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    THE SYMMETRIC POSITIVE SOLUTIONS OF 2n-ORDER BOUNDARY VALUE PROBLEMS ON TIME SCALES??

    2016-10-14 02:41:02YangyangYuLinlinWangYonghongFan
    Annals of Applied Mathematics 2016年3期
    關(guān)鍵詞:負效應(yīng)脈沖響應(yīng)沖擊

    Yangyang Yu,Linlin Wang,Yonghong Fan

    (School of Math.and Statistics Science,Ludong University,Shandong 264025,PR China)

    ?

    THE SYMMETRIC POSITIVE SOLUTIONS OF 2n-ORDER BOUNDARY VALUE PROBLEMS ON TIME SCALES??

    Yangyang Yu,Linlin Wang?,Yonghong Fan

    (School of Math.and Statistics Science,Ludong University,Shandong 264025,PR China)

    Abstract

    In this paper,we are concerned with the symmetric positive solutions of a 2n-order boundary value problems on time scales.By using induction principle,the symmetric form of the Green's function is established.In order to construct a necessary and sufficient condition for the existence result,the method of iterative technique will be used.As an application,an example is given to illustrate our main result.

    Keywordssymmetric positive solutions;boundary value problems;induction principle;time scales;iterative technique

    2000 Mathematics Subject Classification 34K10;34B27

    1 Introduction

    The theory of measure chains(time scales)was first introduced by Stefan Hilger in his Ph.D.thesis(see[1])in 1988.Although it is a new research area of mathematics,it has already caused a lot of applications,e.g.,insect population models,neural networks,heat transfer and epidemic models(see[2,3]).Some of these models can be found in[4-6].Such as in[5],Q.K.Song and Z.J.Zhao discussed the problem on the global exponential stability of complex-valued neural networks with both leakage delay and time-varying delays on time scales.By constructing appropriate Lyapunov-Krasovskii functionals and using matrix inequality technique,a delay-dependent condition assuring the global exponential stability for the considered neural networks was established.

    In the past few years,more and more scholars concentrated on a positive solution of boundary value problems for differential equations on time scales(see[7-12]).In[13,14],by using some fixed point theorems,the existences of pseudo-symmetric solutions of dynamic equations on time scales were obtained.In[15,16],the fourth order integral boundary value problems on time scales for an increasing homeomorphism and homomorphism were discussed.Recently,the conditions for the existence of symmetric positive solutions of boundary value problems were constructed in[17,18]. By applying an iterative technique,the existence and uniqueness of symmetric positive solutions of the 2n-order nonlinear singular boundary value problems of differential equation

    were obtained.

    In this paper,we are concerned with the existence of symmetric positive solutions of the following 2n-order boundary value problems(BVP)on time scales

    where f:[0,σ(1)]×[0,∞)→[0,∞)is continuous and f(t,u)may be singular at u=0,t=0(and/or t=σ(1)).If a function u:[0,σ(1)]→R is continuous and satisfies u(t)=u(σ(1)-t)for t∈[0,σ(1)],then we say that u(t)is symmetric on[0,σ(1)].By a symmetric positive solution of BVP(1),we mean a symmetric function u∈C2n[0,σ(1)]such that(-1)iuΔ2i(t)>0 for t∈(0,σ(1))and i= 0,1,···,n-1,and u(t)satisfies BVP(1).We assume that σ(1)and 0 are all right dense.Throughout this paper we let T be any time scale(nonempty closed subset of R)and[a,b]be a subset of T such that[a,b]={t∈T:a≤t≤b}.T satisfies

    and it is easy to see that T=R or T=hZ satisfies(2).And thuseT={σ(t)|t∈T}= T.

    2 Preliminary

    Before discussing the problems of this paper,we introduce some basic materials for time scales which are useful in proving our main results.These preliminaries can be found in[17-20].

    Lemma 2.1[20](Substitution)Assume that ν:T→R is strictly increasing andis a time scale.If f:T→ R is an rd-continuous function and ν is differentiable with rd-continuous derivative,then for a,b∈T,

    Throughout this paper,similar to[18],we assume that:

    (A1)For(t,u)∈[0,σ(1)]×[0,∞),f(t,u)is symmetric in t,that is,f satisfies

    (A2)For(t,u)∈[0,σ(1)]×[0,∞),f is non-decreasing with respect to u and there exists a constant λ∈(0,1),such that if σ∈(0,1],then

    It is easy to see that(4)implies that if σ∈[1,∞),then

    For convenience,in this paper we let

    Lemma 2.2 Let v∈C[0,σ(1)],then the following BVP

    has a unique solution

    where Gn(t,s)is defined in[0,σ(1)]×[0,σ(1)],and it follows from[19]that

    which satisfies

    It is easy to see

    Lemma 2.3 For any t,s∈[0,σ(1)],from(2)we have

    Proof For any t,s∈[0,σ(1)],when n=1,it is easy to see G1(σ(1)-t,σ(1)-σ(s))=G1(t,s).

    We consider Gn+1(σ(1)-t,σ(1)-σ(s)).

    From(13),we obtain

    Therefore,the proof of Lemma 2.3 is complete.

    Remark 2.1 For any t,s∈[0,1],we have

    in a real space R,with the Green's function

    Let E be the Banach space C(2n)[0,σ(1)],and define

    and there exist constants lu,Luwith 0<lu<1<Lusuch that

    圖4右下表示LNAPI_SA對LNAPI_SA的脈沖響應(yīng)結(jié)果,表明CPI給自身一個沖擊,在第1期時便立即響應(yīng),產(chǎn)生正響應(yīng),且響應(yīng)的效果逐漸增強,在第2期達到最大;之后響應(yīng)的效果逐漸減弱,在第5期時變?yōu)?;之后繼續(xù)下跌,產(chǎn)生負效應(yīng);在第7期時達到最大負效應(yīng);之后回升至第12期時再次變?yōu)?;之后趨于平穩(wěn)。這說明CPI受自身影響大,尤其是在CPI上升后的3個月內(nèi)影響最大,但在1年后產(chǎn)生了負影響。

    Proof The proof is similar to that of Lemma 2.3 in[18].

    Lemma 2.5 If u(t)is a symmetric solution of BVP(1),then there exist constants c1,c2with 0<c1<1<c2such that

    ProofFor c1e(t)≤u(t),since u(t)is a symmetric positive solution of(1),we obtain u(t)>0 and uΔΔ((t))≤0 for t∈[0,σ(1)].Choose a positive numberthen Lemma 2.4 implies c1e(t)≤u(t),t∈[0,σ(1)].

    and

    The symmetry of u(t)implies thatChoose a number c2>Then

    Clearly,(15)holds,and this completes the proof of Lemma 2.5.

    Lemma 2.6[20]Let [a,b]∈T,and f be right-dense continuous.If[a,b]consists of only isolated points,then

    3 The Existence Result

    Theorem 3.1Assume(A1)and(A2)hold.Then BVP(1)has at least one symmetric positive solution if and only if

    From(1),for t∈(0,σ(1)),when n is oddand when n is even,Then

    By(4),(5),(15),(18)and(19),

    and

    Now,(17)follows from(20)and(21).Now assume that(17)holds.We will show that BVP(1)has at least one symmetric positive solution.

    Define an operator T:E→E by

    where Gn(t,s)is defined by(9)and(10).It is clear that u is a solution if and only if u is a fixed point of T.

    Claim 1 The operator T:P→P is completely continuous and non-decreasing.

    In fact,for u∈P,it is obvious that Tu∈E,Tu(0)=Tu(σ(1))=0,Tu(t)>0,for t∈(0,σ(1)).From(22),we have

    Thus,for any u∈P,from(4),(5),(10),(11)and(17),we obtain that for t∈[0,σ(1)],

    and

    where LTuand lTuare positive constants satisfying

    Thus,it follows from(23)and(24)that there exist constants LTuand lTuwith 0<l<1<Lsuch that

    Therefore,Tu(t)∈P,that is,T:P→P.A standard argument can be used to show that T:P→P is completely continuous.

    From(A2),it is easy to see that T is non-decreasing with respect to u.Hence,Claim 1 holds.

    Claim 2 Let δ and γ be fixed numbers satisfying

    and assume

    Then,

    and there exists a u?∈P such that

    In fact,0>lTe<1<LTesince Te∈P.So 0<δ<1<γ.From(27),we have u0,v0∈P and u0≤v0.

    On the other hand,

    Since u0≤v0and T is nondecreasing,by induction,(27)holds.

    that for any natural number n,

    Thus,for each natural numbers n and p?,we have

    which implies that there exists a u?∈P such that(30)holds,and Claim 2 holds.

    Let n→∞in(28),we obtain u?(t)=Tu?(t),which is a symmetric positive solution of BVP(1).Thus,the proof of Theorem 3.1 is complete.

    4 Example

    Example 4.1 Consider

    where α∈R,0< β<1.Let f(σ(t),uσ(t))= (σ(t))α(σ(1)-σ(t))αuβ(σ(t)),(t,u)∈[0,σ(1)]×[0,∞),then,for α>-β-1,there is at least one symmetric positive solution of BVP(31).

    Note that the function f satisfies assumptions(A1)and(A2).In fact,for(t,u)∈[0,σ(1)]×[0,∞),f(σ(1)-σ(t),uσ(t))=f(σ(t),uσ(t)),f is non-decreasing with respect to u and if σ∈(0,1],there exists a constant λ with 0<β≤λ<1,such that f(σ(t),σuσ(t))≥σλf(σ(t),uσ(t)).

    Thus,from Theorem 3.1,there is at least one symmetric positive solution of BVP(31)if and only if

    In fact,the integration converges if and only if α>-β-1,then(32)holds.That is,for α>-β-1,there is at least one symmetric positive solution of BVP(31).

    5 Discussion

    Theorem 5.1Assume that(A1)and(A2)hold.Then BVP(1)has at least one symmetric positive solution if and only if

    In particular,letting

    it is easy to see that f satisfies assumptions(A1)and(A2),and there is

    Thus,from Theorem 5.1,BVP(1)has at least one symmetric positive solution.

    References

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    [20]M.Bohner and A.Peterson,Dynamic Equations on Time Scales:An Introduction with Applications,Birkh¨auser,Boston,2001.

    (edited by Liangwei Huang)

    ?Supported by NNSF of China(11201213,11371183),NSF of Shandong Province(ZR2010AM022,ZR2013AM004),the Project of Shandong Provincial Higher Educational Science and Technology(J15LI07),the Project of Ludong University High-Quality Curriculum(20130345)and the Teaching Reform Project of Ludong University in 2014(20140405).

    ?Manuscript received December 4,2015

    ?Corresponding author.E-mail:wangll 1994@sina.com

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