新課標(biāo)下大學(xué)數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)脫節(jié)內(nèi)容的銜接研究

湯 瓊，劉羅華，鄧勝岳，陳正元

湯瓊/湖南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院教授 （湖南株洲412008）；劉羅華，鄧勝岳/湖南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院講師 （湖南株洲412008）；陳正元/湖南湘鋼一中 一級(jí)教師(湖南湘潭411101）。

一、引言

近年來(lái)，我國(guó)基礎(chǔ)教育改革不斷深入，2003年教育部頒發(fā)了普通高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，新課標(biāo)下的高中數(shù)學(xué)教材在知識(shí)內(nèi)容的安排，教材的組織形式等方面都做了很大的改革，課程體系有了大的調(diào)整，加強(qiáng)學(xué)科整合并設(shè)置綜合課程。反觀大學(xué)教育，雖然各高校也在積極進(jìn)行改革[1-2]，包括建設(shè)精品課程等，但大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)體系相比新課標(biāo)變化較少，我國(guó)近年來(lái)出版的大學(xué)數(shù)學(xué)教材未能根據(jù)目前高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的變化做出相應(yīng)的調(diào)整。隨著高中數(shù)學(xué)課程改革的推進(jìn)，現(xiàn)有的大學(xué)數(shù)學(xué)和新課標(biāo)下的高中數(shù)學(xué)脫節(jié)問(wèn)題變得日益突出，這給大學(xué)數(shù)學(xué)教育造成了一定的負(fù)面影響，引起了較多的關(guān)注。[3-7]一些大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容下移,微積分、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)等部分大學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)入高中學(xué)習(xí)階段，如導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、微積分基本定理等內(nèi)容安排在高中數(shù)學(xué)選修2-2；古典概型、離散型隨機(jī)變量等安排在高中數(shù)學(xué)必修3、選修2-3。這樣的安排使得一方面，高中數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)之間交叉重復(fù)的內(nèi)容增多，另一方面又出現(xiàn)了部分脫節(jié)現(xiàn)象，原部分高中內(nèi)容刪去或涉及較淺，如反函數(shù)、反三角函數(shù)沒(méi)有涉及，極坐標(biāo)、參數(shù)方程、復(fù)數(shù)等在選修課中介紹，三角函數(shù)的和差化積等內(nèi)容相對(duì)較淺等。很多文獻(xiàn)都一致認(rèn)為應(yīng)考慮大學(xué)數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)交叉重復(fù)與脫節(jié)部分的教學(xué)，包括教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法等，但脫節(jié)部分在教學(xué)中具體應(yīng)如何銜接研究較少。本文主要針對(duì)新課標(biāo)下大學(xué)數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的銜接問(wèn)題進(jìn)行研究，避免大學(xué)和高中兩頭不管，出現(xiàn)脫節(jié)問(wèn)題，影響大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量。

二、脫節(jié)內(nèi)容的銜接研究

本文主要就人民教育出版社出版的《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)》A版[8]和同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編的《高等數(shù)學(xué)》（第六版）的內(nèi)容，研究在新課標(biāo)下大學(xué)數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)如何銜接。

1.反函數(shù)部分的銜接。高中數(shù)學(xué)沒(méi)有涉及反函數(shù)概念，基本初等函數(shù)只涉及冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)4類?！陡叩葦?shù)學(xué)》涉及反函數(shù)的內(nèi)容較多，如上冊(cè)§2.2節(jié)函數(shù)的求導(dǎo)法則中推導(dǎo)反函數(shù)的求導(dǎo)法則、§2.4節(jié)由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、§4.2節(jié)關(guān)于第二類換元公式推導(dǎo)、§9.5節(jié)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式、第十章重積分、第十一章曲線積分與曲面積分的計(jì)算等都利用了反函數(shù)相關(guān)知識(shí)?！陡叩葦?shù)學(xué)》§1.1節(jié)介紹了反函數(shù)概念，反函數(shù)與原函數(shù)圖像之間的關(guān)系，但比較抽象。且由于第一節(jié)內(nèi)容較多，大多數(shù)授課老師以為學(xué)生在高中已學(xué)過(guò)，所以不會(huì)花較多時(shí)間講解反函數(shù)，造成學(xué)生不能很好理解反函數(shù)與原函數(shù)關(guān)系。建議這部分內(nèi)容可先舉例講解如何求初等函數(shù)如冪函數(shù)的反函數(shù)，反函數(shù) x=f-1（y）或 y=f-1（x）與原函數(shù)y=f（x）圖像之間的關(guān)系，加深學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解，再講解反函數(shù)概念，更有利于學(xué)生接受和理解，可參考第四版反函數(shù)部分內(nèi)容。

2.反三角函數(shù)部分的銜接。高中數(shù)學(xué)沒(méi)有涉及反三角函數(shù)概念，《高等數(shù)學(xué)》中有關(guān)函數(shù)的極限、連續(xù)性與間斷點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分等都涉及反三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)。建議這部分內(nèi)容在《高等數(shù)學(xué)》§1.1節(jié)講解初等函數(shù)時(shí)結(jié)合三角函數(shù)和反函數(shù)知識(shí)補(bǔ)上反正弦、反余弦、反正切、反余切函數(shù)定義、性質(zhì)及其圖像，可參考第四版反三角函數(shù)部分內(nèi)容。

3.三角函數(shù)部分的銜接。高中數(shù)學(xué)對(duì)三角函數(shù)部分比較重視，在必修4第一章、第三章及必修5第一章講解了任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)定義、性質(zhì)及圖像，三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式等知識(shí)，但余切、正割、余割函數(shù)定義、性質(zhì)及圖像，積化和差公式，萬(wàn)能公式都沒(méi)涉及?！陡叩葦?shù)學(xué)》有關(guān)函數(shù)的極限、連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、微分、空間解析幾何與向量代數(shù)、無(wú)窮級(jí)數(shù)、微分方程都涉及以上內(nèi)容，建議在《高等數(shù)學(xué)》§1.1節(jié)講解5類基本初等函數(shù)中的三角函數(shù)這一塊時(shí)補(bǔ)上余切、正割、余割函數(shù)定義、性質(zhì)及圖像，三角函數(shù)積化和差公式，萬(wàn)能公式?？山Y(jié)合多媒體列出高中已學(xué)過(guò)的三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，兩角和與差公式，二倍角公式，正弦和余弦定理，加深其理解和對(duì)公式的記憶，可參考第四版三角函數(shù)部分內(nèi)容。

4.極坐標(biāo)、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換、參數(shù)方程的銜接。坐標(biāo)系與參數(shù)方程屬高考選考內(nèi)容，高中數(shù)學(xué)選修課4-4“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”中涉及極坐標(biāo)、參數(shù)方程，部分中學(xué)生沒(méi)有選修該部分內(nèi)容，即使部分選修了也由于高中時(shí)間緊內(nèi)容多，這一部分內(nèi)容也學(xué)得不好?！陡叩葦?shù)學(xué)》在第六章計(jì)算平面圖形面積、平面曲線的弧長(zhǎng)，第十章利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分、利用柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分等知識(shí)點(diǎn)涉及極坐標(biāo)和坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換；在曲率的計(jì)算公式、推導(dǎo)多元函數(shù)在點(diǎn)P沿方向l的方向?qū)?shù)計(jì)算公式、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法等知識(shí)點(diǎn)涉及參數(shù)方程。這部分內(nèi)容的補(bǔ)充建議在《高等數(shù)學(xué)》§1.1節(jié)最后部分給以補(bǔ)充，以平面坐標(biāo)系為主，包括平面直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系、曲線的參數(shù)方程，以例題形式講解極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)、參數(shù)方程和普通方程的互化。為下冊(cè)的重積分、曲線曲面積分涉及極坐標(biāo)和參數(shù)方程部分打基礎(chǔ)。

5.復(fù)數(shù)部分的銜接。高中數(shù)學(xué)選修2-2的第三章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入僅涉及復(fù)數(shù)概念、幾何意義及代數(shù)形式的四則運(yùn)算，沒(méi)有涉及復(fù)數(shù)的三角表示。由于課時(shí)不多，大多學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)的掌握不是很好?！陡叩葦?shù)學(xué)》§12.5函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式的應(yīng)用中關(guān)于歐拉公式的第二種表達(dá)式推導(dǎo)利用了復(fù)數(shù)的三角形式，§7.7節(jié)常系數(shù)齊次線性微分方程推導(dǎo)二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解、§12.8節(jié)一般周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)中傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式推導(dǎo)利用歐拉公式等。故建議在《高等數(shù)學(xué)》§1.1節(jié)集合部分補(bǔ)講復(fù)數(shù)的三角表示、歐拉公式及復(fù)數(shù)域內(nèi)求代數(shù)方程的根，更有利于學(xué)生掌握求解常系數(shù)線性微分方程的解、傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式等方法。

[1]教育部非數(shù)學(xué)類專業(yè)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教學(xué)指導(dǎo)分委員會(huì).工科類本科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教學(xué)基本要求 (修訂稿)[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2004,20(1):l-6.

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[3]潘建輝.大學(xué)數(shù)學(xué)和新課標(biāo)下高中數(shù)學(xué)的脫節(jié)問(wèn)題與銜接研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2008,17(2):67-69.

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[7]牟錄貴.中學(xué)數(shù)學(xué)新課程教學(xué)理念與實(shí)踐[M].吉林:吉林大學(xué)出版社,2007.

[8]中學(xué)數(shù)學(xué)教材研究開(kāi)發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū) 數(shù)學(xué)[M].人民教育出版社，2007.