(jiǎn)化公式所適用的預(yù)壓力范圍值得進(jìn)一步研究。

圖4 例3計(jì)算結(jié)果Fig．4 Calculation results of example 3

4 折減彈性模量法

采用拋物線模式時(shí)，求解相應(yīng)方程組較為困難，而采用三角形模式時(shí)則可用降階法進(jìn)行簡(jiǎn)化計(jì)算［9］。在工程應(yīng)用中，一般采用折減混凝土彈性模量的方法，以考慮混凝土塑性的影響。文獻(xiàn)［12］建議取折減系數(shù)為0．65。

圖5 折減彈性模量法計(jì)算結(jié)果Fig．5 Calculation results with reduced modulus of elasticity

對(duì)于本文的3個(gè)算例，當(dāng)Mk為0．55Mu時(shí)，鋼筋應(yīng)力較小，可以認(rèn)為混凝土基本處于彈性狀態(tài);在 Mk為0．65Mu和0．75Mu兩種工況下(相應(yīng)的 σs≥120 MPa)，當(dāng)取 α =0．65 時(shí)，計(jì)算結(jié)果相對(duì)偏差在 －4．8% ～2．0%之間，平均為 －2%。通過進(jìn)一步計(jì)算得知，當(dāng)取α=0．60時(shí)，相對(duì)偏差在－3．7% ～2．9%之間，平均接近零，其計(jì)算結(jié)果如圖5所示。因此，根據(jù)本文算例結(jié)果，建議取混凝土折減彈性模量為0．6Ec。

5 結(jié)論與建議

對(duì)正常使用極限狀態(tài)下預(yù)應(yīng)力混凝土受彎開裂正截面應(yīng)力，本文通過算例，對(duì)比了按《規(guī)范》第7．1．3 條和第 7．1．4 條規(guī)定計(jì)算的結(jié)果，并對(duì)比了在平截面假定下，三角形模式和拋物線模式計(jì)算結(jié)果的差異。根據(jù)本文算例結(jié)果，得到以下結(jié)論與建議:

(1)采用三角形模式，且斜率為Ec時(shí)，計(jì)算結(jié)果相比采用拋物線模式的偏低，且隨著混凝土強(qiáng)度提高，平均相對(duì)偏差從－8%減小至－5%，隨著預(yù)壓力減小，平均相對(duì)偏差從－8%減小至－5%。

(2)采用《規(guī)范》第7．1．4條簡(jiǎn)化公式，計(jì)算結(jié)果比拋物線模式的偏大，平均相對(duì)偏差為15%，且離散性較大，計(jì)算結(jié)果的離散性和相對(duì)偏差隨著外彎矩的增大而減小，但隨著混凝土強(qiáng)度的提高和有效預(yù)應(yīng)力增大而增大。

(3)對(duì)用于預(yù)應(yīng)力混凝土構(gòu)件裂縫寬度驗(yàn)算的鋼筋應(yīng)力，建議采用拋物線模式計(jì)算，當(dāng)采用三角形模式時(shí)，建議采用折減彈性模量法，根據(jù)本文算例結(jié)果，折減系數(shù)可取為0．6Ec，且有必要對(duì)折減系數(shù)做進(jìn)一步深入研究。

(4)按《規(guī)范》第7．1．3 條和7．1．4 條的計(jì)算結(jié)果可能存在較大差異，建議《規(guī)范》作出必要的說明或修正，特別是對(duì)混凝土強(qiáng)度較高的情況。

致謝 中國(guó)建筑科學(xué)研究院白生翔研究員對(duì)本文提出了寶貴的意見和建議，特在此表示由衷感謝!

［1］ 中華人民共和國(guó)住房和城鄉(xiāng)建設(shè)部．GB 50010—2010混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范［S］．北京:中國(guó)建筑工業(yè)出版社，2010．Ministry of Housing and Urban-Rural Development of the People’s Republic of China．GB 50017—2010 Code for design of concrete structures［S］．Beijing:China Architecture and Building Press，2010．(in Chinese)

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