考慮車輛機械慣性的跟馳模型及其數(shù)值模擬分析

周 桐，李雨宣，楊智勇，孫棣華

(1．重慶工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院 信息工程學(xué)院，重慶402260;2．重慶大學(xué) 自動化學(xué)院，重慶400044)

0 引言

城市道路交通問題日趨嚴(yán)峻，而駕駛行為與交通擁堵關(guān)系密切． 為了認(rèn)知駕駛行為與交通擁堵之間的關(guān)系，眾多學(xué)者提出了很多交通流模型［1-3］．Bando 等［4］、Helbing 等［5］、姜銳等［6］根據(jù)一些典型的交通現(xiàn)象，提出了一系列具有代表性的模型，具有較好模擬效果．但上述模型僅考慮了最鄰近車輛的運動狀態(tài)信息． 隨著智能交通系統(tǒng)的發(fā)展，車輛信息獲取的條件改善，有利于獲取道路上其它車輛的信息，為準(zhǔn)確地認(rèn)識駕駛行為與交通擁堵的關(guān)系奠定了基礎(chǔ)．基于典型的FVD 模型［6］，已有學(xué)者通過考慮多輛前導(dǎo)車的相關(guān)信息，提出了一系列的擴展模型．其中，既有針對車頭距的協(xié)同駕駛模型［7］和針對多速度差的跟馳模型［8］，也有綜合兩者信息的跟馳模型［9-11］． 研究表明，考慮多車作用關(guān)系的駕駛行為對擁堵具有抑制作用．

上述模型均能較好地提高車流的穩(wěn)定性和描述實際的交通現(xiàn)象，卻未考慮車輛系統(tǒng)中機械慣性效應(yīng)對交通流的影響，導(dǎo)致在模擬車隊靜止啟動時，頭車的加速度出現(xiàn)瞬間跳躍現(xiàn)象，而這種現(xiàn)象在實際的車流運行中是不可能存在的． 由于車輛機械慣性阻礙車輛運動狀態(tài)發(fā)生變化，導(dǎo)致車輛加速至最優(yōu)狀態(tài)需要一段時間，不能瞬間變化．因此，車輛的機械慣性對車輛的駕駛行為具有重要的影響．目前，考慮車輛機械慣性效應(yīng)的跟馳模型鮮見報道，因此，筆者在FVD 模型的基礎(chǔ)上，考慮車輛機械慣性對駕駛行為的影響，提出一種新的跟馳模型，并通過車隊靜止啟動過程和車輛動態(tài)演化數(shù)值仿真驗證了改進(jìn)模型的合理性和必要性．

1 跟馳模型

1995 年，Bando 等［4］在經(jīng)典跟馳模型基礎(chǔ)上提出優(yōu)化速度(OV)模型，其運動學(xué)方程為

式中:vj(t)，xj(t)，Δxj(t)和adesiredj(t)分別表示第j 輛車在t 時刻的速度、位置、車頭間距和期望加速度;k 為司機的敏感系數(shù);V(·)是與Δxj(t)相關(guān)的優(yōu)化速度函數(shù)． 應(yīng)用該模型可以模擬實際交通中諸如時停時走，交通遲滯、交通阻塞的傳播等非線性交通現(xiàn)象．

1998 年，Helbing 和Tilch 采用實測數(shù)據(jù)對OV 模型進(jìn)行了參數(shù)標(biāo)定，發(fā)現(xiàn)該模型存在著過高加速度以及與現(xiàn)實不符的減速度，因此，通過引

式中:Δvj=vj+1-vj為車輛的相對速度;H(-Δvj)是Heaviside 階梯函數(shù);λ 是對最鄰近前車相對速度的反應(yīng)系數(shù)． 盡管該模型避免了OV 模型中出現(xiàn)過高加速度的情況，然而卻出現(xiàn)了延遲時間較長的新問題，同時也不能解釋Treiber 等［5］指出跟馳車輛速度比前車小很多時，盡管兩者距離小于安全距離，跟馳車輛也不會減速的正速度差現(xiàn)象．因此2001 年，姜銳等人基于GF 模型提出了全速度差(FVD)模型，其運動方程［6］:

模型中參數(shù)k 和λ 的物理意義與文獻(xiàn)［5］一致．此后，在FVD 的基礎(chǔ)上，一系列擴展模型被相繼提出［7-10］．

上述跟馳模型對交通流具有致穩(wěn)的作用，也能在一定程度上描述駕駛行為與交通擁堵的關(guān)系，但這些模型未考慮車輛自身的機械慣性對車流的影響．在實際車輛控制中，駕駛員首先感知車輛周圍的環(huán)境信息，然后經(jīng)過駕駛員大腦分析、處理和決策，給定一個期望的加速度控制指令，然后通過手和腳作用于車輛使之加速還是減速，在作用過程中由于受車輛機械慣性的影響，使得給定的期望加速度發(fā)生了一定的改變，即為實際的加速度．因此，基于FVD 模型，筆者提出一個考慮車輛機械慣性效應(yīng)的跟馳模型，其形式為

式中:lc為車輛長度，在數(shù)值仿真中l(wèi)c=5 m．其它參數(shù)值V1，V2，C1和C2分別為6． 75 m/s，7． 91 m/s，0．13 m-1，1．57．

2 穩(wěn)定性分析

為了方便后續(xù)模型的穩(wěn)定性分析，筆者從控制角度對模型(4)進(jìn)行了重寫:

假設(shè)車隊頭車以恒定的速度v0運行，則跟隨車的穩(wěn)定狀態(tài)為

將模型(6)在穩(wěn)定狀態(tài)式(7)周圍線性化，得到了交通系統(tǒng)(6)在穩(wěn)定狀態(tài)附近的擾動模型描述如下:

則模型(6)在穩(wěn)定狀態(tài)附近的狀態(tài)空間表達(dá)式為:

其中設(shè)定τ=1/p，vj(t)=δvj(t)+v0，Δxj(t)=δxj(t)+h0，Λ 為優(yōu)化速度函數(shù)在Δxj(t)=V-1(v0)處的斜率，

考慮跟馳模型中連續(xù)兩輛車即第j+1 輛車的速度與第j 輛車的速度關(guān)系，從頻域角度來看，模型(6)可以進(jìn)一步改寫成

Vj(s)=G(s)·Vj+1(s)． (10)

式中:Vj(s)=L(δvj+1(t));Vj+1(s)=L(δvj+1(t))，L(·)代表拉普拉斯變換，這樣傳遞函數(shù)G(s)為:

其中，d(s)=τλ(s3+τs2+(τk+τλ)s+τkΛ)．

基于Konishi 等［1］提出的系統(tǒng)穩(wěn)定性分析方法，給出了一個不出現(xiàn)交通擁堵現(xiàn)象的引理．

引理1 系統(tǒng)(6)不會出現(xiàn)擁堵現(xiàn)象必須滿足兩個條件:一是特征多項式d(s)是穩(wěn)定的;二是傳遞函數(shù)G(s)的H∞范數(shù)小于等于1，即

根據(jù)引理1，對式(11)進(jìn)行求解得到了交通系統(tǒng)保持穩(wěn)定的條件

從式(12)中可以看出，系統(tǒng)隨著τ 的減小，系統(tǒng)的性能越好． 圖1 表示交通系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(s)的增益曲線|G(jw)|． 從圖中可以看出:當(dāng)τ=1，0．5，0．4 時，增益曲線|G(jw)|出現(xiàn)一個峰值，但峰值過后衰減速度較快;而當(dāng)τ =0．25 時，增益曲線|G(jw)|沒有出現(xiàn)峰值，但峰值過后衰減速度較慢．可見在筆者提出的模型中在其它參數(shù)不變的情況下，隨著駕駛員對車輛機械慣性關(guān)注程度的增加，有利于改善車輛控制系統(tǒng)的性能．因此，車輛機械慣性對駕駛行為與交通擁堵的關(guān)系起著重要作用．

圖1 系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(s)的增益曲線Fig．1 The gain curve of G(s)

3 數(shù)值仿真

筆者通過車隊靜止啟動仿真和車輛動態(tài)演化仿真對新模型的動態(tài)性能進(jìn)行驗證．

3．1 啟動過程對比仿真

下面研究筆者提出的模型在黃燈轉(zhuǎn)向綠燈時交通信號環(huán)境下的車輛啟動情況，并檢驗新模型的動態(tài)特性． 模擬靜止車隊的啟動過程:在t ＜0時，交通信號為紅燈，10 輛車排成一隊，每輛車的初始位置為xn(0)=(n -1)d，其中n =1，2，…，10，d =7．4 m，所有車輛初始狀態(tài)都處于靜止?fàn)顟B(tài)，即vn(0)=0，(n =1，2，…，10);在t =0 時，黃燈轉(zhuǎn)綠，車輛開始啟動．其它邊界條件:對于頭車n=10，最優(yōu)速度函數(shù)為V10(∞)=14．66 m·s-1，對于跟隨車，有Vn(7．4)=0，(n =1，2，…，9)．為了與FVD 模型作對比實驗，設(shè)置兩個模型的參數(shù)相同．在模擬中，選取λ =0．5 和k =0．41 s-1，并選取Helbing 和Tilch 用實測數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)辨識得到的OV 函數(shù)(5)式，模擬結(jié)果如圖2 和圖3 所示．圖2 給出了車隊靜止啟動時新模型與FVD 模型中頭車的加速度分布曲線，從圖2 中可見FVD模型中頭車的加速度出現(xiàn)瞬間跳躍的現(xiàn)象，而新模型中頭車加速度沒有出現(xiàn)這種現(xiàn)象，而是緩慢變化升至最大值，這符合實際的交通規(guī)律．

圖2 頭車的加速度分布曲線Fig．2 The acceleration distribution curves of unobstructed leading vehicle in two models

圖3 為兩個模型中車輛啟動過程的速度分布曲線．從圖中可以看出，F(xiàn)VD 模型車隊啟動的延遲時間較新模型的啟動時間要短．這是FVD 模型由于沒有考慮車輛自身機械慣性的影響，所以到達(dá)穩(wěn)態(tài)速度的時間較快，而筆者設(shè)計的模型由于慣性延遲的作用，到達(dá)穩(wěn)定速度時間要慢．同時，可以從圖中可以看出，F(xiàn)VD 模型中速度的斜率較新模型中的斜率大，說明駕駛員期望加速度要大于實際的加速度．根據(jù)上述分析，筆者提出的模型在啟動過程中，能夠克服車隊靜止啟動時頭車加速度瞬間跳躍的現(xiàn)象，同時車輛速度加速至最優(yōu)速度的時間要長于FVD 模型的結(jié)果．

3．2 演化過程對比仿真

為了更加直觀地分析車輛機械慣性對車流穩(wěn)定性的作用，現(xiàn)利用數(shù)值模擬以驗證筆者提出的模型演化特性．設(shè)周期邊界條件為:L =1 500 m，車輛數(shù)N = 100，對頭車施加小擾動x1(0)=L/N+1下，敏感系數(shù)選取a =0．41 s-1，其它參數(shù)λ=0．5，τ=0．5．車輛的初始條件如下:

圖3 車輛啟動過程的速度分布Fig．3 The velocity distribution of vehicles starting process

x1(0)=1 m，xn(0)=(n-1)L/N(n=2，3，…，N)，vn(0)=V(L/N)(n=1，2，…，N)．

圖4 和圖5 為FVD 模型和新模型在t=500 s和t=1 200 s 處的速度分布曲線圖． 在圖中，當(dāng)p=0時，新模型退化成FVD 模型． 從模擬結(jié)果中可以得知:在兩個模型中，由于不能滿足穩(wěn)定性條件(12)，這樣，初始小擾動隨著車隊的向后傳播放大，最終引起時走時停的交通阻塞現(xiàn)象．但值得注意的是，當(dāng)t=500 s 時，發(fā)現(xiàn)新模型的速度波動幅度較FVD 模型的結(jié)果要小，即由于機械慣性的作用，導(dǎo)致實際加速度比期望加速度要小，因此，新模型中的實際速度是小于FVD 模型中期望速度的．而且由于慣性延遲作用導(dǎo)致新模型的速度波動的時間較FVD 模型的結(jié)果要相對滯后一小段時間．而當(dāng)t=1 200 s，由于兩個模型中車輛已經(jīng)出現(xiàn)時走時?，F(xiàn)象，所以速度波動的幅度幾乎一致，但是新模型的速度波動時間還是滯后于FVD 模型模擬結(jié)果的時間．這足以說明在FVD 模型中考慮了車輛機械慣性能更加真實地描述實際的駕駛行為與交通擁堵關(guān)系．

圖4 時步t=500 s 的車輛速度分布Fig．4 The snapshots of the velocities of two models at t=500 s

圖5 時步t=1 200 s 的車輛速度分布Fig．5 The snapshots of the velocities of two models at t=1 200 s

4 結(jié)論

筆者在FVD 模型的基礎(chǔ)上，考慮車輛機械慣性的作用，提出了一個新的跟馳模型．通過系統(tǒng)穩(wěn)定性分析，得到了系統(tǒng)保持穩(wěn)定的條件．仿真結(jié)果表明:與FVD 模型相比，考慮車輛機械慣性的作用能夠克服FVD 模型中車隊靜止啟動頭車的加速度出現(xiàn)瞬間跳躍現(xiàn)象;同時，新模型較FVD 模型能夠更加真實地模擬實際交通現(xiàn)象，從而驗證了模型的性能優(yōu)越性和合理性． 筆者主要研究單車道限制超車跟馳模型的交通特性，下一步將在筆者提出的模型中引入換道規(guī)則，研究雙車道車流的演化特性．

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