論現(xiàn)代計算機理論中的畢達哥拉斯主義

潘沁

（武漢輕工大學(xué)馬克思主義學(xué)院，湖北武漢430023）

論現(xiàn)代計算機理論中的畢達哥拉斯主義

潘沁

（武漢輕工大學(xué)馬克思主義學(xué)院，湖北武漢430023）

［摘要］現(xiàn)代計算機理論源于古希臘畢達哥拉斯主義和柏拉圖主義，是畢達哥拉斯數(shù)學(xué)自然觀的產(chǎn)物。計算機結(jié)構(gòu)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)助發(fā)現(xiàn)原則?，F(xiàn)代計算機模型體現(xiàn)了形式化、抽象性原則。自動機的數(shù)學(xué)、邏輯理論都是尋求計算機背后的數(shù)學(xué)核心頑強努力的結(jié)果。

［關(guān)鍵詞］現(xiàn)代計算機理論；自動機理論；畢達哥拉斯主義

現(xiàn)代計算機理論不僅包含計算機的邏輯設(shè)計，還包含后來的自動機理論的總體構(gòu)想與模型（自動機是一種理想的計算模型，即一種理論計算機，通常它不是指一臺實際運作的計算機，但是按照自動機模型，可以制造出實際運作的計算機）?，F(xiàn)代計算機理論是高度數(shù)學(xué)化、邏輯化的。如果探究現(xiàn)代計算機理論思想的哲學(xué)方法論源泉，我們可以發(fā)現(xiàn)，它是源于古希臘畢達哥拉斯主義和柏拉圖主義的，是畢達哥拉斯數(shù)學(xué)自然觀的產(chǎn)物，下面我將對此做些探討。

一、畢達哥拉斯主義的特點

畢達哥拉斯主義是由畢達哥拉斯學(xué)派所創(chuàng)導(dǎo)的數(shù)學(xué)自然觀的代名詞。數(shù)學(xué)自然觀的基本理念是“數(shù)乃萬物之本原”。具體地說，畢達哥拉斯主義者認(rèn)為：“‘?dāng)?shù)學(xué)和諧性’是關(guān)于宇宙基本結(jié)構(gòu)的知識的本質(zhì)核心，在我們周圍自然界那種富有意義的秩序中，必須從自然規(guī)律的數(shù)學(xué)核心中尋找它的根源。換句話說，在探索自然定律的過程中，‘?dāng)?shù)學(xué)和諧性’是有力的啟發(fā)性原則?！盵1] 13

畢達哥拉斯主義的內(nèi)核是唯有通過數(shù)和形才能把握宇宙的本性。畢達哥拉斯的弟子菲洛勞斯說過：“一切可能知道的事物，都具有數(shù)，因為沒有數(shù)而想象或了解任何事物是不可能的。”[1] 14畢達哥拉斯學(xué)派把適合于現(xiàn)象的抽象的數(shù)學(xué)上的關(guān)系，當(dāng)作事物何以如此的解釋，即從自然現(xiàn)象中抽取現(xiàn)象之間和諧的數(shù)學(xué)關(guān)系?！皵?shù)學(xué)和諧性”假說具有重要的方法論意義和價值。因此，“如果和諧的宇宙是由數(shù)構(gòu)成的，那么自然的和諧就是數(shù)的和諧，自然的秩序就是數(shù)的秩序”[1] 14。

這種觀念令后世科學(xué)家不懈地去發(fā)現(xiàn)自然現(xiàn)象背后的數(shù)量秩序，不僅對自然規(guī)律作出定性描述，還作出定量描述，取得了一次次重大的成功。

柏拉圖發(fā)展了畢達哥拉斯主義的數(shù)學(xué)自然觀。在《蒂邁歐篇》中，柏拉圖描述了由幾何和諧組成的宇宙圖景，他試圖表明，科學(xué)理論只有建立在數(shù)量的幾何框架上，才能揭示瞬息萬變的現(xiàn)象背后永恒的結(jié)構(gòu)和關(guān)系。柏拉圖認(rèn)為自然哲學(xué)的首要任務(wù)，在于探索隱藏在自然現(xiàn)象背后的可以用數(shù)和形來表征的自然規(guī)律。

二、現(xiàn)代計算機結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)啟發(fā)性原則的產(chǎn)物

1945年，題為《關(guān)于離散變量自動電子計算機的草案》（EDVAC）的報告具體地介紹了制造電子計算機和程序設(shè)計的新思想。1946年7、8月間，馮·諾伊曼和赫爾曼·戈德斯汀、亞瑟·勃克斯在EDVAC方案的基礎(chǔ)上，為普林斯頓大學(xué)高級研究所研制IAS計算機時，又提出了一個更加完善的設(shè)計報告——《電子計算機邏輯設(shè)計初探》。以上兩份既有理論又有具體設(shè)計的文件，首次在世界上掀起了一股“計算機熱

潮”，它們的綜合設(shè)計思想標(biāo)志著現(xiàn)代電子計算機時代的真正開始。

這兩份報告確定了現(xiàn)代電子計算機的范式由以下幾部分構(gòu)成：（1）運算器；（2）控制器；（3）存儲器；（4）輸入；（5）輸出。就計算機邏輯設(shè)計上的貢獻，第一臺計算機ENIAC研究小組組織者戈德斯汀曾這樣寫道：“就我所知，馮·諾伊曼是第一個把計算機的本質(zhì)理解為是行使邏輯功能，而電路只是輔助設(shè)施的人。他不僅是這樣理解的，而且詳細(xì)精確地研究了這兩個方面的作用以及相互的影響?！盵2] 192

計算機邏輯結(jié)構(gòu)的提出與馮·諾伊曼把數(shù)學(xué)和諧性、邏輯簡單性看作是一種重要的啟發(fā)原則是分不開的。在20世紀(jì)30-40年代，申農(nóng)的信息工程、圖靈的理想計算機理論、匈牙利物理學(xué)家奧特維對人腦的研究以及麥卡洛克-皮茨的論文《神經(jīng)活動中思想內(nèi)在性的邏輯演算》引發(fā)了馮·諾伊曼對信息處理理論的興趣，他關(guān)于計算機的邏輯設(shè)計的思想深受麥卡洛克和皮茨的啟發(fā)。

1943年麥卡洛克-皮茨《神經(jīng)活動中思想內(nèi)在性的邏輯演算》一文發(fā)表后，他們把數(shù)學(xué)規(guī)則應(yīng)用于大腦信息過程的研究給馮·諾伊曼留下了深刻的印象。該論文用麥卡洛克在早期對精神粒子研究中發(fā)展出來的公理規(guī)則，以及皮茨從卡爾納普的邏輯演算和羅素、懷特海《數(shù)學(xué)原理》發(fā)展出來的邏輯框架，表征了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的一種簡單的邏輯演算方法。他們的工作使馮·諾伊曼看到了將人腦信息過程數(shù)學(xué)定律化的潛在可能。“當(dāng)麥卡洛克和皮茨繼續(xù)發(fā)展他們的思想時，馮·諾伊曼開始沿著自己的方向獨立研究，使他們的思想成為其自動機邏輯理論的基礎(chǔ)”[3] 181。

在《控制與信息嚴(yán)格理論》（Rigorous Theories of Control and Information）一文的開頭部分，馮·諾伊曼討論了麥卡洛克-皮茨《神經(jīng)活動中思想內(nèi)在性的邏輯演算》以及圖靈在通用計算機上的工作，認(rèn)為這些想象的機器都是與形式邏輯共存的，也就是說，自動機所能做的都可以用邏輯語言來描述，反之，所有能用邏輯語言嚴(yán)格描述的也可以由自動機來做。他認(rèn)為麥卡洛克-皮茨是用一種簡單的數(shù)學(xué)邏輯模型來討論人的神經(jīng)系統(tǒng)，而不是局限于神經(jīng)元真實的生物與化學(xué)性質(zhì)的復(fù)雜性。相反，神經(jīng)元被當(dāng)作一個“黑箱”，只研究它們輸入、輸出訊號的數(shù)學(xué)規(guī)則以及神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)結(jié)合起來進行運算、學(xué)習(xí)、存儲信息、執(zhí)行其他信息的過程任務(wù)。馮·諾伊曼認(rèn)為麥卡洛克-皮茨運用了數(shù)學(xué)中公理化方法，是對理想細(xì)胞而不是真實的細(xì)胞做出研究，前者比后者更簡潔，理想細(xì)胞具有真實細(xì)胞的最本質(zhì)特征。

在馮·諾伊曼1945年有關(guān)EDVAC機的設(shè)計方案中，所描述的存儲程序計算機便是由麥卡洛克和皮茨設(shè)想的“神經(jīng)元”（neurons）所構(gòu)成，而不是從真空管、繼電器或機械開關(guān)等常規(guī)元件開始。受麥卡洛克和皮茨理想化神經(jīng)元邏輯設(shè)計的啟發(fā)，馮·諾伊曼設(shè)計了一種理想化的開關(guān)延遲元件。這種理想化計算元件的使用有以下兩個作用：（1）它能使設(shè)計者把計算機的邏輯設(shè)計與電路設(shè)計分開。在ENIAC的設(shè)計中，設(shè)計者們也提出過邏輯設(shè)計的規(guī)則，但是這些規(guī)則與電路設(shè)計規(guī)則相互連系、相互糾結(jié)。有了這種理想化的計算元件，設(shè)計者就能把計算機的純邏輯要求（如存儲和真值函項的要求）與技術(shù)狀況（材料和元件的物理局限等）所提出的要求區(qū)分開來考慮。（2）理想化計算元件的使用也為自動機理論的建立奠定了基礎(chǔ)。理想化元件的設(shè)計可以借助數(shù)理邏輯的嚴(yán)密手段來實現(xiàn)，能夠抽象化、理想化。

馮·諾伊曼的朋友兼合作者烏拉姆也曾這樣描述他：“馮·諾伊曼是不同的。他也有幾種十分獨特的技巧，（很少有人能具有多于2、3種的技巧。）其中包括線性算子的符號操作。他也有一種對邏輯結(jié)構(gòu)和新數(shù)學(xué)理論的構(gòu)架、組合超結(jié)構(gòu)的，捉摸不定的‘普遍意義下’的感覺。在很久以后，當(dāng)他變得對自動機的可能性理論感興趣時，當(dāng)他著手研究電子計算機的概念和結(jié)構(gòu)時，這些東西被派了用處。”[4] 79

三、自動機模型中體現(xiàn)的抽象化原則

現(xiàn)代自動機模型也體現(xiàn)了畢達哥拉斯主義的抽象性原則。在《自動機理論：構(gòu)造、自繁殖、齊一性》（The Theory of Automata：construction，Reproduction，Homogenenity，1952-1953）這部著作中，計算機研究者們提出了對自動機的總體設(shè)想與模型，一共設(shè)想了五種自動機模型：動力模型（kinematic model）、元胞模型（cellular model）、興奮-閾值-疲勞模型（excitation-threshhold-fatigue）、連續(xù)模型（continuous model）和概率模型（probabilistic model）。為了后面的分析，我們先簡要地介紹這五個模型。

第一個模型是動力模型。動力模型處理運動、接觸、定位、融合、切割、幾何動力問題，但不考慮力和能量。動力模型最基本的成分是：儲存信息的邏輯（開關(guān)）元素與記憶（延遲）元素、提供結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的梁（girder）、感知環(huán)境中物體的感覺元素、使物體運動的動力元素、連接和切割元素。這類自動機有八個組

成部分：刺激器官、共生器官（coincidence organ）、抑制器官（inhibitory organ）、刺激生產(chǎn)者、剛性成員（rigid members）、融合器官（fusing organ）、切割器官（cutting organ）、肌肉。其中四個部分用來完成邏輯與信息處理過程：刺激器官接受并傳輸刺激，它分開接受刺激，即實現(xiàn)“p或q”的真值；共生器官實現(xiàn)“p和q”的真值；抑制器官實現(xiàn)“p和劭q”的真值；刺激生產(chǎn)者提供刺激源。剛性成員為建構(gòu)自動機提供剛性框架，它們不傳遞刺激，可以與同類成員相連接，也可以與非剛性成員相連接，這些連接由融合器官來完成。當(dāng)這些器官被刺激時，融合器官把它們連接在一起，這些連接可以被切割器官切斷。第八個部分是肌肉，用來產(chǎn)生動力。

第二個模型是元胞模型。在該模型中，空間被分解為一個個元胞，每個元胞包含同樣的有限自動機。馮·諾伊曼把這些空間稱之為“晶體規(guī)則”（crystalline regularity）、“晶體媒介”（crystalline medium）、“顆粒結(jié)構(gòu)”（granular structure）以及“元胞結(jié)構(gòu)”（cellular structure）。對于自繁殖（self-reproduction）的元胞結(jié)構(gòu)形式，馮·諾伊曼選擇了正方形的元胞無限排列形式。每個元胞擁有29態(tài)有限自動機。每個元胞直接與它的四個相鄰元胞以延遲一個單位時間交流信息，它們的活動由轉(zhuǎn)換規(guī)則來描述（或控制）。29態(tài)包含16個傳輸態(tài)（transmission state）、4個合流態(tài)（confluent state）、1個非興奮態(tài)、8個感知態(tài)。

第三個模型是興奮-閾值-疲勞模型，它建立在元胞模型的基礎(chǔ)上。元胞模型的每個元胞擁有29態(tài)，馮·諾伊曼模擬神經(jīng)元胞擁有疲勞和閾值機制來構(gòu)造29態(tài)自動機，因為疲勞在神經(jīng)元胞的運作中起了重要的作用。興奮-閾值-疲勞模型比元胞模型更接近真正的神經(jīng)系統(tǒng)。一個理想的興奮-閾值-疲勞神經(jīng)元胞有指定的開始期及不應(yīng)期。不應(yīng)期分為兩個部分：絕對不應(yīng)期和相對不應(yīng)期。如果一個神經(jīng)元胞不是疲勞的，當(dāng)激活輸入值等于或超過其臨界點時，它將變得興奮。當(dāng)神經(jīng)元胞興奮時，將發(fā)生兩種狀況：（1）在一定的延遲后發(fā)出輸出信號、不應(yīng)期開始，神經(jīng)元胞在絕對不應(yīng)期內(nèi)不能變得興奮；（2）當(dāng)且僅當(dāng)激活輸入數(shù)等于或超過臨界點，神經(jīng)元胞在相對不應(yīng)期內(nèi)可以變得興奮。當(dāng)興奮-閾值-疲勞神經(jīng)元胞變得興奮時，必須記住不應(yīng)期的時間長度，用這個信息去阻止輸入刺激對自身的平常影響。于是這類神經(jīng)元胞并用開關(guān)、延遲輸出、內(nèi)在記憶以及反饋信號來控制輸入訊號，這樣的裝置實際上就是一臺有限自動機。

第四個模型是連續(xù)模型。連續(xù)模型以離散系統(tǒng)開始，以連續(xù)系統(tǒng)繼續(xù)，先發(fā)展自增殖的元胞模型，然后化歸為興奮-閾值-疲勞模型，最后用非線性偏微分方程來描述它。自繁殖的自動機的設(shè)計與這些偏微分方程的邊際條件相對應(yīng)。他的連續(xù)模型與元胞模型的區(qū)別就像模擬計算機與數(shù)字計算機的區(qū)別一樣，模擬計算機是連續(xù)系統(tǒng)，而數(shù)字計算機是離散系統(tǒng)。

第五個模型是概率模型。研究者們認(rèn)為自動機在各種態(tài)（state）上的轉(zhuǎn)換是概率的而不是決定的。在轉(zhuǎn)換過程有產(chǎn)生錯誤的概率，發(fā)生變異，機器運算的精確性將降低?！陡怕蔬壿嬇c從不可靠元件到可靠組織的綜合》一文探討了概率自動機，探討了在自動機合成中邏輯錯誤所起的作用。“對待錯誤，不是把它當(dāng)作是額外的、由于誤導(dǎo)而產(chǎn)生的事故，而是把它當(dāng)作思考過程中的一個基本部分，在合成計算機中，它的重要性與對正確的邏輯結(jié)構(gòu)的思考一樣重要”[5] 174。

從以上自動機理論中可以看出，馮·諾伊曼對自動機的研究是從邏輯和統(tǒng)計數(shù)學(xué)的角度切入，而非心理學(xué)和生理學(xué)。他既關(guān)注自動機構(gòu)造問題，也關(guān)注邏輯問題，始終把心理學(xué)、生理學(xué)與現(xiàn)代邏輯學(xué)相結(jié)合，注重理論的形式化與抽象化。《自動機理論：建造、自繁殖、齊一性》開頭第一句話就這樣寫道：“自動機的形式化研究是邏輯學(xué)、信息論以及心理學(xué)研究的課題。單獨從以上某個領(lǐng)域來看都不是完整的。所以要形成正確的自動機理論必須從以上三個學(xué)科領(lǐng)域吸收其思想觀念?！盵5] 91他對自然自動機和人工自動機運行的研究，都為自動機理論的形式化、抽象化部分提供了經(jīng)驗素材。

馮·諾伊曼在提出動力學(xué)模型后，對這個模型并不滿意，因為該模型仍然是以具體的原材料的吸收為前提，這使得詳細(xì)闡明元件的組裝規(guī)則、自動機與環(huán)境之間的相互作用以及機器運動的很多精確的簡單規(guī)則變得非常困難，這讓馮·諾伊曼感到，該模型沒有把過程的邏輯形式和過程的物質(zhì)結(jié)構(gòu)很好地區(qū)分開來。作為一個數(shù)學(xué)家，馮·諾伊曼想要的是完全形式化的抽象理論，他與著名的數(shù)學(xué)家烏拉姆探討了這些問題，烏拉姆建議他從元胞的角度來考慮。馮·諾伊曼接受了烏拉姆的建議，于是建立了元胞自動機模型。該模型既簡單抽象，又可以進行數(shù)學(xué)分析，很符合馮·諾伊曼的意愿。

馮·諾伊曼是第一個把注意力從研究計算機、自動機的機械制造轉(zhuǎn)移到邏輯形式上的計算機專家，他用數(shù)學(xué)和邏輯的方法揭示了生命的本質(zhì)方面——自繁殖機制。在元胞自動機理論中，他還研究了自繁殖的邏輯，并天才地預(yù)見到，自繁殖自動機的邏輯結(jié)構(gòu)在活細(xì)胞中也存在，這都體現(xiàn)了畢達哥拉斯主義的數(shù)學(xué)理性。馮·諾伊曼最先把圖靈通用計算機概念擴展到自繁殖自動機，他的元胞自動機模型，把活的有機體設(shè)想為自繁殖網(wǎng)絡(luò)并第一次提出為其建立數(shù)學(xué)模型，也體現(xiàn)了畢達哥拉斯主義通過數(shù)和形來把握事物特征的思想。

四、自動機背后的數(shù)學(xué)和諧性追求

自動機的研究工作基于古老的畢達哥拉斯主義的信念——追求數(shù)學(xué)和諧性。馮·諾伊曼在早期的計算機邏輯和程序設(shè)計的工作中，就認(rèn)識到數(shù)理邏輯將在新的自動機理論中起著非常重要的作用，即自動機需要恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)理論。他在研究自動機理論時，注意到了數(shù)理邏輯與自動機之間的聯(lián)系。從上面關(guān)于自動機理論的介紹中可以看出，他的第一個自增殖模型是離散的，后來又提出了一個連續(xù)模型和概率模型。從自動機背后的數(shù)學(xué)理論中可以看出，討論重點是從離散數(shù)學(xué)逐漸轉(zhuǎn)移到連續(xù)數(shù)學(xué)，在討論了數(shù)理邏輯之后，轉(zhuǎn)而討論了概率邏輯，這都體現(xiàn)了研究者對自動機背后數(shù)學(xué)和諧性的追求。

在馮·諾伊曼撰寫關(guān)于自動機理論時，他對數(shù)理邏輯與自動機的緊密關(guān)系已非常了解。庫爾特·哥德爾通過表明邏輯的最基本的概念（如合式公式、公理、推理規(guī)則、證明）在本質(zhì)上是遞歸的，他把數(shù)理邏輯還原為計算理論，認(rèn)為遞歸函數(shù)是能在圖靈機上進行計算的函數(shù)，所以可以從自動機的角度來看待數(shù)理邏輯。反過來，數(shù)理邏輯亦可用于自動機的分析和綜合。自動機的邏輯結(jié)構(gòu)能用理想的開關(guān)-延遲元件來表示，然后翻譯成邏輯符號。不過，馮·諾伊曼感覺到，自動機的數(shù)學(xué)與邏輯的數(shù)學(xué)在形式特點上是有所不同的。他認(rèn)為現(xiàn)存的數(shù)理邏輯雖然有用，但對于自動機理論來說是不夠的。他相信一種新的自動機邏輯理論將興起，它與概率理論、熱力學(xué)和信息理論非常類似并有著緊密的聯(lián)系。

20世紀(jì)40年代晚期，馮·諾伊曼在美國加州帕賽迪納的海克森研討班上做了一系列演講，演講的題目是《自動機的一般邏輯理論》，這些演講對自動機數(shù)學(xué)邏輯理論做了探討。在1948年9月的專題研討會上，馮·諾伊曼在宣讀《自動機的一般邏輯理論》時說道：“請大家原諒我出現(xiàn)在這里，因為我對這次會議的大部分領(lǐng)域來說是外行。甚至在有些經(jīng)驗的領(lǐng)域——自動機的邏輯與結(jié)構(gòu)領(lǐng)域，我的關(guān)注也只是在一個方面，數(shù)學(xué)方面。我將要說的也只限于此。我或許可以給你們一些關(guān)于這些問題的數(shù)學(xué)方法?！盵6] 288

馮·諾伊曼認(rèn)為在目前還沒有真正擁有自動機理論，即恰當(dāng)?shù)臄?shù)理邏輯理論，他對自動機的數(shù)學(xué)與現(xiàn)存的邏輯學(xué)做了比較，并提出了自動機新邏輯理論的特點，指出了缺乏恰當(dāng)數(shù)學(xué)理論所造成的后果。

1.自動機數(shù)學(xué)中使用分析數(shù)學(xué)方法，而形式邏輯是組合的

自動機數(shù)學(xué)中使用分析數(shù)學(xué)方法有方法論上的優(yōu)點，而形式邏輯是組合的?！案阈问竭壿嫷娜苏l都會確認(rèn)，從技術(shù)上講，形式邏輯是數(shù)學(xué)上最難駕馭的部分之一。其原因在于，它處理嚴(yán)格的全有或全無概念，它與實數(shù)或復(fù)數(shù)的連續(xù)性概念沒有什么聯(lián)系，即與數(shù)學(xué)分析沒有什么聯(lián)系。而從技術(shù)上講，分析是數(shù)學(xué)最成功、最精致的部分。因此，形式邏輯由于它的研究方法與數(shù)學(xué)的最成功部分的方法不同，因而只能成為數(shù)學(xué)領(lǐng)域的最難的部分，只能是組合的”[6] 303。

馮·諾伊曼指出，比起過去和現(xiàn)在的形式邏輯（指數(shù)理邏輯）來，自動機數(shù)學(xué)的全有或全無性質(zhì)很弱。它們組合性極少，分析性卻較多。事實上，有大量跡象可使我們相信，這種新的形式邏輯系統(tǒng)（按：包含非經(jīng)典邏輯的意味）接近于別的學(xué)科，這個學(xué)科過去與邏輯少有聯(lián)系。也就是說，具有玻爾茲曼所提出的那種形式的熱力學(xué)，它在某些方面非常接近于控制和測試信息的理論物理學(xué)部分，多半是分析的，而不是組合的。

2.自動機邏輯理論是概率的，而數(shù)理邏輯是確定性的

馮·諾伊曼認(rèn)為，在自動機理論中，有一個必須要解決好的主要問題，就是如何處理自動機出現(xiàn)故障的概率的問題，該問題是不能用通常的邏輯方法解決的，因為數(shù)理邏輯只能進行理想化的開關(guān)-延遲元件的確定性運算，而沒有處理自動機故障的概率的邏輯。因此，在對自動機進行邏輯設(shè)計時，僅用數(shù)理邏輯是不夠的，還必須使用概率邏輯，把概率邏輯作為自動機運算的重要部分。馮·諾伊曼還認(rèn)為，在研究自動機的功能上，必須注意形式邏輯以前從沒有出現(xiàn)的狀況。既然自動機邏輯中包含故障出現(xiàn)的概率，那么我們就應(yīng)該考慮運算量的大小。數(shù)理邏輯通常考慮的是，是不是能借助自動機在有窮步驟內(nèi)完成運

算，而不考慮運算量有多大。但是，從自動機出現(xiàn)故障的實際情況來看，運算步驟越多，出故障（或錯誤）的概率就越大。因此，在計算機的實際應(yīng)用中，我們必須要關(guān)注計算量的大小。在馮·諾伊曼看來，計算量的理論和計算出錯的可能性既涉及連續(xù)數(shù)學(xué)，又涉及離散數(shù)學(xué)。

“就整個現(xiàn)代邏輯而言，唯一重要的是一個結(jié)果是否在有限幾個基本步驟內(nèi)得到。而另一方面形式邏輯不關(guān)心這些步驟有多少。無論步驟數(shù)是大還是小，它不可能在有生的時間內(nèi)完成，或在我們知道的星球宇宙設(shè)定的時間內(nèi)不能完成，也沒什么影響。在處理自動機時，這個狀況必須做有意義的修改”[7] 407。

就一臺自動機而言，不僅在有限步驟內(nèi)要達到特定的結(jié)果，而且還要知道這樣的步驟需要多少步，這有兩個原因：第一，自動機被制造是為了在某些提前安排的區(qū)間里達到某些結(jié)果；第二，每個單獨運算中，采用的元件的大小都有失敗的可能性，而不是零概率。在比較長的運算鏈中，個體失敗的概率加起來可以（如果不檢測）達到一個單位量級——在這個量級點上它得到的結(jié)果完全不可靠。這里涉及的概率水平十分低，而且在一般技術(shù)經(jīng)驗領(lǐng)域內(nèi)排除它也并不是遙不可及。如果一臺高速計算機器處理一類運算，必須完成1012單個運算，那么可以接受的單個運算錯誤的概率必須小于10-12。如果每個單個運算的失敗概率是10-8量級，當(dāng)前認(rèn)為是可接受的，如果是10-9就非常好。高速計算機器要求的可靠性更高，但實際可達到的可靠性與上面提及的最低要求相差甚遠。

也就是說，自動機的邏輯在兩個方面與現(xiàn)有的形式邏輯系統(tǒng)不同：

（1）“推理鏈”的實際長度，也就是說，要考慮運算的鏈。

（2）邏輯運算（三段論、合取、析取、否定等在自動機的術(shù)語里分別是門［gating］、共存、反-共存、中斷等行為）必須被看作是容納低概率錯誤（功能障礙）而不是零概率錯誤的過程。

所有這些，重新強調(diào)了前面所指的結(jié)論：我們需要一個詳細(xì)的、高度數(shù)學(xué)化的、更典型、更具有分析性的自動機與信息理論。缺乏自動機邏輯理論是一個限制我們的重要因素。如果我們沒有先進而且恰當(dāng)?shù)淖詣訖C和信息理論，我們就不可能建造出比我們現(xiàn)在熟知的自動機具有更高復(fù)雜性的機器，就不太可能產(chǎn)生更具有精確性的自動機。

以上是馮·諾伊曼對現(xiàn)代自動機理論數(shù)學(xué)、邏輯理論方法的探討。他用數(shù)學(xué)和邏輯形式的方法揭示了自動機最本質(zhì)的方面，為計算機科學(xué)特別是自動機理論奠定了數(shù)學(xué)、邏輯基礎(chǔ)?？傊?，馮·諾伊曼對自動機數(shù)學(xué)的分析開始于數(shù)理邏輯，并逐漸轉(zhuǎn)向分析數(shù)學(xué)，轉(zhuǎn)向概率論，最后討論了熱力學(xué)。通過這種分析建立的自動機理論，能使我們把握復(fù)雜自動機的特征，特別是人的神經(jīng)系統(tǒng)的特征。數(shù)學(xué)推理是由人的神經(jīng)系統(tǒng)實施的，而數(shù)學(xué)推理借以進行的“初始”語言類似于自動機的初始語言。因此，自動機理論將影響邏輯和數(shù)學(xué)的基本概念，這是很有可能的。馮·諾伊曼說：“我希望，對神經(jīng)系統(tǒng)所作的更深入的數(shù)學(xué)研討……將會影響我們對數(shù)學(xué)自身各個方面的理解。事實上，它將會改變我們對數(shù)學(xué)和邏輯學(xué)的固有的看法?！盵8] 2

現(xiàn)代計算機的邏輯結(jié)構(gòu)以及自動機理論中對數(shù)學(xué)、邏輯的種種探討，都是尋求計算機背后的數(shù)學(xué)核心的頑強努力。數(shù)學(xué)助發(fā)現(xiàn)原則以及邏輯簡單性、形式化、抽象化原則都在計算機研究中得到了充分的應(yīng)用，這都體現(xiàn)了畢達哥拉斯主義數(shù)學(xué)自然觀的影響。

[參考文獻]

[1]桂起權(quán).科學(xué)思想的源流[M].武漢：武漢大學(xué)出版社，1994.

[2] Herman Heine Goldstine.The computer from Pascal to von Neumann[M].Princeton：Princeton University Press，1973.

[3] William Aspray.John von Neumann and the Origins of Modern Computing[M].Cambridge，Massachusetts：The MIT Press，1990.

[4] S.M.烏拉姆.一位數(shù)學(xué)家的經(jīng)歷[M].朱水林，等，譯.上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，1989.

[5] John von Neumann，Arthur W. Burks.Theory of Self-Reproduction Automata[M].Urbana and London：University of Illinois Press，1966.

[6] A.H. Taub.The Collected Works of John von Neumann：vol.5[M].Oxford：Pergamon Press，1963.

[7] William Aspray.Papers of John von Neumann on Computing and Computer Theory[M].Cambridge，Massachusetts：The MIT Press，1987.

[8]馮·諾伊曼.計算機與人腦[M].甘子玉，譯.北京：商務(wù)印書館，2002.

［責(zé)任編輯：熊顯長］

［作者簡介］潘沁（1974-），女，湖北荊州人，武漢輕工大學(xué)馬克思主義學(xué)院副教授，廣西師范大學(xué)政治與行政管理學(xué)院博士后科研流動站研究人員，主要從事計算機科學(xué)哲學(xué)、科學(xué)方法論研究。

［基金項目］廣西教育廳高等學(xué)校人文社會科學(xué)研究資助項目：SK13YB032

［收稿日期］2015-07-08

［中圖分類號］B81

［文獻標(biāo)志碼］A

［文章編號］1001－4799（2015）06－0049－05