引領(lǐng)學(xué)生克服數(shù)學(xué)思維定勢的負(fù)效應(yīng)

王友春

思維定勢，是人們按習(xí)慣了的比較固定的思維方式去分析和解決問題的形式，是一種宏觀思維監(jiān)控意識(shí)削弱而進(jìn)入模式化信息加工程序的情景。學(xué)生在數(shù)學(xué)解題、建構(gòu)自己的知識(shí)體系時(shí)，常常用固定的模式、思路來分析、解決問題，形成思維定勢。有些教師認(rèn)為思維定勢與提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)是矛盾的，提高解題能力就要訓(xùn)練學(xué)生打破思維定勢。筆者不同意此觀點(diǎn)，正如圍棋中有“定式”，它是經(jīng)各代高手反復(fù)演練，對(duì)弈雙方都能獲利的招式，它有固定的應(yīng)對(duì)也有多變的變招，一個(gè)棋手不經(jīng)過“定式”的訓(xùn)練是不會(huì)入門的。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中同樣如此。

例如《必修4 三角恒等變換》的教學(xué)，利用各類三角函數(shù)變換公式解題具有題型變化多，公式變形靈活等特點(diǎn)，是考查邏輯思維能力、反映思維品質(zhì)的良好載體，這些決定了學(xué)好這一部分不僅需要足量的練習(xí)先形成思維定勢（造勢、蓄勢），更要注重幫助學(xué)生揭示解題的思維過程、解后反思，不斷克服思維定勢產(chǎn)生的負(fù)效應(yīng)（破勢），讓學(xué)生以模仿、探究、掌握、體驗(yàn)等方式不斷地富有創(chuàng)新地完成學(xué)習(xí)，以下是筆者的一個(gè)相關(guān)教學(xué)片段和反思。

一、造勢——形成思維定勢

問題1：已知cosα+cosβ= ，sinα-sinβ= ，求cos（α+β）。

師：請(qǐng)學(xué)生回顧公式Cα+β，和同角三角函數(shù)的平方和關(guān)系cos2α+sin2α=1，尋找與本題的聯(lián)系。（經(jīng)過一分鐘左右地思考，有學(xué)生舉手說欲發(fā)言，如學(xué)生A和學(xué)生B……）

生A：將已知條件中兩式平方后構(gòu)造出cosαcosβ與sinαsinβ，求和并用“cos2α+sin2α=1”后，逆用公式Cα+β得：2cos（α+β）=- ，即cos（α+β）=- 。（學(xué)生回答很好，教師表示贊許，并請(qǐng)學(xué)生A板演過程（略））

反思：學(xué)生A的思路是處理這類問題的常規(guī)方法，它使學(xué)生先形成基本的思維定勢，這種定勢對(duì)解決以下問題是有積極效應(yīng)的。

二、蓄勢——積蓄思維定勢

問題1中應(yīng)用了“cos2α+sin2α=1”和公式Cα+β，依此例請(qǐng)學(xué)生們練習(xí)一題，增加對(duì)上述一類公式的理性認(rèn)識(shí)：

問題2，已知8sinα+5cosβ=6，sin（α+β）= ，求8cosα+5sinβ。

經(jīng)過幾分鐘思考，有些學(xué)生舉手想發(fā)表思路或見解。

生C：我由問題1的啟發(fā)，發(fā)現(xiàn)8sinα+5cosβ=6（1）的左邊與所求當(dāng)中：sinαcosα系數(shù)，cosβsinβ系數(shù)相同，故假設(shè)8cosα+5sinβ=k（3），（1）2+（3）2此過程中利用公式：“cos2α+sin2α=1，Sα+β”和sin（α+β）= （2）式，進(jìn)而求出k。

反思：問題2進(jìn)一步將思維定勢的積極效應(yīng)擴(kuò)大。

三、破勢——打破思維定勢

在以上三個(gè)問題的基礎(chǔ)上，筆者預(yù)料到學(xué)生可能已形成了思維定勢，即熟悉了題中處理問題的方法，很多學(xué)生往往很難靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，無法產(chǎn)生創(chuàng)新思維，而這正是我們所追求的最高目標(biāo)，故筆者又設(shè)置了下面的問題讓學(xué)生探究，克服思維定勢所產(chǎn)生的負(fù)效應(yīng)：

問題3，已知sinα+sinβ=1，cosα+cosβ=0，求：cos2α+cos2β。

一段時(shí)間思考后，有幾位同學(xué)想發(fā)表自己的見解：

生F：由以上三題的啟示，此題將sinα+sinβ=1（1），cosα+cosβ=0（2）平方后求和得2+2cos（α-β） =1，即cos（α-β）=- ；將（1）（2）式平方后求差得：cos2α+cos2β +2cos（α+β）=-1（3），cos2α+cos2β=[（α+β）+（α-β）] +cos[（α+β）-（α-β）]=……=2cos（α+β）cos（α-β），可見求出cos（α+β）和cos（α-β）即可，但cos（α+β）無法由（3）直接求出，此時(shí)我想到：未知cos（α+β）是因?yàn)椋?）中有cos2α+cos2β，而它不正是我們所要求的嗎？于是設(shè)cos2α+cos2β=k，則（3）式即：k+2cos（α+β）=-1，再由k=2cos（α+β）·cos（α-β）推出k=1。

師：（啟發(fā)）除了學(xué)生F的思路，有無更好的處理方式了？

生E：將（1）（2）式平方再求差得（3）式：cos2α+cosβ+2cos（α+β），即用公式Cα+β，從而求cosα，sinβ，cosβ，sinβ就可以了，于是再看（1），（2）式：由（1）可得sinα=1-sinβ。由（2）可得cosα=-cosβ，于是根據(jù)“sin2α+cos2α=1”有1=1-2sinβ+sin2β+cos2β=2-2sinβ推出sinβ= ，sinα= ，cosα=± ，cosβ=± ；再注意到（2）式中cosα，cosβ互為相反數(shù)，∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=- =-1，∴cos2α +cos2β=1

師：（啟發(fā)）我們?nèi)艨傃刂?xí)慣的道路前行，只能走向緘默和平庸，有沒有捷徑？

生G：前兩種思路太繁，剛學(xué)過倍角公式，有cos2α=1-2sin2α，cos2β=1-2sin2β可先求出sinα，sinβ（學(xué)生E已求出）；則有cos2α+cos2β=1-2sin2α+1-2sin2β= 2-2[（ ）2+（ ）2]=1

（其他學(xué)生有的驚呼“上當(dāng)”，有的則贊許生G，感到獲益良多）

師：用倍角公式解決此題，簡潔、明了，克服了有前幾題產(chǎn)生的思維定勢造成用學(xué)生F和學(xué)生E的思路解決問題的繁瑣。

反思：

1.對(duì)于問題3，若受已有知識(shí)或經(jīng)驗(yàn)（前三題）的影響可能就會(huì)繁化解題，本質(zhì)是思維定勢的產(chǎn)生了負(fù)效應(yīng)，而在學(xué)生E的思路前，筆者并沒有作過多的提示，而是引領(lǐng)學(xué)生主動(dòng)打破了思維定勢，這種打破也從另一方面鞏固了所學(xué)，為新知識(shí)、技能建構(gòu)提供了基礎(chǔ)。

2.本節(jié)教學(xué)片段的價(jià)值：學(xué)生解題能力的提高和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升不會(huì)一蹴而就，首先在教學(xué)中要客觀地認(rèn)識(shí)并辨證地看待學(xué)生解題產(chǎn)生的思維定勢，關(guān)鍵是引領(lǐng)學(xué)生克服思維定勢的負(fù)效應(yīng)；其次數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)突出思維過程的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，關(guān)注每一位學(xué)生的情感和學(xué)習(xí)態(tài)度，尊重他們的學(xué)習(xí)成果，并及時(shí)作出評(píng)價(jià)，引領(lǐng)更多的學(xué)生參與到課堂活動(dòng)中來，而不僅僅把解決當(dāng)前的問題當(dāng)成教學(xué)的唯一目標(biāo)，急于“推銷”自己的想法，想把學(xué)生的思維納入自己預(yù)先設(shè)計(jì)的軌道上來，這樣做的結(jié)果會(huì)讓學(xué)生形成條件反射，以套路和程式生搬，更易產(chǎn)生思維定勢的負(fù)效應(yīng)。總之，“教師一定要轉(zhuǎn)變教育觀念，改變?nèi)瞬排囵B(yǎng)模式，積極實(shí)行啟發(fā)式和討論式教學(xué)，激發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考的和創(chuàng)新的意識(shí)，切實(shí)提高教學(xué)質(zhì)量，讓學(xué)生感受和理解知識(shí)的產(chǎn)生和發(fā)展過程，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新思維習(xí)慣”（江澤民），讓學(xué)生在已有基礎(chǔ)上步入創(chuàng)新之路！

（作者單位：江蘇省揚(yáng)州市邗江區(qū)蔣王中學(xué)）