一類帶有函數(shù)指數(shù)的Logistic方程正解的有界性

冀鐵果，趙雪婷，董 衛(wèi)

(1.河北工程大學(xué) 理學(xué)院，河北邯鄲056038;2.河北工程大學(xué)水電學(xué)院，邯鄲056038)

我們將討論方程

正解的有界性，其中λ(x)和a(x)是RN中正的連續(xù)函數(shù)，且存在正常數(shù)λ∞和β使得是連續(xù)函數(shù)且存在常數(shù)，使得

方程(1)揭示了空間異質(zhì)性對(duì)化學(xué)反應(yīng)影響的模型。對(duì)p＞1是正常數(shù)的情形，此類問(wèn)題被廣泛研究，詳見(jiàn)參考文獻(xiàn)［1－4］。我們綜合利用文獻(xiàn)［2］中的Sliding Method以及文獻(xiàn)［3］中的比較原理，得到了方程(1)正解的有界性。

結(jié)論及證明

定理:存在正常數(shù)L＞1，使方程(1)的所有正解μ，都有μ≤L。當(dāng)|x|→∞ 時(shí)，所有正解μ滿足:

本定理的證明分解為引理1和引理2的證明。

引理1:如果μ是方程(1)的正解，則

設(shè)γ:}表示一條連續(xù)曲線，并且滿足

取常數(shù)L＞ max{1，supRnμ}，使，則有

對(duì)任意小的正數(shù)ε＞0，總可在內(nèi)找到足夠大的正數(shù)R=Rε＞0使得不等式+ε和p∞－ε＜p(x)＜p∞+ε同時(shí)成立。由于 sup|x|=Rv＜1，所以可在區(qū)間(sup|x|=Rv，1)內(nèi)選一個(gè)常數(shù)η，做方程

令wε表示方程(2)的唯一正解。根據(jù)文獻(xiàn)［3］中的定理 1 可知，當(dāng) |x|→∞ 時(shí)，ωε→，即

可以取足夠小的正數(shù)ε，使不等式 0＜成立。

假設(shè)k*＞1，則函數(shù)是C2上的非負(fù)函數(shù)且在上滿足:

當(dāng)k*≤1時(shí)，由于ωε≥v，且，所以μ=Lv≤Lωε。由式(3)可得

所以

［1］HENRI BERESTYCKI，F(xiàn)RANCOIS HAMEL，LUCA ROSSI.Liouville－ type results for semilinear elliptic equations in unbounded domains.Ann.Mat.Pura Appl.(4)，2007(3):469－507.

［2］WEI DONG.Positive solutions for logistic type quasilinear elliptic equations on RN .［J］.Math.Anal.Appl.，2004(2):469－480.

［3］YIHONG DU，LI MA.Logistic type equations on RN by a squeezing method involving boundary blow－up solutions［J］.London Math.Soc.2001，64(1):107 －124.

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