涉及Lucas數(shù)的幾個無窮級數(shù)求和

劉小寧

(武漢軟件工程職業(yè)學院　湖北　武漢： 430205)

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涉及Lucas數(shù)的幾個無窮級數(shù)求和

劉小寧

(武漢軟件工程職業(yè)學院湖北武漢： 430205)

摘要提出并證明了關于Lucas數(shù)的幾個無窮級數(shù)求和公式。

關鍵詞Lucas數(shù)；無窮級數(shù)；求和公式

由法國數(shù)學家提出的Lucas數(shù)[1]，不但在組合數(shù)學、數(shù)論、信息論應用廣泛[2-8]，而且拓展到工程技術與植物學等領域[9-12]。文中基于文獻[12]，嘗試提出并證明關于Lucas數(shù)Lj的幾個無窮級數(shù)求和公式，供同行參考。

Lucas數(shù)Lj的遞推公式為[1]

(1)

式(1)中，L1=1，L2=3。

Lj的直接計算公式為[4]

(2)

式(2)中

(3)

引理設i、j為非負整數(shù)，β為正整數(shù)，則

(4)

(5)

(6)

(7)

證明由二項式定理[12]，并注意到ab=-1，可得：

(8)

將式(8)變形得到式(4)，證畢。

同理可證明式(5)~式(7)。

由式(4)~式(8)，用等比數(shù)列求和公式[12]，容易證明：

定理1 對于使mλ有意義的實數(shù)m、λ，當β、n為正整數(shù)時，有：

(9)

(10)

(11)

(12)

由二項式定理，并注意到ab=-1，可證明：

定理2對于使mλ有意義的實數(shù)m、λ，有：

(13)

(14)

(15)

注意到a>1與-1a時，由式(9)~式(15)可得到一些無窮級數(shù)的和，即

定理3對于正整數(shù)β與使mλ有意義的實數(shù)m、λ，當mλ>a時，有：

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

參考文獻

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[6]劉小寧.Fibonacci數(shù)的一個直接表達式[J].黃岡職業(yè)技術學院學報,2014,16(1):101-102.

[7]劉小寧.獲得一類三角恒等式的新方法[J].高等數(shù)學研究,2015,18(1):61-62.

[8]劉小寧.一個乘積的估計[J].武漢工程職業(yè)技術學院學報,2015,27(1):88-89.

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[11]胡宏.植物葉序中的Fibonacci數(shù)與Lucas數(shù)的反演[J].安徽農(nóng)業(yè)科學,2009,37(19):8812-8813.

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(責任編輯：李文英)

Summation Formula of Infinite Series with Regard to Lucas Number

LIU Xiaoning

(Wuhan Vocational College of Software and Engineering, Wuhan 430205, Hubei)

Abstract:The paper points out and proves the summation formula of infinite series with regard to Lucas number.

Key words:Lucas number; infinite series; summation formula

作者簡介：劉小寧(1963~)，男，二級教授，正高職高級工程師，碩士生導師.E-mail： lxngjxy@163.com

收稿日期：2015-11-08

中圖分類號：O156.1

文獻標識碼：A

文章編號：1671-3524(2015)04-0082-03