例談數(shù)學(xué)解題中的審題方法

內(nèi)蒙古巴彥淖爾市烏拉特前旗第六中學(xué) 于吉容

數(shù)學(xué)家喬治.波利亞說：“解題的成功要靠正確思路的選擇，要靠從可以接近它的方向攻擊堡壘”，這種正確方向的選擇要從審題開始，準(zhǔn)確地讀懂題意是解題的良好開端。審題能力的培養(yǎng)對于在數(shù)學(xué)解題中加強(qiáng)對題意的理解能力，找出解題方向都有著重要意義。下面用實(shí)例來談一談數(shù)學(xué)解題中的幾種審題方法。

一、審“框架”

審題時，應(yīng)注意審查題中的條件與結(jié)論的框架結(jié)構(gòu)特征，設(shè)法與有關(guān)的公式、公理、定理等進(jìn)行聯(lián)系，這樣做不僅有助于找到解題途徑，更有助于提高發(fā)散性思維能力。

例1：一個四邊形的長依次為a ，b，c，d，且 a2+b2+c2+d2=2ac+2bd,確定這個四邊形的形狀并說明依據(jù)。

審析：根據(jù)條件，本題只能從四邊形邊的數(shù)量關(guān)系上進(jìn)行判斷。而題中數(shù)據(jù)a2，c2，2ac和b2，d2，2bd分別可以構(gòu)成一個完全平方公式，原式可變形為a2+c2-2ac+b2+d2-2bd=0，即(a-c)2+(b-d)2=0，得a=c，b=d，從而四邊形是平行四邊形，依據(jù)是兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。

二、審數(shù)據(jù)

審題時應(yīng)特別關(guān)注題中的特殊數(shù)據(jù)，如整數(shù)，勾股數(shù)，特殊角等。通過仔細(xì)閱讀，發(fā)掘數(shù)據(jù)間的聯(lián)系，以尋求解題途徑。

例2：如圖，在ΔABC中,D為BC邊上的點(diǎn),

已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，

求DC的長

審析： 題中數(shù)據(jù)5,12,13是一組勾股數(shù)，利用勾股定理的逆定理可知AD BC，

在Rt ADC中，AD=12，AC=15，可得 DC=9

三、審運(yùn)算

數(shù)學(xué)中的運(yùn)算符號蘊(yùn)涵了相應(yīng)的特征、性質(zhì)，如能揭示運(yùn)算符號所具有的信息，則使問題考慮的更全面，避免錯解，也能大大啟發(fā)解題思路。

例3：如果關(guān)于的一元二次方程 有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，求k得取值范圍。

審析：運(yùn)算符號“二次根式”蘊(yùn)含了被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，即2k+1≥0，而方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根又滿足 △＞0，即2k+5＞0，故k的取值范圍很多同學(xué)不注意二次根式所蘊(yùn)含的性質(zhì)，會直接利用△＞0而得出錯誤結(jié)論

四、審關(guān)鍵詞

數(shù)學(xué)語言是非常嚴(yán)謹(jǐn)，規(guī)范而簡練的，題中不應(yīng)有“可有可無”的詞語，因而在審題時，應(yīng)注意審閱題中的關(guān)鍵詞。尤其是題中一些表示否定性的，或表示范圍，邊界的詞，一定要考慮清包括的情況，避免遺漏。

例4：把一些書分給幾名同學(xué)，如果每人分3本，那么余8本，如果前面的每名同學(xué)分5本，那么最后一人就分不到3本，這些書有多少本？共有多少人？

審析：該題是初中經(jīng)常出現(xiàn)的一類應(yīng)用問題，題中既有相等關(guān)系又有不等關(guān)系，可設(shè)出未知數(shù)列出不等式（組）或方程來解決，方法很多，但每種方法都必須注意條件“分不到3本”所包含的情況。

設(shè)有x名學(xué)生，則有（3x+8）本書，

由題意得0≤（3x+8）－5（x－1）＜3

因?yàn)閤取整數(shù)，所以x=6，3 x+8=26，即書有26本，學(xué)生6名。

在這里列不等式（組）時，易丟“=”，錯解為0＜（3x+8）－5（x－1）＜3。

五、審隱含

隱含往往是深刻的，審題時，若能充分挖掘題中的隱含條件，準(zhǔn)確把握題意，一舉切中要害，可謂明智之舉。

例5：已知拋物線的對稱軸是直線 =2，且其最高點(diǎn)在直線上，求此函數(shù)的解析式。

審析：依題意∴k2-2=k，解得k=2或k=-1，又因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,1），此時，很多同學(xué)容易錯解為當(dāng)k=2時，y=2(x-2)2+1，當(dāng)k=-1時，y=-(x-2)2+1 。實(shí)際上此解忽略了“最高點(diǎn)”的隱含條件“開口向下”，即 k2－2＜0，所以k=2（不合題意，舍去），當(dāng)k=-1時，y=-(x-2)2+1，所求函數(shù)的解析式為y=-x24x-3。

數(shù)學(xué)審題能力是一種不僅包括閱讀、理解、歸納、總結(jié)、類比等多種思維活動，也包括認(rèn)真細(xì)致的態(tài)度和沉著冷靜的心境等非智力因素綜合素質(zhì)的體現(xiàn)。對于復(fù)雜問題的探究過程常常充滿曲折，這時一定要堅(jiān)持不懈，積極思考總結(jié)，終究會有所突破。