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    反證法在不等式證明中的應(yīng)用

    2015-03-19 13:56:57華騰飛
    高中生學(xué)習(xí)·高二版 2014年12期
    關(guān)鍵詞:反證法增函數(shù)指數(shù)函數(shù)

    華騰飛

    反證法也叫歸謬法,其證明步驟可概括為“否定——推理——否定——肯定”四個部分. 關(guān)鍵是第二步,即由“暫時假設(shè)”推出矛盾.那么怎樣才能導(dǎo)出矛盾呢?通常有以下幾種情形:或與公理矛盾、或與定義矛盾、或與定理矛盾、或與已知條件矛盾、或與“暫時假設(shè)”矛盾、或與顯然的事實矛盾、或自相矛盾等.

    一 命題結(jié)論為“至多”“至少”的形式,宜用反證法

    例1 實數(shù)[a,b,c,d]滿足[a+b=c+d=1],[ac+bd>1].求證:[a,b,c,d]中至少有一個是負數(shù).

    證法1 假設(shè)[a,b,c,d]都是非負數(shù),

    ∵[a+b=c+d=1],

    ∴[a,b,c,d]∈[0, 1],∴[ac,bd]∈[0, 1].

    ∴[ac≤ac≤a+c2],[bd≤bd≤b+d2].

    ∴[ac+bd≤a+c+b+d2]= 1,這與已知[ac+bd>1]矛盾.

    ∴[a,b,c,d]中至少有一個是負數(shù).

    證法2 假設(shè)[a,b,c,d]都是非負數(shù),則[(a+b)(c+d)=][(ac+bd)+(ad+bc)≥ac+bd].

    ∵[a+b=c+d=1],∴[(a+b)(c+d)=1].

    ∴[ac+bd≤1],這與已知[ac+bd>1]矛盾.

    ∴[a,b,c,d]中至少有一個是負數(shù).

    例2 已知[f(x)=x2+ax+b],

    求證:[|f(1)|,|f(2)|,][|f(3)|]中至少有一個不小于[12].

    證明 假設(shè)[|f(1)|,|f(2)|,][|f(3)|]都小于[12],

    則[|f(1)|+2|f(2)|+][|f(3)|]<2.

    而[|f(1)|+2|f(2)|+][|f(3)|]≥[|f(1)+f(3)-2f(2)|]=|1+a+b+9+[3a+b-8-4a-2b|]=2,這與假設(shè)矛盾,所以假設(shè)不成立.

    故[|f(1)|,|f(2)|,][|f(3)|]中至少有一個不小于[12].

    例3 已知[a>0, b>0],且[a+b>2],

    求證:[1+ba]與[1+ab]中至少有一個小于2.

    證明 設(shè)[1+ba]與[1+ab]都不小于2,即[1+ba]≥ 2,[1+ab]≥ 2,

    ∵[a>0, b>0],

    ∴[1+b≥2a],[1+a≥2b],

    將兩式相加得[1+b+1+a≥2a+2b],

    ∴[a+b≤2],這與已知矛盾,∴假設(shè)不成立.

    ∴[1+ba]與[1+ab]中至少有一個小于2.

    二、命題結(jié)論呈“都是”“都不是”形式,宜用反證法

    例4 已知[a+b+c>0], [ab+bc+ca>0], [abc>0],

    求證:[a>0, b>0, c>0].

    證明 (1)假設(shè)[a<0],則由[abc>0]知,[bc<0].

    又由[a+b+c>0]知,[b+c>-a>0.]

    于是[ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0],這與已知矛盾.

    (2)若[a=0],則[abc=0],這與[abc>0]矛盾.

    ∴[a>0]. 同理可證[b>0, c>0.]

    例5 設(shè)實數(shù)a0, a1, a2, …, an-1,an滿足a0=an=0,且a0-2a1+a2 ≥0,a1-2a2+a3 ≥0, …, an-2-2an-1+an ≥0.

    試證明:ak ≤0(k=1, 2, 3, …,n-1).

    證明 假設(shè)ak(k=1, 2, 3, …, n-1)中至少存在一個正數(shù)且ai是序列a0, a1, a2, …, an-1中第一個出現(xiàn)的正數(shù),則a1 ≤0, a2 ≤0, …, ai-1 ≤0, ai>0,從而ai-ai-1>0.

    據(jù)題設(shè)ak+1-ak ≥ak-ak-1(k=1, 2, 3, …, n-1),故從k=i起有an-an-1 ≥an-1-an-2 ≥…≥ai-ai-1>0.

    于是有an>an-1>…>ai+1>ai>0,這與an=0矛盾,

    故ak ≤0(k=1, 2, 3, …,n-1).

    三、已知命題的逆命題是正確的,宜用反證法

    例6 已知函數(shù)f(x)是(-∞, +∞)上的增函數(shù),a, b∈R.

    (1)證明:若a+b≥0,則f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b);

    (2)證明:若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),則a+b≥0.

    證明 (1)∵a+b≥0,∴a≥-b,b≥-a.

    ∵f(x)是(-∞, +∞)上的增函數(shù),

    ∴f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a).

    ∴f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).

    (2)假設(shè)a+b<0,則a<-b, b<-a.

    ∵f(x)是(-∞, +∞)上的增函數(shù),

    ∴f(a)

    ∴f(a)+f(b)

    ∴假設(shè)不成立,因此有a+b≥0成立.

    點撥 本題中,由于前一個命題是后一個命題的逆命題,且前一個命題是真命題.因此在(2)中用反證法就容易“推出矛盾”.事實上,(2)中直接證缺少推理條件,而反設(shè)增加了條件(即利用(1)的推理和結(jié)論).

    例7 已知a>b>0,n∈N且n≥2.求證:[an>bn].

    證明 假設(shè)[an≤bn],由于a>b>0,

    ∴[an>0], [bn]>0,則[(an)n≤(bn)n],即a≤b.

    這與已知條件a>b>0矛盾,故[an>bn]成立.

    四、在證明的方法上用直接法較困難,或在證明的方向上從結(jié)論的反面著手較易的命題,宜用反證法

    例8 如果正實數(shù)a, b滿足ab=ba,且a<1.證明:a=b.

    證明 假設(shè)a≠b,則有a>b或a

    (1)當(dāng)a>b時,由于1>a>b>0,可得ab>bb(冪函數(shù)的單調(diào)性),bb>ba(指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性),

    由不等式的傳遞性得ab>ba,這與已知ab=ba矛盾.

    (2)當(dāng)b>a時,由b>a>0, a<1可得ba>aa(冪函數(shù)的單調(diào)性),aa>ab(指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性),

    所以ba>ab,與已知ab=ba矛盾.

    綜上可得a=b.

    例9 已知f(x)=[(cosαsinβ)x+(cosβsinα)x],且x<0,[α, β]∈(0,[π2]),若f(x)>2.

    求證:[α+β>π2].

    證明 假設(shè)0<α+β≤[π2],由已知α,β∈(0,[π2]),可得0<α≤[π2]-β<[π2][?]cosα≥cos([π2]-β)=sinβ>0,

    0

    又因為指數(shù)函數(shù)y=ax,

    當(dāng)a>1且x<0時,有y<1.

    而當(dāng)a=1且x<0時,有y=1.

    ∴[(cosαsinβ)x≤1],[(cosβsinα)x≤1].

    ∴f(x)=[(cosαsinβ)x+(cosβsinα)x]≤2,這與已知f(x)>2矛盾,

    故α+β>[π2].

    利用反證法證明不等式應(yīng)注意以下幾點:(1) 用反證法證明不等式必須先否定結(jié)論,即肯定結(jié)論的反面,當(dāng)結(jié)論的反面呈現(xiàn)多樣性時,必須羅列出各種可能的結(jié)論;(2)反證法必須從否定結(jié)論進行推理,即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件,且必須根據(jù)這一條件進行推證;(3)推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣,有的與已知矛盾,有的與假設(shè)矛盾,有的與已知事實相違背等,推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的.

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