一個(gè)能量輸運(yùn)穩(wěn)態(tài)模型弱解的存在性

董建偉, 周永衛(wèi)

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 數(shù)理系, 鄭州 450015)

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一個(gè)能量輸運(yùn)穩(wěn)態(tài)模型弱解的存在性

董建偉*, 周永衛(wèi)

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 數(shù)理系, 鄭州 450015)

考慮一個(gè)簡化的半導(dǎo)體能量輸運(yùn)穩(wěn)態(tài)模型.在Dirichlet-Neumann混合邊界條件下,利用截?cái)喾椒ê蚅eray-Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理得到了其模型弱解的存在性.研究結(jié)果表明,即使熱導(dǎo)率與電子溫度有關(guān),如果歐姆聯(lián)結(jié)部分的電子密度是正的,則半導(dǎo)體器件內(nèi)部的電子密度也是正的.

能量輸運(yùn)模型; 穩(wěn)態(tài)解; 存在性

1 主要結(jié)果

漂移-擴(kuò)散模型、能量輸運(yùn)模型和流體動(dòng)力學(xué)模型是描述亞微半導(dǎo)體器件中載流子運(yùn)動(dòng)規(guī)律的三大類宏觀模型. 它們通過宏觀量例如載流子密度、電流密度、載流子溫度和電位勢來描述半導(dǎo)體器件的宏觀性質(zhì). 由于漂移-擴(kuò)散模型未考慮熱電子效應(yīng),在半導(dǎo)體器件的模擬中會(huì)給出不準(zhǔn)確的結(jié)果,而完整的流體動(dòng)力學(xué)模型形式過于復(fù)雜,不便于進(jìn)行數(shù)值模擬,于是許多數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家開始轉(zhuǎn)向研究能量輸運(yùn)模型. 最近,Jungel等人考慮了一個(gè)簡化的能量輸運(yùn)模型[1]:

nt-div((nθ)+nV)=0,

(1)

(2)

-λ2ΔV=n-C(x),x∈Ω,t>0,

(3)

其中,電子密度n、電子溫度θ和電位勢V為未知函數(shù);μ(n,θ),θL(x)分別表示熱導(dǎo)率與晶格溫度;C(x)稱為摻雜函數(shù),用來描述摻雜物質(zhì)正離子的密度結(jié)構(gòu);τ,λ>0分別表示能量弛豫時(shí)間和標(biāo)度的德拜長度;Ω?Rd(d=1,2,3)為半導(dǎo)體器件所占據(jù)的有界區(qū)域.模型(1)～(3)可以從流體動(dòng)力學(xué)方程組中出,詳情見文獻(xiàn)[1].

文獻(xiàn)[1]在Dirichlet-Neumann混合邊界條件下得到了模型(1)～(3)弱解的整體存在性,但由于技巧原因,他們所取的熱導(dǎo)率μ(n,θ)僅僅依賴于電子密度n,這并不十分符合物理實(shí)際. 在半導(dǎo)體器件模型中,熱導(dǎo)率不僅與電子密度有關(guān),往往也與電子溫度有關(guān),例如文獻(xiàn)[2-3]中都取熱導(dǎo)率μ(n,θ)=nθ.

本文將在μ(n,θ)=nθ的情形下研究模型(1)～(3)的穩(wěn)態(tài)方程組:

-div(θn)=div(n(θ+V)),

(4)

(5)

-λ2ΔV=n-C(x),x∈Ω.

(6)

假設(shè)區(qū)域Ω的邊界?Ω∈C0,1,?Ω=ΓD∪ΓN,ΓD∩ΓN=?,ΓN是閉集,ΓD的d-1維Lebesgue測度是正的,即measd-1ΓD>0.ΓD表示半導(dǎo)體器件的歐姆聯(lián)結(jié)部分,ΓN表示絕緣邊界部分. 于是,提出如下邊界條件:

n=nD,θ=θD,V=VD,x∈ΓD,

(7)

n·ν=θ·ν=V·ν=0,x∈ΓN,

(8)

其中,ν表示?Ω上的單位外法向量.

主要結(jié)果敘述如下:

注1Jungel等人還提出了一個(gè)帶量子項(xiàng)的簡化能量輸運(yùn)模型,關(guān)于這方面的研究結(jié)果可以參考文獻(xiàn)[4-6].

2 結(jié)果的證明

由于(4)、(5)兩個(gè)方程都是退化的,所以考慮如下截?cái)鄦栴}:

-div(θm,Mn)=div(nk,K(θ+V)),

(9)

(10)

-λ2ΔV=nK-C(x),x∈Ω,

(11)

其中,

nK=max{0,min{K,n}},

nk,K=max{k,min{K,n}},

θm,M=max{m,min{M,θ}},

k,K,m,M的定義見定理1.

定理1的證明需要如下引理1:

引理1設(shè)定理1中的條件成立,且(n,θ,V)∈(H1(Ω))3是問題(9)～(11),(7),(8)的解,則

‖θ‖H1(Ω)≤C1,‖V‖H1(Ω)≤C2,‖n‖H1(Ω)≤C3,

且00僅可以與nD,θD,VD,θL(x),C(x)及Ω,d有關(guān).

其中,|Ω|表示Ω的Lebesgue測度,所以存在常數(shù)C1>0,使‖θ‖H1(Ω)≤C1.

(12)

由帶ε的Young不等式和Poincare不等式知

(13)

所以再由‖θ‖H1(Ω)≤C1及‖V‖H1(Ω)≤C2知,存在常數(shù)C3>0,使‖n‖H1(Ω)≤C3.

的唯一解,并設(shè)θ∈H1(Ω)是問題

的唯一解,其中,σ∈[0,1]. 則不動(dòng)點(diǎn)算子

V0=VD,x∈ΓD,V0·ν=0,x∈ΓN,

θ0=σ0θD,x∈ΓD,θ0·ν=0,x∈ΓN,

-div(θ0m,M(θ0+V0)),x∈Ω,

n0=σ0nD,x∈ΓD,n0·ν=0,x∈ΓN

的解,所以T連續(xù).從而由Leray-Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理知,問題(9)～(11),(7),(8)存在解(n,θ,V)∈(H1(Ω))3.又因?yàn)閗≤n≤K,m≤θ≤M,所以nk,K=n,nK=n,θm,M=θ,從而問題(9)～(11),(7),(8)的解也是問題(4)～(8)的解. 證畢.

[1]JungelA,PinnauR,RohrigE.Existenceanalysisforasimplifiedenergy-transportmodelforsemiconductors[J].MathematicalMethodsintheAppliedSciences, 2013, 36(13): 1701-1702.

[2]GardnerC.Thequantumhydrodynamicmodelforsemiconductordevices[J].SIAMJournalonAppliedMathematics, 1994, 54: 409-427.

[3]JungelA,MatthesD,MiliusicJP.Derivationofnewquantumhydrodynamicequationsusingentropyminimization[J].SIAMJournalonAppliedMathematics, 2006, 67: 46-68.

[4]JungelA,MiliusicJP.Asimplifiedquantumenergy-transportmodelforsemiconductors[J].NonlinearAnalysis:RealWorldApplications, 2011, 12: 1033-1046.

[5]ChenLi,ChenXiuqing,JungelA.Semiclassicallimitinasimplifiedquantumenergy-transportmodelforsemiconductors[J].KineticandRelatedModels, 2011, 4: 1049-1062.

[6]DongJianwei,ZhangYoulin,ChengShaohua.Existenceofclassicalsolutionstoastationarysimplifiedquantumenergy-transportmodelin1-dimensionalspace[J].ChineseAnnalsofMathematics,SeriesB, 2013, 34(5): 691-696.

Existence of weak solutions to a stationary energy-transport model

DONG Jianwei, ZHOU Yongwei

(Department of Mathematics and Physics, Zhengzhou Institute of Aeronautical Industry Management, Zhengzhou 450015)

A simplified stationary energy-transport model for semiconductors is considered. Under the mixed Dirichlet-Neumann boundary conditions, the existence of weak solutions to the model is obtained by using the truncation method and the Leray-Schauder fixed-point theorem. It is shown that, although the thermal conductivity depends on the electron density, the electron density stays positive in the semiconductor device if it is positive on the parts of Ohmic contacts.

energy-transport model; stationary solution; existence

2014-09-19.

河南省科技廳基礎(chǔ)與前沿技術(shù)研究計(jì)劃項(xiàng)目 (132300410373);河南省教育廳科學(xué)技術(shù)研究重點(diǎn)項(xiàng)目(12A110024);鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院青年科研基金項(xiàng)目(2013111001).

1000-1190(2015)02-0179-03

O175.2

A

*E-mail: dongjianweiccm@163.com.