邊界點選取對蒙古地磁場球冠諧和模型精度的影響

馮麗麗 高孟潭 陳 斌

（中國北京100081中國地震局地球物理研究所）

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邊界點選取對蒙古地磁場球冠諧和模型精度的影響

（中國北京100081中國地震局地球物理研究所）

中國地震局地球物理研究所與蒙古科學院天文與地球物理研究中心于2011—2012年合作開展了蒙古119個野外地磁測點的測量工作． 本文利用蒙古119個測點準確可靠的地磁數(shù)據(jù)， 分別加上9組邊界點EMM2010模型計算值， 得到了蒙古2010.0年代地磁異常場的9個球冠諧和模型； 給出了地磁異常場北向分量ΔX、 東向分量ΔY和垂向分量ΔZ的等值線分布圖， 并比較分析了這9個模型的異同； 同時計算了119個測點的地磁測量值與模型計算值之差的均方根誤差σ， 以σ為指標來表征這9個模型的精度， 由此定量評價了邊界點選取對模型精度的影響． 結果表明， 適當引入邊界點能夠提高模型精度， 而遠離測區(qū)3°—5°的均勻邊界點也能起到改善模型精度的作用． 因此在實際建模時， 應當在計算區(qū)域邊界引入適當?shù)倪吔琰c， 以改善地磁模型的精度．

地磁測量 邊界點 球冠諧和 地磁模型精度 蒙古 均方根誤差

引言

地磁場是地球系統(tǒng)的基本物理場， 具有非常復雜的空間分布和時間變化． 一直以來， 地磁學家都在尋求適當?shù)臄?shù)學方法描述地磁場的時空分布， 即地磁場建模， 以期用有限的離散的地磁測量值推斷一定區(qū)域內(nèi)的地磁場分布（安振昌， 2000； 徐文耀等， 2011a）． 影響地磁模型精度的因素主要有兩方面： 一是所使用的數(shù)學方法， 二是模型的定解條件． 針對研究區(qū)域的范圍及所需要的模型精度， 選取適當?shù)臄?shù)學方法非常必要． 1839年， 高斯將球諧分析的數(shù)學方法用于地磁場研究中， 為近代地磁學的發(fā)展奠定了基礎． 絕大部分全球地磁場模型是基于球諧分析的方法建立的（Thébaultetal， 2010）， 如第11代國際地磁參考場（IGRF-11）（International Association of Geomagnetism and Aeronomy， Working Group V-MOD， 2010）等、 MF6模型（Mausetal， 2008）、 Pomme6模型（Mausetal， 2010）和NGDC720模型（Maus， 2010）等． 而在建立局域地磁場模型時， 球諧分析方法已不再適用． 區(qū)域地磁場模型計算中， 常用純數(shù)值擬合方法， 如勒讓德函數(shù)擬合（區(qū)家明等， 2012）、 樣條函數(shù)擬合（Harder， Desmarais， 1972）和泰勒函數(shù)擬合（喬玉坤等， 2008； 趙建虎等， 2009）等． 這類方法計算簡單、 使用方便， 但不滿足地磁場位勢理論的物理限制， 不能給出地磁場的三維結構． 計算區(qū)域模型的另一類重要方法是基于球諧分析的區(qū)域地磁場建模方法， 如矩諧分析（Alldredge， 1981）、 球冠諧和分析（Haines， 1985）和修正球冠諧和分析（Thébaultetal， 1985; Ouetal， 2013）等． 根據(jù)安振昌（1993）、 陳斌（2013）等的研究， 發(fā)現(xiàn)球冠諧和分析方法具備以下優(yōu)點： 滿足地磁場的位勢理論； 可以表示地磁場的三維結構； 由于地磁場模型來自統(tǒng)一的拉普拉斯方程， 因而各個要素的分布不會出現(xiàn)自相矛盾的現(xiàn)象． 因此本文采用球冠諧和分析方法計算蒙古的地磁異常場模型．

定解條件指模型計算時所使用的數(shù)據(jù)， 其對模型精度有重大影響（高金田等， 2006; 顧左文等， 2006）． 理想情況下， 地磁測點應以一定的密度均勻地覆蓋整個定解域（如整個球冠）． 然而受地理條件、 交通及國界的制約， 往往只能得到部分區(qū)域的地磁數(shù)據(jù)． 在測量覆蓋區(qū)域邊界附近， 由于缺乏有效的數(shù)據(jù)控制， 模型計算得到的結果往往與真實地磁場分布存在較大的誤差， 即存在邊界畸變（譚斌， 林春生， 2010； 徐文耀等， 2011b）． 受地磁場的位場性質約束， 測區(qū)內(nèi)的磁場分布也會受到影響， 使模型精度降低． 在利用有限的測量數(shù)據(jù)進行模型計算時， 常在測區(qū)以外均勻地插入虛擬測點， 并將虛擬測點的全球模型計算值作為補充定解條件． 這種方法能夠使測區(qū)邊界磁場與測區(qū)外磁場接軌， 改善邊界畸變， 保證一定的模型精度．

本文以IGRF-11模型作為地磁正常場， 對測量值作適當處理后與該模型相減， 將剩余部分作為蒙古地磁異常場， 計算蒙古地磁異常場球冠諧和（spherical cap harmonic， 簡寫為SCH）模型； 重點討論不同的虛擬邊界點選取對區(qū)域磁場分布及模型精度的影響， 并對其影響程度進行定量分析．

1 蒙古磁測數(shù)據(jù)

中國地震局地球物理研究所和蒙古科學院天文與地球物理研究中心于2011—2012年在蒙古境內(nèi)共同完成了119個野外測點的三分量（總強度F， 偏角D， 傾角I）地磁測量． 其測點分布如圖1所示． 該測點空間覆蓋范圍為（43.3°N—50.9°N、 88.6°E—115.7°E）， 平均測點間距為100 km左右．

圖1 蒙古野外測點分布及算例1—8的邊界點分布

在地磁測量中， 使用G-856質子旋進磁力儀 （分辨率為0.1 nT， 精度為0.5 nT） 測量F; CTM-DI磁力儀（分辨率為0.1′， 精度為0.2′）測量D與I； 差分GPS儀（水平的定位精度為 10 mm+1 μm， 垂直的定位精度為 5 mm+1 μm， 測量方位角的精度為0.2′）測量地磁測點的地理方位角、 經(jīng)度、 緯度和海拔高度（Guetal， 2006a， b）. 各測點磁測數(shù)據(jù)通化后的均方差為F優(yōu)于1.5 nT，I和D優(yōu)于0.5′． 中蒙合作開展的地磁觀測， 獲得了準確可靠的地磁數(shù)據(jù)．

地表地磁測量值包含全部的地磁場成分， 即地磁內(nèi)源場和地磁外源場． 其中地磁外源場包括磁層磁場和電離層磁場， 以及兩者的感應磁場． 要研究地殼場（異常場）部分， 需要將混在一起的其它成分逐一扣除．

1.1 地磁外源場剝離

感應磁場和磁層磁場的主要成分為數(shù)百秒乃至更短周期內(nèi)的快速變化． 蒙古119個野外地磁測點所采用的地磁測量模式為： 取數(shù)百秒內(nèi)的地磁總強度的平均值作為地磁總強度的測量值. 因此， 該測量值中感應磁場和磁層磁場的成分是可以忽略不計的．

利用鄰近臺站的連續(xù)觀測數(shù)據(jù)， 將測量值統(tǒng)一歸算到日變化通化日（靜日）0:00—3:00（北京時）． 這一步驟可以基本消除電離層磁場成分， 稱為日變化改正．

1.2 主磁場剝離

為了得到地磁異常， 還需要剝離主磁場成分． 由于不同測點測量時間跨度較大， 主磁場的長期變化必須同時考慮． IGRF-11提供了2010年代主磁場模型以及2010—2015年代地磁場長期變化模型的1—13階球諧系數(shù). 利用這些系數(shù)能夠計算得到地表測點處的主磁場及其長期變化． 通過計算2010.0至日變化通化零日的長期變化值， 并將其從日變化改正結果中扣除， 剩余的部分即為統(tǒng)一歸算至2010年1月1日的地磁內(nèi)源場成分． 再從中減去IGRF-11模型計算值， 即可得到測點處的地磁異常．

1.3 刪點

在計算蒙古地磁異常場球冠諧和模型時， 為了更好地體現(xiàn)地磁場的趨勢分布， 需要刪除地磁異常較大的測點（安振昌， 1993）． 本文選取的刪除標準為ΔX=Xob-XIGRF≥500 nT或ΔY=Yob-YIGRF≥500 nT或ΔZ=Zob-ZIGRF≥500 nT. 其中Xob，Yob和Zob為歸算到2010年1月1日的地磁內(nèi)源場值；XIGRF，YIGRF和ZIGRF為根據(jù)IGRF-11 計算的2010年1月1日測點的理論值； ΔX， ΔY和ΔZ為磁異常值（或稱剩余磁場值）． 根據(jù)這一標準共刪除了9個地磁測點的資料．

1.4 EMM2010邊界點

本文旨在研究在計算邊界附近插入邊界點對模型精度的影響． 由于邊界點并沒有實測數(shù)據(jù)， 因此需要利用已有的地磁場模型計算邊界點處的理論值． 本文選擇EMM2010模型計算邊界點處的理論磁場值． EMM2010模型包含1—720階球諧函數(shù)， 能夠計算地表任一點的主磁場及地殼磁場， 是目前計算地磁內(nèi)源場精度最高的地磁模型． 利用EMM2010模型計算得到了邊界點處的2010.0年代地磁場要素值． 將下面算例1—9中給出的邊界點以及119個蒙古測點共同作為地磁異常場SCH模型的定解條件進行計算．

2 方法

2.1 球冠諧和分析

地磁場的球冠諧和分析是由Haines（1985）提出的區(qū)域地磁場分析方法， 主要用于研究地球某一區(qū)域的地磁場空間分布． 球冠諧和理論用下式描述地磁異常場的空間分布（安振昌， 2003）：

（1）

計算SCH模型時， 應確定球冠極點的位置和球冠半角的大?。?一般取球冠極點位于觀測區(qū)域的中心， 球冠半角應保證球冠的大小能恰好覆蓋全部地磁測點． 計算蒙古的參考地磁場模型時， 只需計算出地磁異常場的SCH模型， 并與IGRF模型計算值相加即可．

2.2 邊界點選取

本文共選取9組邊界點， 計算其相應的球冠諧和模型， 分別記為算例1—9， 并計算了9種情況下的蒙古（42°N—52°N、 89°E—116°E）地磁異常場SCH模型． 邊界點大多沿矩形區(qū)域邊緣分布， 平均每5°—6°一個點． 這些邊界點與測區(qū)距離最近的約為1°， 最遠的約為5°． 表1列出了算例1—9的邊界點信息， 具體的測點位置分布示于圖1． 其中算例1—4有重合點， 將在等值線圖中進一步標明．

表1 邊界點信息Table 1 Information of boundary points

邊界點的作用是對邊界附近的地磁場進行一定的約束． 若引入過多， 則會降低真實測值的權重， 從而影響地磁模型的精度； 而引入過少則無法起到改善模型精度的作用． 因此， 加入邊界點后， 整體的測點密度應與實際的測點密度保持一致． 按照這一原則， 算例1共取16個邊界點， 每個邊界點與測區(qū)內(nèi)點的最近距離約為1°， 從而接近真實測點的平均密度． 其中研究區(qū)域南部邊界與北部邊界各6個點， 平均間隔5.5°； 西部邊界1個點， 以補充西部邊界南段的巨大空白； 此外在研究區(qū)域內(nèi)缺少測點的區(qū)域適當補充了3個內(nèi)部控制點． 算例2刪除了算例1中3個內(nèi)部控制點， 保留了邊界上的13個點， 以分析內(nèi)部控制點對模型精度的影響． 算例3在算例1中隨機選取了8個點， 邊界點密度顯著降低， 以研究不同邊界點分布對模型精度的影響． 算例4在南部邊界與北部邊界各保留了3個點， 點間隔約為10°， 邊界點密度進一步降低， 但其分布較算例3均勻． 算例1—4作為一組， 主要目的是對比邊界點選取的位置和密度對模型精度的影響．

算例5—8作為一組, 分別對邊界點進行了不同程度的外擴， 但點間隔盡量與算例1保持一致． 其中外擴尺度最大的算例8將邊界點外擴了5°左右， 該距離幾乎與測區(qū)南北向寬度相當． 該組主要用于對比邊界外擴對模型精度的影響． 算例9單獨為一組， 作為不加任何邊界點的情況， 用于與其它模型進行對比分析．

2.3 均方根計算

均方根能夠反映出一組數(shù)的離散程度． 由地磁模型值與地磁測量值之差計算的均方根， 能夠定量地反映地磁模型值與真實值的偏離程度． 若模型值與真實值相等， 則均方根為零； 模型值偏離真實值越大， 則均方根也越大． 本文將算例1—9中給出的邊界點作為補充定解條件， 計算了9種情況下測點處的模型值與真實值之差的均方根， 并將該均方根值作為定量評價模型精度高低的標準．

3 計算結果及分析

根據(jù)野外測點的分布范圍， 并按照“球冠極點應位于觀測區(qū)域中心， 其半角應保證球冠的大小恰好能覆蓋全部地磁測點”的原則， 選定（42°N—52°N、 89°E—116°E）為本文所計算的區(qū)域范圍． 選定的球諧極點為（47.0°N、 102.5°E）， 選定的球冠半角為9°．

在計算中國大陸地區(qū)球冠諧和模型中， 通過試算及經(jīng)驗判斷， 采用8階模型（陳斌， 2013）． 由于蒙古區(qū)域范圍遠小于中國大陸地區(qū)， 本文通過試算與綜合分析， 選取地磁模型的最大截斷階數(shù)為4階．

3.1 蒙古地磁異常場模型

根據(jù)邊界點的位置設計， 將算例1—4作為邊界點密度變化組、 算例5—8作為邊界點外擴組、 不加邊界點的算例9單獨作為一組， 討論組內(nèi)與組間地磁異常場變化， 以便進行對比分析．

3.1.1 算例1—4

圖2展示了算例1—4蒙古地磁異常場的SCH模型， 圖中紅色點為邊界點分布． 對于ΔX， 算例1與算例2的地磁異常區(qū)分布極為相似， 整個蒙古地磁場以負異常為主． 以104°E為界， 東部與西部地磁異常存在明顯的分區(qū)： 地磁異常由西部向中部迅速衰減， 東部地磁異常變化則較為平緩． 算例3與算例1 相比，ΔX分布圖出現(xiàn)了明顯差異： 北部缺失導致北部正異常區(qū)消失， 而西部的負異常焦點向南偏移到了（45.5°N、 95.5°E）位置， 且異常強度進一步增大到-145nT． 算例4與前三者相比， 整個研究區(qū)域內(nèi)地磁異常強度有所增強， 最大負異常高達-440nT， 而最大正異常也增加到160nT．

算例1的ΔY分布圖中， 從西向東地磁正負異常區(qū)交替出現(xiàn)． 除東北緣正異常區(qū)以外， 其余4個異常區(qū)寬度均超過5°， 且在南北向貫穿了整個研究區(qū)域． 位于研究區(qū)域中軸部位的正異常區(qū)寬約8°， 沿NNW向延展， 其地磁正異常中心位于（49.5°N、 101°E）附近， 強度為70nT． 該地磁正異常中心兩側對稱分布兩個負異常區(qū)： 西南部異常焦點較東北部異常焦點的強度高30nT， 達到了-75nT； 另一正異常焦點位于研究區(qū)域西部（44.5°N、 91°E）位置， 異常強度約為50nT． 算例2—4由于受不同邊界點的影響， 顯示出與算例1不同的特征．

研究區(qū)域內(nèi)算例1的ΔZ以地磁負異常為主， 負異常最大為-175nT， 出現(xiàn)在（50°N、 97°E）附近； 在該負異常背景下， 中部、 西南和南部存在3個大小不等的ΔZ正異常區(qū)． 總體上， 算例2除在強度上略有增強外， 異常區(qū)分布與算例1相同； 而算例3和算例4的東北部正異常區(qū)范圍略有變化．

3.1.2 算例5—8

在算例2的基礎上， 算例5—8分別將邊界點外推1°—4°不等， 并適當調(diào)整了邊界點間隔， 以完整地覆蓋整個研究區(qū)域邊界（圖1）．

算例5的ΔX地磁異常圖的顯著特征是在（42°N—48°N、 94°E—102°E）區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)WNW走向的地磁負異常高值帶， 中心強度為-135nT； 此外， 研究區(qū)域沿北部邊緣附近基本為正異常區(qū)． 算例6中研究區(qū)域幾乎由ΔX負異常所覆蓋， 中部正異常區(qū)范圍較小．算例7的ΔX分布圖在北部邊界顯示為一正異常條帶， 中部為小范圍低值正異常區(qū)， 其它區(qū)域均為負異常區(qū)， 最大負異常達-140nT． 算例8中研究區(qū)域幾乎由ΔX負異常所覆蓋， 等值線走向和形態(tài)更接近于算例5． 算例5—8中各模型研究區(qū)域的ΔY正異常區(qū)范圍變化明顯， 異常強度在-90—80nT之間． 對于ΔZ分量， 除算例8外其它模型異常區(qū)分布形態(tài)相似， 異常強度差距不大． 算例8中在西南部顯示NNW向延伸的舌狀正異常， 而西北部則顯示為負異常， 具體如圖3所示．

圖2 算例1—4蒙古地磁異常場球冠諧和模型

圖3 算例5—8蒙古地磁異常場球冠諧和模型

3.1.3 算例9

算例9沒有任何邊界虛擬點參加模型計算． 其特征是地磁異常強度顯著提高， 尤其在邊界附近地磁場快速變化， 如圖4所示． 其地磁異常場分布形態(tài)與上述8種情況均有顯著差異．

3.2 模型均方根結果

為了對各地磁模型精度作定量評價， 分別計算各測點處算例1—9的模型計算值與實測值之差， 并計算了該差值的均方根． 該均方根值能夠反映出模型精度的高低． 均方根越小， 說明模型計算值與真實值越接近； 反之則說明模型計算值與真實值相差越大．

圖4 算例9蒙古地磁異常場球冠諧和模型

圖5 算例1—9的均方根分布圖

圖5顯示了算例1—9的均方根值． 可以看出， 除算例4、 算例6和算例7外， 其余模型三分量均方根有相同的變化趨勢． 其中， 均方根最小的模型為算例1， 對應ΔX，ΔY和ΔZ分量的均方根分別為28， 30和51nT， 為最接近真實值的模型． 而均方根最大的模型為不加邊界點的算例9， 其ΔX，ΔY和ΔZ的均方根分別為43， 32和65nT． 對于每個分量， 二者相差約為15nT．

對于不同的分量， 不同模型的均方根變化趨勢并不一致．ΔX分量的均方根在算例1—4逐步增大， 說明隨著邊界點間隔增大， 模型精度降低； 而隨著邊界點外擴， 算例5—8的均方根在32—35nT范圍內(nèi)波動， 即使在邊界點距離測區(qū)5°的情況下，ΔX分量的均方根也只比算例1大5nT．ΔY分量的均方根變化幅度小， 趨勢較為平穩(wěn)， 說明只要在一定距離（3°）內(nèi)， 以約10°間隔選取邊界點即可保證ΔY分量的均方根穩(wěn)定在31nT左右． 但算例1與算例9的差距仍十分明顯． 隨著邊界點間隔增大（算例1—4），ΔZ分量的均方根從50nT增加到了56nT， 即模型精度隨邊界點密度的降低而降低； 算例5—6邊界點雖外擴1°但對模型精度影響卻很?。?而算例7在東西方向繼續(xù)外擴使得均方根增大了3nT．

4 討論與結論

本文選取的9個2010.0年代蒙古地磁異常場SCH模型的計算值及其與實測值之差的均方根結果表明， 若邊界點的間隔過大， 則地磁模型精度會隨之降低． 在測量區(qū)周邊1°范圍內(nèi)， 每隔5°均勻插入邊界點可使ΔX，ΔY和ΔZ分量的模型精度保持在28， 30和50nT； 而同樣范圍內(nèi)邊界點間隔為10°時， 模型精度降低，ΔX，ΔY和ΔZ的均方根分別為35， 31和56nT． 在一定范圍內(nèi)， 模型精度隨邊界點的外擴而起伏變化． 算例8邊界點與測區(qū)距離最遠， 但該模型精度卻不是最低． 相反， 其ΔZ分量的均方根為外擴邊界點的4個模型中最低的， 即其具有較高的精度． 除上述結果外， 本文還得出以下結論：

1） 計算過程中加入虛擬邊界點能夠提升地磁模型精度， 因此在利用有限的離散地磁數(shù)據(jù)計算測點覆蓋區(qū)域內(nèi)的地磁場分布時， 適當插入虛擬邊界點能夠有效地控制模型精度， 降低數(shù)據(jù)不足帶來的模型誤差． 在計算蒙古地磁異常場SCH模型時， 在測量區(qū)周邊插入邊界點有利于改善地磁模型的精度． 在本文選擇的邊界點中， 以1°范圍內(nèi)每隔5°均勻插入邊界點對改善地磁模型的精度最為有利．

2） 與測區(qū)的距離相比， 邊界點選取的密度對模型精度的影響更為明顯． 插入的邊界點過稀或離測區(qū)過遠都會降低模型精度． 參照真實測點的點位密度， 應在計算邊界上選取均勻間隔的邊界點．

值得注意的是， 本文中邊界點值并非實測值， 而是使用了EMM2010模型計算值． 這種做法雖不影響本文的結論， 但EMM2010模型本身的誤差將會被帶入計算從而降低模型精度． 合理的做法應當是在計算邊界上以均勻間隔布置實際測點進行地磁測量， 應用實測的地磁數(shù)據(jù)來保證定解條件的真實性和完備性．

另外， 本文中對蒙古地磁異常場SCH建模邊界點選取問題的討論， 對于提高蒙古地磁異常場SCH模型， 乃至其它基于數(shù)據(jù)擬合方法的地磁場建模都具有一定的借鑒意義． 但其中的邊界點選取位置可能因人而異， 在使用時需考慮實際情況進行合理選擇．

感謝中國地震局地球物理研究所和蒙古科學院天文與地球物理研究中心為本文提供的數(shù)據(jù)支持； 感謝美國國家地球物理數(shù)據(jù)中心（NGDC）提供的EMM2010模型．

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Influence of boundary points selection on the accuracy of spherical cap harmonic model of Mongolia magnetic field

（InstituteofGeophysics，ChinaEarthquakeAdministration，Beijing100081，China）

During the period of 2011 to 2012， Institute of Geophysics， China Earthquake Administration has partnered with Research Center of Astronomy and Geophysics of Mongolian Academy of Sciences， and accomplished geomagnetic survey （total intensityF， magnetic declinationD， magnetic inclinationI） of 119 stations in Mongolia. We calculate nine spherical cap harmonic models of geomagnetic anomaly field in Mongolia of 2010.0 epoch by using the accurate geomagnetic data of 119 stations and adding selected boundary point values of nine groups calculated by EMM2010 model respectively. And then we give the contour maps of north component ΔX， east component ΔYand vertical component ΔZ， by which the nine models are compared. Root mean square （RMS） error of the difference between geomagnetic survey values and calculated values at 119 survey stations is calculated to represent the accuracy of the nine models so as to evaluate quantitatively the influence of boundary points selection on the accuracy of the models. The RMS analysis results indicate that， besides appropriate boundary points selection can improve model accuracy， the boundary points away from the measuring region 3°—5° can also improve model accuracy. Therefore， the appropriate boundary points should be introduced to improve accuracy of geomagnetic model in establishing model.

magnetic survey; boundary point; spherical cap harmonic; accuracy of magnetic model; Mongolia; root mean square error

10.11939/jass.2015.04.006.

國家國際科技合作專項（2011DFB20210）和2012年度地震行業(yè)科研專項（201208009）聯(lián)合資助.

2014-08-15收到初稿， 2014-11-05決定采用修改稿.

e-mail: ynufll@sina.com

4.006

P318.4+3

A

馮麗麗, 高孟潭, 陳斌. 2015. 邊界點選取對蒙古地磁場球冠諧和模型精度的影響. 地震學報, 37（4）: 588--598.

Feng L L, Gao M T, Chen B. 2015. Influence of boundary points selection on the accuracy of spherical cap harmonic model of Mongolia magnetic field.ActaSeismologicaSinica, 37（4）: 588--598.

doi:10.11939/jass.2015.04.006.