隨 磊, 李瑞琴, 李曉潤(rùn), 王明亞
(中北大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院,山西 太原 030051)
球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)是一種特殊的空間并聯(lián)機(jī)構(gòu),其結(jié)構(gòu)一般是由固定平臺(tái)、支鏈及動(dòng)平臺(tái)構(gòu)成。它的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)是動(dòng)平臺(tái)可以繞著機(jī)構(gòu)中心自由轉(zhuǎn)動(dòng),它有三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)的自由度,可以實(shí)現(xiàn)在三維空間中的任意旋轉(zhuǎn)。基于其比較特殊的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,可以用在機(jī)器人的腕關(guān)節(jié)[1]、腰關(guān)節(jié)[2]、肩關(guān)節(jié)[3]等,也可以用在衛(wèi)星天線的空間方位跟蹤系統(tǒng)、機(jī)床加工等方面。
由低副(即轉(zhuǎn)動(dòng)副R和移動(dòng)副P)鏈接而構(gòu)成的球面并聯(lián)機(jī)構(gòu),目前研究較多的是3-RRR球面并聯(lián)機(jī)構(gòu),而且對(duì)其應(yīng)用也較為廣泛和成熟,如電子靈巧眼[4]和數(shù)控回轉(zhuǎn)臺(tái)[5]。由于復(fù)合運(yùn)動(dòng)副(圓柱副C,虎克較U等)都可以看成是轉(zhuǎn)動(dòng)副和移動(dòng)副復(fù)合而成,因此本文只研究由低副鏈接構(gòu)成的球面機(jī)構(gòu)的構(gòu)型,其他類型的球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)都可以在此基礎(chǔ)上進(jìn)行演化拓展。
本文研究的是對(duì)稱的三支鏈球面并聯(lián)機(jī)構(gòu),在進(jìn)行構(gòu)型分析時(shí),選取其中的一條支鏈進(jìn)行分析即可。由轉(zhuǎn)動(dòng)副R、移動(dòng)副P根據(jù)不同的排列方式可以組成8種不同空間排列形式[6],即 RRR、PPR、RPP、PRP、RPR、RRP、PRR、PPP,如圖1所示。
圖1 轉(zhuǎn)動(dòng)副和移動(dòng)副的各種排列組合方式
圖1中的幾種組合中又因?yàn)檗D(zhuǎn)動(dòng)副軸線以及移動(dòng)副軸線的平行、垂直或者成一定的角度關(guān)系,可以得到多種不同的機(jī)構(gòu)構(gòu)型。
下面利用雅可比矩陣的螺旋形式來(lái)進(jìn)行三支鏈的球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的型綜合??臻g并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)上目標(biāo)點(diǎn)的速度可以表示為:
由螺旋理論,球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)可表示為:
式中:q·ji表示的是i支鏈j關(guān)節(jié)強(qiáng)度;$ji表示連接在i支鏈j關(guān)節(jié)上的單元螺桿;Ci表示運(yùn)動(dòng)副(本文中運(yùn)動(dòng)副均為低副,自由度為1)數(shù)目。
當(dāng)每條運(yùn)動(dòng)鏈的驅(qū)動(dòng)副鎖閉時(shí),第i條運(yùn)動(dòng)鏈的自由度減少為Ci-1,這樣運(yùn)動(dòng)鏈的反螺旋包括6-Ci個(gè)約束和6-Ci+1個(gè)反螺旋。這里假定6-Ci+1個(gè)反螺旋是驅(qū)動(dòng)力矩,令第i條運(yùn)動(dòng)鏈的第一個(gè)為驅(qū)動(dòng)副,將這個(gè)驅(qū)動(dòng)表示為$Ta,i,對(duì)方程(2)兩邊求反螺旋,得:
令ki=1/$Ta,i$1i,則第i條支鏈驅(qū)動(dòng)副的速度可表示為:
公式(4)又可表示為:
Ja是并聯(lián)機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)雅可比矩陣,其行向量是驅(qū)動(dòng)力$a,i與常數(shù)ki的乘積。
對(duì)于球面并聯(lián)機(jī)構(gòu),動(dòng)平臺(tái)上的每個(gè)自由度都應(yīng)該對(duì)應(yīng)一個(gè)電機(jī)驅(qū)動(dòng),故機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程可以表示為:
式中:ti表示機(jī)構(gòu)的輸出;qi表示第i條支鏈驅(qū)動(dòng)副的強(qiáng)度。
球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)雅可比矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形式可以表示為:
由公式(5)和(7)可得:
由公式(8)可以看出機(jī)構(gòu)的各個(gè)驅(qū)動(dòng)副互相垂直。本文中機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)副是轉(zhuǎn)動(dòng)副或移動(dòng)副,故驅(qū)動(dòng)是沿轉(zhuǎn)動(dòng)副的軸線而力是沿移動(dòng)副的軸線,這樣,驅(qū)動(dòng)和驅(qū)動(dòng)副的軸線就是一致的,并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)是機(jī)構(gòu)所有運(yùn)動(dòng)鏈運(yùn)動(dòng)的交集。故滿足三支鏈球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的條件為:球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)每條運(yùn)動(dòng)鏈應(yīng)該有三個(gè)旋轉(zhuǎn)自由度;運(yùn)動(dòng)鏈的驅(qū)動(dòng)副是互相垂直的。
僅考慮由2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副、1個(gè)移動(dòng)副組成的三支鏈球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)即2R1P型的球面并聯(lián)機(jī)構(gòu),那么對(duì)于每一條支鏈,都包含兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副和一個(gè)移動(dòng)副,根據(jù)其轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線互相平行和轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線互相垂直兩種情況,共得到9種構(gòu)型,如圖2所示。
圖2 2R1P型機(jī)構(gòu)的構(gòu)型
根據(jù)以上9種構(gòu)型,在SolidWorks中建模分別得到如圖3所示的RPR、PRR、RPR三種球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的模型,并且通過(guò)計(jì)算機(jī)構(gòu)的自由度的計(jì)算來(lái)驗(yàn)證可行性。
圖3 2R1P型球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)模型
在三維空間中,假設(shè)有n個(gè)不受約束的剛體,若以其中一個(gè)剛體為參照物,則其他任意一個(gè)剛體相對(duì)參照物都有6個(gè)自由度,n個(gè)剛體就有6(n-1)個(gè)自由度,如果所有的剛體間用k個(gè)具有fi自由度的運(yùn)動(dòng)副連接起來(lái),則機(jī)構(gòu)的自由度為:
這就是 Kutzbach Grubler公式[7]。式 中:F 為 機(jī)構(gòu)的自由度;n為機(jī)構(gòu)的構(gòu)件數(shù);K為運(yùn)動(dòng)副數(shù);fi為第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的相對(duì)自由度。
隨著近年來(lái)機(jī)構(gòu)學(xué)的研究發(fā)展,Hunt提出了更具有普遍性的計(jì)算空間機(jī)構(gòu)自由度的公式:
式中:d=6-λ,d為機(jī)構(gòu)的階;λ為機(jī)構(gòu)的公共約束數(shù)。
對(duì)一般的沒有公共約束的空間機(jī)構(gòu),λ=0,d=6;但是對(duì)平面機(jī)構(gòu)和球面機(jī)構(gòu)都有三個(gè)公共約束[8],λ=3,因此公式(10)中d=3。本文所述的3支鏈2R1P球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)件數(shù)為8,3個(gè)移動(dòng)副和6個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副,移動(dòng)副的相對(duì)自由度為1,轉(zhuǎn)動(dòng)副的相對(duì)自由度為1,代入公式(10)得機(jī)構(gòu)的自由度為3。
本文主要利用螺旋理論的知識(shí)對(duì)各支鏈全是由平面低副連接的三自由度球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行構(gòu)型分析,得出通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)副和移動(dòng)副不同的組合的8種形式,并通過(guò)雅克比矩陣得出構(gòu)成三支鏈球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的拓?fù)錀l件:球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)各支鏈都應(yīng)有三個(gè)旋轉(zhuǎn)自由度;各支鏈的驅(qū)動(dòng)副相互垂直。之后又通過(guò)前面得出的結(jié)論對(duì)2R1P型的球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線的位置關(guān)系得出9種具體的構(gòu)型,并從中選取3種構(gòu)型利用三維軟件建造比較實(shí)用的模型,通過(guò)對(duì)自由度的計(jì)算驗(yàn)證模型的可行性和正確性。通過(guò)本文的研究可對(duì)球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的應(yīng)用提供選型基礎(chǔ)和對(duì)球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的其他結(jié)構(gòu)創(chuàng)新提供參考。
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