轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

左秋碩

(牡丹江市衛(wèi)生學(xué)校，黑龍江牡丹江157011)

著名的美國數(shù)學(xué)教育家波利亞認(rèn)為：“在教學(xué)中，技能比僅僅掌握一些知識重要得多。所以，在中學(xué)給學(xué)生傳授一定數(shù)量知識的同時，也應(yīng)該使學(xué)生具備一定的解題技能?！比~圣陶先生也說過：“教是為了不教”。要達(dá)到這個不教的目的，其中有一個非常重要的環(huán)節(jié)，就是要把數(shù)學(xué)思維方法中的靈魂——“轉(zhuǎn)化”思想傳授給學(xué)生。

一、轉(zhuǎn)化思想的內(nèi)涵

轉(zhuǎn)化思想是把未知解的問題轉(zhuǎn)化到在已有知識范圍內(nèi)可解的問題的一種重要的思想方法。轉(zhuǎn)化可以是條件和結(jié)論的形式或數(shù)學(xué)各分支甚至跨學(xué)科的轉(zhuǎn)化。一般將陌生的轉(zhuǎn)化為熟悉的復(fù)雜的轉(zhuǎn)化為簡單的，抽象的轉(zhuǎn)化為直觀的或遵循正難則反，條件結(jié)論和諧等原則。轉(zhuǎn)化思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中無處不見，我們要不斷培養(yǎng)和訓(xùn)練自覺的轉(zhuǎn)化意識，將有利于強化解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)變能力和思維能力。

數(shù)學(xué)解題實際上是在熟練掌握概念與定理公式的基礎(chǔ)上解決矛盾，完成從“未知”向“已知”的轉(zhuǎn)化。同時，還要注意知識形成過程無處不隱含著人們在教學(xué)活動中解決問題的途徑、手段和策略，無處不以數(shù)學(xué)思想、方法為指南。在解答數(shù)學(xué)題實質(zhì)上就是通過因?qū)Ч驁?zhí)果索因，確立題中條件與問題或條件與結(jié)論邏輯上的必然聯(lián)系，實現(xiàn)由已知向未知的轉(zhuǎn)化，最終達(dá)到已知與未知的統(tǒng)一。對于一些結(jié)構(gòu)簡單的問題，通過適當(dāng)?shù)穆?lián)想就能找到合理的解題途徑，但許多問題如果直接從問題的條件出發(fā)往往陷于困境，甚至事倍功半，這時運用數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思維，把原問題轉(zhuǎn)化成新問題。通過對新問題的分析考察，探究解題思路，從而順利解決原問題，以下舉例分析轉(zhuǎn)化思想在解數(shù)學(xué)題時的應(yīng)用。

二、常見的轉(zhuǎn)化方法及其應(yīng)用

（一）一般與特殊的轉(zhuǎn)化

一般與特殊的轉(zhuǎn)化是中學(xué)數(shù)學(xué)中常見的轉(zhuǎn)化思想。它包含兩方面的含義：一是由特殊轉(zhuǎn)化為一般；二是由一般轉(zhuǎn)化為特殊。首先我看由特殊轉(zhuǎn)化為一般，由于從一般問題入手可使我們的視野更為廣闊，避免在枝節(jié)上糾纏，容易觸及問題的本質(zhì)，所以當(dāng)我們遇到某些特殊問題感到很難解決時，不妨適當(dāng)放寬條件或改變一些條件的限制，把待解決的問題放在一個更為廣泛的視角上，看下面這道例題：

例 1已知 x2+2x-5=9，y2+2y-5=0求 的值。

分析：若直接求出x，y代入 求值，是相當(dāng)麻煩的，但是若能看出所給方程的一般形t2+2t-5=0，而x，y是該方程的兩個根。

則由韋達(dá)定理可知 x+y=-2，xy=-5

由例1可看出，由一般問題入手去解決某些特殊問題，可以發(fā)現(xiàn)本質(zhì)，進而把問題解決。

（二）常量與變量的轉(zhuǎn)化

在有幾個變元的問題中，若轉(zhuǎn)換思考問題的角度，可消除一些討論問題中的分類因素，通過變更主元的方法來求解。

例2已知二次方程ax2+2(2a-1)x+4a-7=0中的a的為正整數(shù)，問a取何值時此方程至少有一個整數(shù)根。

分析：把x看作常量，用x表示a，再利用x為整數(shù)，a為正整數(shù)的條件進一步確定a的取值。

解：原方程可變形為：

因為x=-2不是原方程的解，所以x+2≠0

又因為a為正整數(shù)，所以a≥1

由此可解得：-3≤x≤-1

又因為 x是整數(shù)且 x≠-1所以 x=-3，-1，0，1。

把他們分別代人原方程得

故當(dāng)a=1或a=5時，原方程至少有一個整數(shù)根。

例2采用的方法是變換主元的方法，它主要體現(xiàn)了函數(shù)思想，即把題中的某個量或某些量看作是常量，而其它的量則看作為變量，用常量表示出變量，然后再根據(jù)已知條件進一步求解。

數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用十分廣泛，除了以上幾個方面的轉(zhuǎn)化，還有高次向低次的轉(zhuǎn)化，無限向有限的轉(zhuǎn)化等。各種轉(zhuǎn)化的共同本質(zhì)是變中有不變。轉(zhuǎn)化是手段，揭示其中不變的東西才是目的，為了不變的目的去探索，轉(zhuǎn)化的手段就構(gòu)成解題思路。只要我們在作轉(zhuǎn)化時，要注意數(shù)學(xué)題的特點遵循熟悉化、簡單化、和諧化、直觀化的原則，就可在直接求解原問題難以入手時，把問題作適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，使之變成幾個比原問題簡單，難度低易于解答的新問題，并通過對新問題的分析，發(fā)現(xiàn)原問題的解題思路，最終達(dá)到解決問題的目的

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