平面P-SV波入射時非均勻飽和土自由場地的響應(yīng)*

周鳳璽 宋瑞霞

1）中國蘭州 730050 蘭州理工大學(xué)土木工程學(xué)院

2）中國蘭州 730050 西部土木工程防災(zāi)減災(zāi)教育部工程研究中心

引言

自Biot（1956a，b）建立了液飽和多孔介質(zhì)的本構(gòu)方程以來，地震波在非均勻飽和土中的傳播問題，已經(jīng)在地震工程、巖土工程等多個領(lǐng)域得到了廣泛關(guān)注．國內(nèi)外眾多研究者為飽和土波動理論的完善和發(fā)展起到了重要的推動作用（陳龍珠等，1987；Corapcioglu，1991；王立忠，吳世明，1995；楊峻等，1996）．吳世明（1997）以彈性波基本理論為基礎(chǔ)，作了較為系統(tǒng)的理論研究，對深入研究土的動力特征具有重要的學(xué)術(shù)價值；門福錄（1981）引入準(zhǔn)微觀連續(xù)條件的概念，得到了液飽和多孔介質(zhì)的動力學(xué)方程組；陳少林和廖振鵬（2002，2003）將透射公式推廣到考慮衰減波入射時的情形，分析了衰減波入射時兩種極限情形下反射系數(shù)的變化情況．Deresiewicz和Rice（1964）研究了地震波在液飽和土體界面處的反射和透射問題；Stoll和Kan（1991）求解了地震波在海洋沉積土界面處的反透射問題，豐富了海洋領(lǐng)域的地震勘探資料；Santos等（1992）導(dǎo)出了彈性波在液體與多孔介質(zhì)交界面上位移和能量的透射和反射系數(shù)，分析了黏滯修正系數(shù)的影響作用．喬文孝等（1992）、楊峻和吳世明（1997）分析了波以任意角度由一種液飽和土層入射到另一種液飽和土層時的反射和透射的結(jié)果；胡亞元等（1998）、趙成剛等（1999）和葉陳江等（2005）討論了彈性波在彈性土與飽和土分界面的反射和透射問題．以往的研究多集中在單相介質(zhì)（Wolf，1985）和均勻飽和多孔介質(zhì)方面．而彈性波在非均勻飽和多孔介質(zhì)分層界面上的動力問題是波動理論的一個研究熱點，在實際工程中有著非常廣泛的應(yīng)用，但目前研究較少．鑒于此，本文將分析地震波從基巖處以任意角度入射，向上傳播到非均勻飽和土中，并在土層中反射和透射時所引起土體的動力特性．

動力剛度法的概念是由Kolousek（1973）提出的，多用于解決工程中的結(jié)構(gòu)振動問題，最早用于考察桿、梁及框架結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)（Kolousek，1973）．動力剛度法也稱為精確方法，只要建立了最初的位移場假設(shè)，就可以精確地求解運動微分方程，且不需要再引入其它任何假設(shè)或近似．張引科等（2000）用傳遞矩陣法處理了彈性飽和多孔介質(zhì)半空間的動力問題，分析指出傳遞矩陣法將邊界上的應(yīng)力和位移與介質(zhì)內(nèi)的應(yīng)力和位移聯(lián)系在一起，以方便數(shù)值模擬．鐘陽等（1995，2003）、鐘陽和趙曉雷（2005）分別用傳遞矩陣法和剛度矩陣法對彈性半空間的動力響應(yīng)問題作了分析，研究表明剛度矩陣法可以克服傳遞矩陣法在數(shù)值計算中的缺陷，使計算更為精確．

本文將在Biot多孔介質(zhì)理論的基礎(chǔ)上，假設(shè)飽和土地基的物理力學(xué)性質(zhì)沿土層深度按冪律梯度變化，分析當(dāng)平面P-SV波從基巖入射時上覆非均勻飽和土地基的動力響應(yīng)問題．理論推導(dǎo)出SV波在非均勻飽和土中反射和透射時所引起非均勻飽和土上表面與基巖上表面位移比的計算表達(dá)式．通過給出具有實際意義的數(shù)值算例，探討地震波的入射角和入射頻率對動力響應(yīng)的影響，并分析非均勻飽和土的土層厚度和土體的非均勻性對地震波引起的位移比的影響．

1 基本方程

圖1為考慮飽和土的自由場地示意圖．位于基巖上的飽和土覆蓋層厚度為H，從基巖入射的平面P波或SV波的入射角為θ，波幅為Ai或Bi．

1．1 兩相多孔介質(zhì)的控制方程及通解

根據(jù)Biot多孔介質(zhì)理論，均勻、各向同性的飽和土介質(zhì)彈性波動方程為（Zhouetal，2013）

圖1 非均勻飽和土地基模型示意圖Fig．1 Schematic diagram of nonhomogeneous saturated soil foundation model

式中：u和w分別為固體骨架位移矢量和流體相對于土骨架的位移矢量；e＝ui，i，ζ＝－wi，i；λ和μ為固體骨架拉梅彈性常數(shù)；b＝η／kf，η為流體黏滯系數(shù)，kf為滲透系數(shù)；α和M為考慮兩相材料壓縮性的Biot參數(shù)，α＝1－K／Ks，1／M＝（α－n）／Ks＋n／Kf，其中K，Ks和Kf分別為固體骨架、固體顆粒和孔隙流體的體積模量；m＝ρf／n為與孔隙水的質(zhì)量密度及孔隙幾何特征有關(guān)的參數(shù)；ρ＝（1－n）ρs＋nρf為混合物介質(zhì)的質(zhì)量密度，其中n為孔隙率，ρs和ρf分別為固相和液相的密度．

根據(jù)亥姆霍茲矢量分解原理，位移矢量u和w可以用勢函數(shù)φu，ψu和φw，ψw表示為

假設(shè)飽和土層中位移勢函數(shù)為

式中：AtP1和ArP1分別為透射P1波和反射P1波的波幅系數(shù)；AtP2和ArP2分別為透射P2波和反射P2波的波幅系數(shù)；Bt和Br分別為透射SV波和反射SV波的波幅系數(shù)；k1＝ωsinθ／v，表示平面波在x1方向的波數(shù)，ω＝2πf為圓頻率，f為地震波的入射頻率；v為平面波的傳播速度．其中

由于這里只考慮x1ox3平面內(nèi)的P-SV波，與x2坐標(biāo)無關(guān)，故可得飽和土的位移與應(yīng)力為

1．2 單相固體介質(zhì)的控制方程及通解

將基巖視為單相固體彈性介質(zhì)，類似于對飽和土的推導(dǎo)過程．假設(shè)位移勢函數(shù)為

式中：φb和ψb分別為基巖中波的標(biāo)量勢函數(shù)和矢量勢函數(shù)；Ai和Ar分別為入射P波和反射P波的波幅系數(shù)；Bi和Br分別為入射SV波和反射SV波的波幅系數(shù)；k3bP＝ωcosθ／vP，

vP為入射P波的波速；k3bS＝ωcosθ／vS，vS為入射SV波的波速．

基巖的位移與應(yīng)力分別為

式中，ub為基巖的位移矢量．

2 飽和土自由場地響應(yīng)

土層在沉積過程中，由于受不同的環(huán)境、地理和氣候等條件的影響，導(dǎo)致土體特性沿土層深度表現(xiàn)出明顯的差別．而對于層厚較大的同一類土，這一沿著地層深度的非均勻特性尤為突出．介質(zhì)材料的非均勻特性，導(dǎo)致以此介質(zhì)材料為研究對象的問題的控制方程變得比較復(fù)雜，通常情況下采用變系數(shù)的偏微分方程組，很難獲得相應(yīng)的解析解答．因此，在土體的厚度方向上，將非均勻飽和土層簡化為許多均勻的飽和土薄層，如圖2所示．所簡化的土層層數(shù)N的多少根據(jù)問題的精度要求來決定．圖中給出了第j層中P1波、P2波和SV波的反射和透射．

2．1 傳遞矩陣

令P＝k3P1x3，Q＝k3P2x3，R＝k3Sx3，將式（5）整理得到：

圖2 非均勻飽和土層合模型Fig．2 Laminate model of nonhomogeneous saturated soil

式中，上標(biāo)j表示第j層的飽和土．其中，

顯然，式（8）對于第j層中介于0—hj的任何深度都成立．此外，如果取x3＝0，則可得第j層頂面上的位移分量．由于分界面處存在位移與應(yīng)力的連續(xù)性條件，則第j層頂面上的位移分量等于第j－1層底面的對應(yīng)量．用下標(biāo)B表示底面，T表示頂面．當(dāng)x3＝0時，P＝0，Q＝0，R＝0，容易得出此時的F（j）矩陣，記為F（j）0．其逆矩陣記為f（j）0，即第j－1層底面上的位移與應(yīng)力分量值可表示為

式（9）左右兩邊同時左乘f（j）0，代入式（8）中，可建立起第j－1層底面與第j層的位移分量之間的關(guān)系，即

矩陣F（j）和f0（j）中各元素均為地震波在第j層介質(zhì)傳播時的縱波速度、橫波速度、土層厚度和入射角的函數(shù)，代表了波在該層介質(zhì)中傳播時的物理特征．令G（j）＝F（j）f0（j），則矩陣G（j）可稱為第j層的層矩陣．當(dāng)x3＝h時，則有Gh（j）＝Fh（j）f0（j），結(jié)合式（10）有

jjj

根據(jù)第N－1層底面與第N層頂面的位移與應(yīng)力分別相等的邊界條件，遞推得到第N層介質(zhì)頂面附近的位移和應(yīng)力與第一層底面的位移和應(yīng)力之間的關(guān)系為

將第一層層底與層頂?shù)奈灰婆c應(yīng)力的關(guān)系式，結(jié)合第N層層頂?shù)奈灰婆c應(yīng)力的關(guān)系式帶入式（12）中可得

令a＝F（N）0Y，b＝MF（1）h1Y，Y為構(gòu)造矩陣，

則式（13）可簡化為

其中，

2．2 邊界面條件

在自由表面處，σ33＝σ13＝p＝0，即在第N層土與基巖交界面處，ub1＝u1，ub3＝u3，σb33＝σ33，σb13＝σ13，w3＝0，即

結(jié)合式（14）、（15）和（16）建立線性方程組：

式中，

求解式（17），可獲得第一層、第N層和基巖中的未知波幅系數(shù)．將所求的波幅系數(shù)帶入式（5）和式（7）中，取x3＝0，即可求得飽和土體上表面與基巖頂面的位移比值．由于文中無法得到解析解，只能求得數(shù)值解，故在以下算例中均采用Matlab編程進行數(shù)值計算．

3 數(shù)值算例分析

3．1 非均勻飽和土材料性質(zhì)

式中：γ表示梯度因子，不同的γ值代表非均勻程度不同的多孔介質(zhì)；H為上覆非均勻飽和土的厚度．算例中取上表面處（x3＝0）的孔隙率為n（0）＝n0＝0．45，仿照 Wang等（2013）取值方法，其它物理力學(xué)參數(shù)取值分別為λ0＝4．43×107N／m2，μ0＝2．70×107N／m2，α＝1，ρ0＝2 100kg／m3，M0＝4．967×109N／m2，ρf0＝1 000kg／m3，kf0＝6×10－4cm／s，n0＝0．45．下表面處（x3＝H）的孔隙率為n（H）＝0．25．

此外假設(shè)飽和土的物理力學(xué)性質(zhì)與孔隙率n的關(guān)系（Zhouetal，2013）為

假設(shè)飽和土層的孔隙率沿厚度方向按冪函數(shù)形式連續(xù)變化（Zhouetal，2013），即

式中：κ為土體物理力學(xué)性質(zhì)隨孔隙率變化的指數(shù)；G為飽和土體的ρ，λ，μ，α和M等物理力學(xué)參數(shù)；n0，kf0和G0為飽和土體上表面處孔隙率以及相應(yīng)的物理力學(xué)參數(shù)值．選取基巖的材料參數(shù)分別為λb＝2．059×109N／m2，μb＝1．427×109N／m2，ρb＝2 460kg／m3．

3．2 方法的有效性

取非均勻參數(shù)γ＝0，將非均勻地基退化為單層均質(zhì)地基．考慮SV波水平入射的情形，與Wolf（1985）中具有相同求解條件的單相介質(zhì)的解答進行比較，如圖3所示．可以看出，兩者結(jié)果基本一致．

圖3 本文與Wolf（1985）關(guān)于水平向位移比（a）和豎向位移比（b）的對比Fig．3 Comparison of horizontal displacement ratio（a）and vertical displacement ratio（b）between this paper and Wolf（1985）

3．3 數(shù)值模擬結(jié)果

本文中僅考慮平面SV波入射的情形，即入射P波的波幅Ai＝0．選取參數(shù)γ＝1，κ＝1，H＝20m．通過試算，選取分層數(shù)N＝100可滿足精度要求．

圖4給出了在不同頻率的SV波作用下，位移比隨入射角的變化曲線．圖5和圖6分別給出了不同入射角時，位移比與上覆飽和土層厚度以及入射波頻率的關(guān)系曲線．可以看出，地面位移相對于基巖位移隨入射角和土層層厚的增加呈減小的趨勢，豎向位移的減小幅度相對較大，并且位移比也隨頻率的增加而減小．圖5橫坐標(biāo)為無量綱化土層厚度，＝H／2πf；圖3，6，7橫坐標(biāo)ωˉ為無量綱化頻率，＝2πfH／．

圖4 水平向位移比（a）和豎向位移比（b）隨入射角的變化曲線Fig．4 Variation of horizontal displacement ratio（a）and vertical displacement ratio（b）with incident angle

為了分析土體非均勻性對自由場地動力響應(yīng)的影響，圖7給出了不同非均勻指數(shù)情形下，位移比與頻率的變化曲線．可以看出，位移比隨頻率的增加大體呈減小趨勢，與圖4

圖5 水平向位移比（a）和豎向位移比（b）隨土層厚度的變化曲線Fig．5 Variation of horizontal displacement ratio（a）and vertical displacement ratio（b）with soil thickness

圖6 水平向位移比（a）和豎向位移比（b）隨頻率的變化曲線Fig．6 Variation of horizontal displacement ratio（a）and vertical displacement ratio（b）with frequency

圖7 非均勻指數(shù)不同時水平向位移比（a）和豎向位移比（b）隨頻率的變化曲線Fig．7 Variation of horizontal displacement ratio（a）and vertical displacement ratio（b）with frequency for different heterogeneity indices

中所得結(jié)論一致．隨著非均勻指數(shù)的增大，豎向位移比和水平向位移比的最大值將減?。?/p>

4 討論與結(jié)論

基于Biot多孔介質(zhì)模型，應(yīng)用動力剛度法研究了平面P-SV波入射時所引起的非均勻飽和土自由場地的響應(yīng)，數(shù)值分析了SV波入射時，位移比與頻率、入射角、上覆非均勻飽和土層厚度以及非均勻指數(shù)之間的關(guān)系，結(jié)果表明：

1）動力剛度法對于求解非均勻飽和土中地震波的傳播具有很好的適用性，其求解簡單方便、易于理解、便于編程，并且具有較高的求解精度．

2）平面P-SV波的入射角、頻率以及土體的非均勻性對飽和土層的動力響應(yīng)有很大的影響，與均質(zhì)土地基相比具有明顯不同的特性．

3）隨著土層厚度的增加，地面的動力響應(yīng)逐漸減小并趨于零，表明厚土層對地震波的耗散作用尤為明顯；地面位移與基巖位移之比均隨飽和土的非均勻指數(shù)、地震波的入射角和入射頻率的增加而減小，且豎向位移比減小得更為顯著．

本文考慮土體在沉積過程中自身的非均勻性，基于混合物連續(xù)介質(zhì)的基本理論，針對具有梯度飽和土覆蓋層的空間體中地震波的傳播特性進行系統(tǒng)分析，對非均勻材料力學(xué)和混合物連續(xù)介質(zhì)理論的發(fā)展有促進作用．鑒于實際飽和土層比較復(fù)雜的特點，本文根據(jù)求解需求及梯度飽和土覆蓋層的特性，只假設(shè)了飽和土介質(zhì)的物理力學(xué)參數(shù)沿深度呈冪律梯度變化的情況，以往也有假設(shè)為指數(shù)變化和線性變化的情況．更精確的土介質(zhì)參數(shù)與深度的函數(shù)關(guān)系應(yīng)根據(jù)多組試驗進行擬合確定，這將是下一步研究的重點．

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