基于螺旋理論的球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型分析

隨 磊， 李瑞琴， 李曉潤(rùn)， 王明亞

（中北大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，山西 太原 030051）

概述

球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)是一種特殊的空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其結(jié)構(gòu)一般是由固定平臺(tái)、支鏈及動(dòng)平臺(tái)構(gòu)成。它的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)是動(dòng)平臺(tái)可以繞著機(jī)構(gòu)中心自由轉(zhuǎn)動(dòng)，它有三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)的自由度，可以實(shí)現(xiàn)在三維空間中的任意旋轉(zhuǎn)。基于其比較特殊的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，可以用在機(jī)器人的腕關(guān)節(jié)［1］、腰關(guān)節(jié)［2］、肩關(guān)節(jié)［3］等，也可以用在衛(wèi)星天線的空間方位跟蹤系統(tǒng)、機(jī)床加工等方面。

由低副（即轉(zhuǎn)動(dòng)副R和移動(dòng)副P）鏈接而構(gòu)成的球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)，目前研究較多的是3－RRR球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)，而且對(duì)其應(yīng)用也較為廣泛和成熟，如電子靈巧眼［4］和數(shù)控回轉(zhuǎn)臺(tái)［5］。由于復(fù)合運(yùn)動(dòng)副（圓柱副C，虎克較U等）都可以看成是轉(zhuǎn)動(dòng)副和移動(dòng)副復(fù)合而成，因此本文只研究由低副鏈接構(gòu)成的球面機(jī)構(gòu)的構(gòu)型，其他類型的球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)都可以在此基礎(chǔ)上進(jìn)行演化拓展。

1 基于螺旋理論的構(gòu)型綜合

本文研究的是對(duì)稱的三支鏈球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)，在進(jìn)行構(gòu)型分析時(shí)，選取其中的一條支鏈進(jìn)行分析即可。由轉(zhuǎn)動(dòng)副R、移動(dòng)副P根據(jù)不同的排列方式可以組成8種不同空間排列形式［6］，即 RRR、PPR、RPP、PRP、RPR、RRP、PRR、PPP，如圖1所示。

圖1 轉(zhuǎn)動(dòng)副和移動(dòng)副的各種排列組合方式

圖1中的幾種組合中又因?yàn)檗D(zhuǎn)動(dòng)副軸線以及移動(dòng)副軸線的平行、垂直或者成一定的角度關(guān)系，可以得到多種不同的機(jī)構(gòu)構(gòu)型。

下面利用雅可比矩陣的螺旋形式來(lái)進(jìn)行三支鏈的球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的型綜合?？臻g并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)上目標(biāo)點(diǎn)的速度可以表示為：

由螺旋理論，球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)可表示為：

式中：q·ji表示的是i支鏈j關(guān)節(jié)強(qiáng)度；＄ji表示連接在i支鏈j關(guān)節(jié)上的單元螺桿；Ci表示運(yùn)動(dòng)副（本文中運(yùn)動(dòng)副均為低副，自由度為1）數(shù)目。

當(dāng)每條運(yùn)動(dòng)鏈的驅(qū)動(dòng)副鎖閉時(shí)，第i條運(yùn)動(dòng)鏈的自由度減少為Ci－1，這樣運(yùn)動(dòng)鏈的反螺旋包括6－Ci個(gè)約束和6－Ci＋1個(gè)反螺旋。這里假定6－Ci＋1個(gè)反螺旋是驅(qū)動(dòng)力矩，令第i條運(yùn)動(dòng)鏈的第一個(gè)為驅(qū)動(dòng)副，將這個(gè)驅(qū)動(dòng)表示為＄Ta，i，對(duì)方程（2）兩邊求反螺旋，得：

令ki＝1／＄Ta，i＄1i，則第i條支鏈驅(qū)動(dòng)副的速度可表示為：

公式（4）又可表示為：

Ja是并聯(lián)機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)雅可比矩陣，其行向量是驅(qū)動(dòng)力＄a，i與常數(shù)ki的乘積。

對(duì)于球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)，動(dòng)平臺(tái)上的每個(gè)自由度都應(yīng)該對(duì)應(yīng)一個(gè)電機(jī)驅(qū)動(dòng)，故機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程可以表示為：

式中：ti表示機(jī)構(gòu)的輸出；qi表示第i條支鏈驅(qū)動(dòng)副的強(qiáng)度。

球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)雅可比矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形式可以表示為：

由公式（5）和（7）可得：

由公式（8）可以看出機(jī)構(gòu)的各個(gè)驅(qū)動(dòng)副互相垂直。本文中機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)副是轉(zhuǎn)動(dòng)副或移動(dòng)副，故驅(qū)動(dòng)是沿轉(zhuǎn)動(dòng)副的軸線而力是沿移動(dòng)副的軸線，這樣，驅(qū)動(dòng)和驅(qū)動(dòng)副的軸線就是一致的，并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)是機(jī)構(gòu)所有運(yùn)動(dòng)鏈運(yùn)動(dòng)的交集。故滿足三支鏈球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的條件為：球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)每條運(yùn)動(dòng)鏈應(yīng)該有三個(gè)旋轉(zhuǎn)自由度；運(yùn)動(dòng)鏈的驅(qū)動(dòng)副是互相垂直的。

2 2R1P型機(jī)構(gòu)構(gòu)型分析及自由度驗(yàn)證

僅考慮由2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副、1個(gè)移動(dòng)副組成的三支鏈球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)即2R1P型的球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)，那么對(duì)于每一條支鏈，都包含兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副和一個(gè)移動(dòng)副，根據(jù)其轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線互相平行和轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線互相垂直兩種情況，共得到9種構(gòu)型，如圖2所示。

圖2 2R1P型機(jī)構(gòu)的構(gòu)型

根據(jù)以上9種構(gòu)型，在SolidWorks中建模分別得到如圖3所示的RPR、PRR、RPR三種球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的模型，并且通過(guò)計(jì)算機(jī)構(gòu)的自由度的計(jì)算來(lái)驗(yàn)證可行性。

圖3 2R1P型球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)模型

在三維空間中，假設(shè)有n個(gè)不受約束的剛體，若以其中一個(gè)剛體為參照物，則其他任意一個(gè)剛體相對(duì)參照物都有6個(gè)自由度，n個(gè)剛體就有6（n－1）個(gè)自由度，如果所有的剛體間用k個(gè)具有fi自由度的運(yùn)動(dòng)副連接起來(lái)，則機(jī)構(gòu)的自由度為：

這就是 Kutzbach Grubler公式［7］。式 中：F 為 機(jī)構(gòu)的自由度；n為機(jī)構(gòu)的構(gòu)件數(shù)；K為運(yùn)動(dòng)副數(shù)；fi為第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的相對(duì)自由度。

隨著近年來(lái)機(jī)構(gòu)學(xué)的研究發(fā)展，Hunt提出了更具有普遍性的計(jì)算空間機(jī)構(gòu)自由度的公式：

式中：d＝6－λ，d為機(jī)構(gòu)的階；λ為機(jī)構(gòu)的公共約束數(shù)。

對(duì)一般的沒有公共約束的空間機(jī)構(gòu)，λ＝0，d＝6；但是對(duì)平面機(jī)構(gòu)和球面機(jī)構(gòu)都有三個(gè)公共約束［8］，λ＝3，因此公式（10）中d＝3。本文所述的3支鏈2R1P球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)件數(shù)為8，3個(gè)移動(dòng)副和6個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副，移動(dòng)副的相對(duì)自由度為1，轉(zhuǎn)動(dòng)副的相對(duì)自由度為1，代入公式（10）得機(jī)構(gòu)的自由度為3。

3 結(jié)語(yǔ)

本文主要利用螺旋理論的知識(shí)對(duì)各支鏈全是由平面低副連接的三自由度球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行構(gòu)型分析，得出通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)副和移動(dòng)副不同的組合的8種形式，并通過(guò)雅克比矩陣得出構(gòu)成三支鏈球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的拓?fù)錀l件：球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)各支鏈都應(yīng)有三個(gè)旋轉(zhuǎn)自由度；各支鏈的驅(qū)動(dòng)副相互垂直。之后又通過(guò)前面得出的結(jié)論對(duì)2R1P型的球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線的位置關(guān)系得出9種具體的構(gòu)型，并從中選取3種構(gòu)型利用三維軟件建造比較實(shí)用的模型，通過(guò)對(duì)自由度的計(jì)算驗(yàn)證模型的可行性和正確性。通過(guò)本文的研究可對(duì)球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的應(yīng)用提供選型基礎(chǔ)和對(duì)球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的其他結(jié)構(gòu)創(chuàng)新提供參考。

［1］ 孫立寧，劉宇，祝宇紅.一種用于腕關(guān)節(jié)的球面三自由度并聯(lián)解耦機(jī)構(gòu)位置分析［J］.中國(guó)機(jī)械工程，2003，14（10）：831－833.

［2］ 金振林，榮譽(yù).基于三分支非均勻分布球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的腰關(guān)節(jié)設(shè)計(jì)［J］.中國(guó)機(jī)械工程，2007，18（22）：2 697－2 699.

［3］ 戰(zhàn)麗娜，金振林.一種基于球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的肩關(guān)節(jié)的分析與設(shè)計(jì)［J］.燕山大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，30（1）：14－17.

［4］ C.M.Gosselin，J.Angeles.The optimum kinematics design of a spherical 3－DOF parallel manipulator［J］.ASME Journal of Mechanisms Transmissions and Automation in Design，1989，111（2）：202－207

［5］ 曾憲菁，黃田，曾子平.3－RRR型數(shù)控回轉(zhuǎn)臺(tái)的精度分析［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2001，37（11）：42－46.

［6］ Feng Gao，Jialun Yang，Qiaode Jeffrey Ge.Type synthesis of parallel mechanisms having the second class GF sets and two dimensional rotations［J］.Journal of Mechanisms and Robotics，2011，3（1）：1－8.

［7］ 于靖軍，劉辛軍，丁希侖，等.機(jī)器人機(jī)構(gòu)學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社2008：202－217.

［8］ 黃真，趙永生，趙鐵石.高等空間機(jī)構(gòu)學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，2006：119－121.