基于向量式有限元的超高韌性水泥基復(fù)合材料疊合剪力墻非線性分析

劉 松 章紅梅 師振華

(同濟(jì)大學(xué)結(jié)構(gòu)工程與防災(zāi)研究所，上海200092)

1 引言

普通混凝土材料，即普通混凝土材料具有良好的抗壓強(qiáng)度，但其抗拉強(qiáng)度相對較弱，一旦混凝土受拉開裂，其內(nèi)部鋼筋易腐蝕，致使其鋼筋混凝土構(gòu)件性能下降甚至完全失效。為改善混凝土性能，超高韌性水泥基復(fù)合材料應(yīng)運(yùn)而生。超高韌性水泥基復(fù)合材料(UltraHighToughness Cementitious Composites)是當(dāng)前發(fā)展起來的一種復(fù)合混凝土材料，其通過添加短纖維增強(qiáng)材料受拉特性，具有顯著的應(yīng)變硬化特征，開裂時裂縫多且細(xì)密，極限拉應(yīng)變可穩(wěn)定地達(dá)到3%以上［1－2］。超高韌性水泥基復(fù)合材料最早由密歇根大學(xué)的Victor Lee教授和麻省理工學(xué)院的Leung教授基于微觀力學(xué)與斷裂力學(xué)原理，提出材料的基本設(shè)計理念［3］。經(jīng)過不斷發(fā)展，超高韌性水泥基復(fù)合材料已經(jīng)具有優(yōu)良的抗拉性能、較高的應(yīng)變硬化及多裂縫開裂能力。

剪力墻是一種抗震性能優(yōu)良的結(jié)構(gòu)構(gòu)件，但普通混凝土由于受拉強(qiáng)度低，其邊緣混凝土在結(jié)構(gòu)遭受強(qiáng)風(fēng)或地震作用下容易拉裂、壓潰，使得剪力墻構(gòu)件也往往因?yàn)檫吘壔炷恋耐顺龉ぷ鞫鴮?dǎo)致整體構(gòu)件的失效或難于修復(fù)。采用超高韌性混凝土材料替換剪力墻邊緣普通混凝土材料［4］，充分利用超高韌性混凝土抗拉強(qiáng)度高、裂縫分散等特點(diǎn)，可望使剪力墻獲得更高的抗震性能。

向量式力學(xué)是一門依托計算機(jī)技術(shù)而發(fā)展起來的計算科學(xué)的理論，它提供了一套關(guān)于結(jié)構(gòu)分析簡潔明晰的系統(tǒng)理論模式，適合于分析結(jié)構(gòu)的大變形和強(qiáng)非線性行為［5］。本文將基于新型非線性分析有限元理論——向量式有限元，開發(fā)新型板單元進(jìn)行超高韌性混凝土邊緣構(gòu)件剪力墻的強(qiáng)非線性模擬，從而了解超高韌性混凝土疊合剪力墻的非線性行為和抗震性能。

2 向量式有限元板單元相關(guān)概念

2．1 向量式有限元簡介

向量式有限元也稱有限質(zhì)點(diǎn)法，將結(jié)構(gòu)離散成有限個質(zhì)點(diǎn)，利用牛頓第二定律建立控制方程，引入傳統(tǒng)有限元中單元的概念，描述質(zhì)點(diǎn)系的相互作用。向量式有限元有三個核心新概念，即點(diǎn)值描述、途徑單元、虛擬的逆向運(yùn)動［6－7］。

1)點(diǎn)值描述

在空間上，將結(jié)構(gòu)看成質(zhì)點(diǎn)系，質(zhì)點(diǎn)之間采用單元連接，構(gòu)件的連接可設(shè)置連接單元。單元沒有質(zhì)量，用來描述質(zhì)點(diǎn)之間的相互作用力，質(zhì)點(diǎn)受到它周圍單元所施加內(nèi)力，單元內(nèi)力集成到節(jié)點(diǎn)上，即為節(jié)點(diǎn)內(nèi)力，節(jié)點(diǎn)(質(zhì)點(diǎn))在內(nèi)外力作用下的運(yùn)動滿足牛頓力學(xué)第二定律，即

式中，M為質(zhì)量矩陣;Pext表示外力;Pint表示內(nèi)力。

2)途徑單元

將整個運(yùn)動過程劃分為一系列足夠短的時間片段，稱之為途徑單元，在一個途徑單元內(nèi)，單元既有剛體運(yùn)動，也有變形，且運(yùn)動連續(xù)。通過控制途徑單元的大小，可以控制變形為小變形，使得傳統(tǒng)基于小變形假設(shè)的理論能夠適用。運(yùn)動的不連續(xù)僅發(fā)生在途徑單元之間(即途徑單元首末時刻)，而且結(jié)構(gòu)組合和單元特性均可在途徑單元首末時刻改變。

3)虛擬的逆向運(yùn)動

采用虛擬的逆向運(yùn)動，以消除單元剛體位移，獲得單元的純變形，用公式表示，即

式中，Δui是節(jié)點(diǎn)在ta－tb時段內(nèi)的位移;ΔuA是參考點(diǎn)在ta－tb內(nèi)的位移。

向量式有限元對不同的結(jié)構(gòu)形式，包括平面及三維的桁架、鋼架、固體和板殼等，以及復(fù)雜的力學(xué)行為，包括大變形、空間運(yùn)動、材料性質(zhì)的變化、斷裂和坍塌等，都可以用相同的概念和程序來處理。

2．2 向量式有限元二維板單元開發(fā)介紹

向量式有限元板單元的內(nèi)力計算過程和傳統(tǒng)有限元板單元有一些區(qū)別，其內(nèi)力計算過程如下所示［8－10］:

第一步是計算一個途徑單元內(nèi)單元的純變形，通過剛體逆向平動與轉(zhuǎn)動，獲取單元的近似純變形，如圖1所示，單元在 tn到tn+1時刻的純變形為

其中，I是單位對角矩陣，轉(zhuǎn)動矩陣R為

為了提高計算效率，向量式有限元引入新的坐標(biāo)系——變形坐標(biāo)，新的坐標(biāo)系的選取有很多種方法，本文變形坐標(biāo)系取單元節(jié)點(diǎn)1為坐標(biāo)原點(diǎn)，并令X軸平行于節(jié)點(diǎn)2的位移向量。在變形坐標(biāo)系中，單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)與節(jié)點(diǎn)位移為

圖1 單元逆向轉(zhuǎn)動［10］Fig．1 Virtual reverse rotation of element［10］

由有限元理論可知單元應(yīng)變與節(jié)點(diǎn)位移間的關(guān)系:

其中，

最后，單元節(jié)點(diǎn)力采用虛功原理計算獲得

圖2 變形坐標(biāo)［10］Fig．2 Deformation coordinate［10］

3 板單元程序計算流程圖

二維板單元程序計算流程圖如圖3所示。

圖3 計算流程圖Fig．3 The calculation flow chart

程序包含兩個主要部分:前處理和計算求解。前處理包括模型參數(shù)信息讀入和必要的參數(shù)設(shè)置，求解部分包括求解和結(jié)果輸出。必要的參數(shù)主要包括時間參數(shù)的設(shè)定和初始條件的設(shè)定。求解部分由兩層循環(huán)構(gòu)成，最外層是按時間步循環(huán)，第二層循環(huán)包含兩類循環(huán)和一個輸入:點(diǎn)值循環(huán)、單元循環(huán)和外荷載輸入。點(diǎn)循環(huán)先調(diào)用內(nèi)力子程序和外力子程序獲得tn時刻內(nèi)、外力信息，然后利用tn時刻節(jié)點(diǎn)位置信息計算tn+1時刻節(jié)點(diǎn)位置坐標(biāo)。單元循環(huán)利用點(diǎn)循環(huán)計算出的tn和tn+1時刻節(jié)點(diǎn)位置坐標(biāo)，通過虛擬的逆向運(yùn)動計算單元純變形，再利用有限元理論和虛功原理計算單元應(yīng)力應(yīng)變及單元節(jié)點(diǎn)內(nèi)力，然后將單元節(jié)點(diǎn)內(nèi)力集成到與其相連的質(zhì)點(diǎn)上，并把結(jié)果返回給點(diǎn)循環(huán)，為點(diǎn)循環(huán)提供計算質(zhì)點(diǎn)下一時刻位置的內(nèi)力值。在單元循環(huán)中，每一次都要對單元做判斷，如判斷單元是否進(jìn)入塑形，是否發(fā)生失效等，然后進(jìn)行相關(guān)處理，在下一次進(jìn)行單元循環(huán)時必須采用更新后的單元狀態(tài)。判定單元性質(zhì)變化是一個難點(diǎn)，此過程涉及單元失效準(zhǔn)則的選取，以及失效后如何處理，因此需要后續(xù)的開發(fā)。外荷載的輸入由外力子程序完成，可以輸入隨時間變化的外力值。

程序設(shè)計中有兩點(diǎn)需要注意:一是局部坐標(biāo)系的選擇，局部坐標(biāo)系既要能減少單元自由度，同時又要避免出現(xiàn)特殊狀態(tài)致使計算不能進(jìn)行，處理好局部坐標(biāo)系的選擇會大大增加計算的穩(wěn)定性;另一個要注意的問題是本構(gòu)關(guān)系的選取，因?yàn)閮?nèi)力是以增量的形式不斷累積的，所以材料的彈性模量要取切線模量。

向量式有限元是基于動力學(xué)的思想來分析結(jié)構(gòu)行為，計算靜力及擬靜力模型時，為縮短計算時間，可采用按比例增大質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量的方法或者增大阻尼，此方法可極大地減少計算時間，同時不影響結(jié)果的準(zhǔn)確性。在計算動力模型上，向量式有限元的分析過程更加符合真實(shí)結(jié)構(gòu)的行為過程，同時避免了求解結(jié)構(gòu)剛度矩陣。

4 超高韌性水泥基復(fù)合材料剪力墻非線性分析

為了解超高韌性鋼筋混凝土剪力墻的抗震性能，本文選取同濟(jì)大學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室2006年進(jìn)行的剪力墻變參數(shù)低周反復(fù)試驗(yàn)中兩片典型剪力墻進(jìn)行建模計算，并比較分析了邊緣采用超高韌性混凝土材料和普通混凝土材料鋼筋混凝土剪力墻的抗震性能差異。基于剪力墻低周反復(fù)試驗(yàn)的力－位移骨架曲線與其推覆的力－位移曲線基本一致［11］的研究結(jié)論，為簡化計算，本測試中用推覆分析的方法對該試驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦M(jìn)行對比分析。

4．1 鋼筋混凝土剪力墻試驗(yàn)參數(shù)與UHTCC剪力墻設(shè)計參數(shù)

1)鋼筋混凝土剪力墻試驗(yàn)參數(shù)

兩片鋼筋混凝土剪力墻尺寸相同，為1 000 mm×2 000 mm×125 mm，編號分別為SW6－3和SW1－1。剪力墻上下端設(shè)置有頂梁和底梁，頂梁用作加載梁，底梁用以固定試件。剪力墻內(nèi)鋼筋伸入頂梁和底梁內(nèi)，且梁與墻整體澆筑，以保證剪力墻試件和頂梁底梁的有效連接。SW6－3剪力墻所用混凝土設(shè)計為C40，SW1－1剪力墻所用混凝土為C30。剪力墻配筋圖如圖4所示。

圖4 剪力墻配筋詳圖(單位:mm)Fig．4 Reinforcement details of shear walls(Unit:mm)

表1列出了兩片剪力墻詳細(xì)試驗(yàn)參數(shù)。試驗(yàn)測得C30與C40混凝土100×100×300棱柱體抗壓強(qiáng)度分別是 20．70 MPa 和 30．80 MPa［12－13］。

表1 試件試驗(yàn)參數(shù)Table 1 Experimental parameters of specimens

2)UHTCC剪力墻設(shè)計參數(shù)

本文中UHTCC剪力墻采用與普通鋼筋混凝土剪力墻完全尺寸大小及配筋完全一致的設(shè)計方案，配筋詳圖可參看圖5。UHTCC剪力墻只將原剪力墻箍筋約束區(qū)普通混凝土材料替換成超高韌性水泥基復(fù)合材料，其余均不改變，表2給出了UHTCC剪力墻試件的具體設(shè)計參數(shù)，其中混凝土軸心抗壓強(qiáng)度是普通混凝土的取值，具體UHTCC強(qiáng)度的取值參考本構(gòu)關(guān)系模型部分。

表2 UHTCC試件設(shè)計參數(shù)Table 2 Design parameters of UHTCC specimens

4．2 模型建立

4．2．1 剪力墻有限元模型

1)普通剪力墻有限元模型

普通剪力墻有限元模型示意圖如圖5所示，剪力墻有限元模型總共包含353個節(jié)點(diǎn)、306個四邊形二維實(shí)體單元以及466個link單元。因剪力墻兩側(cè)邊緣設(shè)置有箍筋，因此圖中黑色加深部分采用約束混凝土模擬，其余部分為普通混凝土材料，邊緣縱筋及箍筋按照實(shí)際情況采用桿單元建模，混凝土單元與鋼筋單元之間采用共節(jié)點(diǎn)方式連接，未考慮鋼筋與混凝土的粘結(jié)滑移。

圖5 普通剪力墻模型示意圖Fig．5 Sketch of RC wall model

2)UHTCC剪力墻有限元模型

如圖6所示，UHTCC剪力墻除邊緣箍筋約束區(qū)內(nèi)采用UHTCC替代原普通混凝土材料外，其余模型信息與原普通剪力墻模型完全一致。

圖6 UHTCC剪力墻模型示意圖Fig．6 Sketch of UHTCC wall model

3)ABAQUS剪力墻有限元模型

ABAQUS中剪力墻有限元模型，采用實(shí)體單元C3D8R模擬混凝土及UHTCC，混凝土與UHTCC的本構(gòu)關(guān)系都采用彈塑性損傷本構(gòu)關(guān)系模型，本構(gòu)關(guān)系曲線由試驗(yàn)值確定，受壓、受拉應(yīng)力峰值及對應(yīng)應(yīng)變均與VFIFE中取值相同。鋼筋本構(gòu)關(guān)系也采用與VFIFE中完全相同的雙線性強(qiáng)化模型，模擬的邊界條件及加載過程與VFIFE中均相同。ABAQUS的求解器采用standard隱式求解器，與VFIFE的顯示求解是不同的。

4．2．2 本構(gòu)模型

本文中VFIFE的模擬中普通混凝土本構(gòu)關(guān)系模型采用Darwin-Pecknold模型，其等效單軸應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系曲線如圖7所示。此處普通混凝土應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系受壓區(qū)采用Darwin建議曲線，上升段采用Saenz公式，下降段采用直線，殘余應(yīng)力取峰值應(yīng)力的 0．2 倍［14－15］，在受拉區(qū)采用 Hillerborg建議的雙折線模型［16］。

圖7 混凝土本構(gòu)關(guān)系模型Fig．7 Stress－ strain curves of concrete

在剪力墻兩側(cè)各有一個箍筋約束區(qū)，按約束混凝土處理［17］。約束混凝土的特性與普通混凝土有所不同，其受壓時延性與強(qiáng)度都有很大提高，而受拉時無明顯影響。約束混凝土應(yīng)力應(yīng)變?nèi)€與普通混凝土的應(yīng)力應(yīng)變?nèi)€形狀一致，約束混凝土的壓應(yīng)力峰值及屈服應(yīng)變計算公式如下［18－19］:

式中，fcc，εcc為約束混凝土受壓應(yīng)力峰值與屈服應(yīng)變;fc0，εc0為普通混凝土受壓應(yīng)力峰值與屈服應(yīng)變;λv是配箍特征值(λv= ρ fyh/fc0，ρ為體積配箍率，fyh為箍筋屈服強(qiáng)度)。

添加短纖維的超高韌性水泥基復(fù)合材料雖然性能較普通混凝土有所改變，但仍屬于混凝土材料范疇，在選擇UHTCC本構(gòu)模型時，本文仍采用Darwin－Pecknold二維本構(gòu)關(guān)系模型，只在等效單軸應(yīng)力應(yīng)變曲線上發(fā)生改變。相較普通混凝土，UHTCC拉應(yīng)力峰值未有明顯提高，而延性大大增加［20］，受壓應(yīng)力峰值也無明顯影響，屈服應(yīng)變穩(wěn)定在0．005左右，高于普通混凝土的極限壓應(yīng)變值［21－22］。本文對UHTCC本構(gòu)關(guān)系的選取如圖7虛線所示，受拉區(qū)取理想彈塑性模型，拉應(yīng)力峰值對應(yīng)的應(yīng)變與約束混凝土相同，其極限拉應(yīng)變?nèi)?．03?？紤]到UHTCC材料的特性與邊緣箍筋的約束作用，有關(guān)混凝土材料的本構(gòu)關(guān)系取值列于表3中。其中，混凝土受拉應(yīng)力應(yīng)變參數(shù)參考《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》(GB 50010—2010)［23］。

表3 混凝土參數(shù)Table 3 Parameters of Concrete

因UHTCC材料種類眾多，受力性能差別很大，本文的UHTCC剪力墻是在原剪力墻的基礎(chǔ)上改進(jìn)而來，無具體的 UHTCC，僅模擬研究UHTCC對剪力墻性能的一般影響。根據(jù)超高韌性材料的有關(guān)實(shí)驗(yàn)研究，本文的UHTCC本構(gòu)關(guān)系曲線不改變受拉及受壓峰值應(yīng)力，只對其受壓屈服應(yīng)變及受拉開裂后的特性進(jìn)行改變。這體現(xiàn)了UHTCC的主要力學(xué)性能特征，因此是合理的。

鋼筋本構(gòu)關(guān)系采用雙折線強(qiáng)化模型，強(qiáng)化段切線模量取初始模量的1%，未考慮鋼筋斷裂情況，所有鋼筋的屈服應(yīng)力及應(yīng)變?nèi)≈狄捕荚诒?中詳細(xì)說明。

表4 鋼筋材料參數(shù)Table 4 Parameters of reinforcement

4．2．3 模擬結(jié)果

圖8和圖9分別給出了兩種型號的普通混凝土剪力墻與超高韌性水泥基復(fù)合材料剪力墻側(cè)向承載力試驗(yàn)曲線以及VFIFE和ABAQUS的模擬曲線。從兩張圖中可以看到，VFIFE與ABAQUS在彈性段對剪力墻側(cè)向承載力的計算結(jié)果與試驗(yàn)曲線基本符合。在非線性階段，VFIFE對剪力墻的模擬結(jié)果與試驗(yàn)曲線較為一致，相較ABAQUS，VFIFE模擬剪力墻側(cè)向承載力的下降段更為平緩。顯然，在彈性段，VFIFE和 ABAQUS有同樣優(yōu)異的表現(xiàn)，而在線性階段，VFIFE對剪力墻的模擬稍好于ABAQUS。

圖8 SW1－1和SWU1－1側(cè)向承載力曲線Fig．8 Lateral bearing capacity of SW1 －1 and SWU1－1 wall

圖9 SW6－3和SWU6－3側(cè)向承載力曲線Fig．9 Lateral bearing capacity of SW6 －3 and SWU6－3 walls

從VFIFE和ABAQUS對超高韌性水泥基復(fù)合材料對剪力墻的模擬結(jié)果中可知，將原墻兩側(cè)暗柱部分替換成超高韌性水泥基復(fù)合材料后，SWU1－1的承載力有比較明顯的增加，而延性變化并不明顯。SWU6－3的延性有比較明顯的增加，承載力稍微有一些增加。由此可以看出，不同軸壓力下，把剪力墻邊緣替換成UHTCC材料對剪力墻的影響也不同，在軸壓力較低時，剪力墻的承載力提升較為明顯，而高軸壓力時，對剪力墻的延性提升更為突出。

圖10(a)和圖10(b)是普通剪力墻在頂部側(cè)向位移為15 mm時的Mises應(yīng)力云圖，剪力墻側(cè)向位移15 mm時，其側(cè)向承載力在峰值點(diǎn)偏右一點(diǎn)，可以明顯看到剪力墻開裂區(qū)域及高應(yīng)力區(qū)域。從應(yīng)力云圖可以看出，左側(cè)區(qū)域大面積開裂，裂縫區(qū)域斜向下發(fā)展，右下角區(qū)域受壓破壞，與實(shí)際情況基本一致。圖10(c)和圖10(d)分別是相同點(diǎn)的的兩片UHTCC剪力墻Mises應(yīng)力云圖，和普通剪力墻Mises應(yīng)力云圖相比，兩片UHTCC剪力墻的受拉開裂區(qū)域明顯增大，右下角受壓高應(yīng)力區(qū)域減小，破壞區(qū)域減少。這說明，UHTCC剪力墻的裂縫更多，裂縫平均寬度也更小。

圖10 頂端側(cè)向位移15 mm時剪力墻Mises應(yīng)力云圖(單位:N/m2)Fig．10 Mises stress contour of walls at 15 mm(N/m2)

5 分析結(jié)果與討論

由普通剪力墻與UHTCC剪力墻的模擬結(jié)果對比分析可知:

(1)在破壞模式上，采用超高韌性水泥基復(fù)合材料后，總體破壞模式并未發(fā)生非常大的改變，但剪力墻總體應(yīng)力分布有所改變，受壓高應(yīng)力區(qū)域面積有所減少，破壞面積也相應(yīng)減少。

(2)在抗側(cè)承載力方面，新材料提升作用并不明顯，這與UHTCC材料的本構(gòu)關(guān)系設(shè)定有關(guān)(不改變受拉、受壓應(yīng)力峰值)。在原鋼筋混凝土剪力墻承載力開始下降時，UHTCC剪力墻側(cè)向承載力未出現(xiàn)明顯下降，下降速率緩慢，變形有持續(xù)增加的趨勢，由此說明UHTCC剪力墻后期工作性能有較大改善，延性增強(qiáng)，塑性變形能力增強(qiáng)，抗震性能更加優(yōu)異。

(3)在受拉裂縫開展模式方面，UHTCC剪力墻受拉開裂區(qū)域增大，裂縫數(shù)量增多增密，裂縫平均寬度減小。

由ABAQUS和VFIFE的模擬結(jié)果對比分析可知，在彈性段，兩者表現(xiàn)一致，都能很好地模擬剪力墻承載力－位移曲線彈性段，而在非線性階段，VFIFE模擬結(jié)果要更加貼近試驗(yàn)曲線。

6 結(jié)論

本文簡單介紹了向量式理論及向量式有限元板單元程序編制過程，利用自開發(fā)程序VFIFE以及ABAQUS，對比分析了普通鋼筋混凝土剪力墻與超高韌性水泥基復(fù)合材料剪力墻擬靜力推覆過程，并與試驗(yàn)值作以比較，由此得出如下幾個結(jié)論:

(1)向量式有限元在模擬混凝土剪力墻的非線性行為時能夠取得與試驗(yàn)結(jié)果較為一致的結(jié)果。

(2)UHTCC剪力墻的剛度降低并不明顯，并且開裂后期的工作性能得到有效改善，低軸壓力時，剪力墻的承載力提升作用明顯，而高軸壓力時，剪力延性提升作用更加突出。

(3)超高韌性水泥基復(fù)合材料剪力墻的受拉開裂區(qū)域增大，裂縫更加細(xì)密。

超高韌性水泥復(fù)合材料的彈性模量比一般混凝土材料都要低很多，應(yīng)力峰值一般都有較大程度的提高，本文中對超高韌性水泥基復(fù)合材料本構(gòu)關(guān)系的選取仍有很多不足，其初始彈性模量、應(yīng)力－應(yīng)變曲線、損傷量的計算等需要更好的考慮。UHTCC總體是偏軟的，延性遠(yuǎn)好于普通混凝土材料，采用UHTCC替換剪力墻兩側(cè)暗柱，在保證剪力墻的剛度情況下，改善剪力墻后期工作性能，增強(qiáng)了剪力墻的延性，提升了剪力墻構(gòu)件的抗震性能，因此具有良好的應(yīng)用前景。

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