探究統(tǒng)籌問題之最優(yōu)策略—“牽牛過河”問題的解題策略

湖南省長沙市長沙縣黃興鎮(zhèn)中心小學(xué) 曹 燦

一、選題

放牛娃騎在牛背上趕牛過河。共有甲、乙、丙、丁四頭牛，甲牛過河需要1分鐘，乙牛需要2分鐘，丙牛需要5分鐘，丁牛需要6分鐘。每次只能趕兩頭牛過河。問要把4頭牛趕過河，最少要幾分鐘？

二、題目背景

過河問題與人教版義務(wù)教科書四年級上冊的烙餅問題、沏茶問題、卸貨問題等，都蘊含著運籌思想，此題源于教材高于教材。統(tǒng)籌思想是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要分支，最優(yōu)策略就是其中的一種重要思想，其核心是：在解決問題的多種方案中，尋找最合理、最省時、最節(jié)約等最優(yōu)方案。

在小學(xué)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練中，這類問題較常見，它有利于培養(yǎng)學(xué)生的獨立探究問題的能力，此題中蘊含著統(tǒng)籌思想、類比思想、組合思想、化歸思想等。為學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生能夠跳出模型看問題的能力。

三、題目分析

這是一個最優(yōu)化的問題，其實無論怎么趕牛，牛都可以到達對岸，只不過時間不同罷了。但要求時間最少，那么就得抓住關(guān)鍵，這里的關(guān)鍵就是有牛到對岸之后，還得載著牧童回來。因此，過河的時間分為去和回的時間，我們考慮用時最少，可以從這兩個方面來思考如何安排會最省時。去的時候是兩頭牛同時過，時間只能以兩者之慢者相同，用時最多的牛只能走一次，騎回來的牛只能是用時最少的。此題的重點是認(rèn)識到解決同一問題有多種策略，能夠找到最優(yōu)的解決方案。難點是如何找到用時最少的解決方案，并構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。

四、解題思路

教學(xué)時，我試圖讓學(xué)生通過例舉、觀察、分析、比較、歸納、驗證，形成解決這類問題的思路和方法。

這是一道最優(yōu)化問題，要使時間最少，應(yīng)抓住三點。

時間要最少，那么在趕4頭牛的過程當(dāng)中，牧童要來回趕5個單趟。其中有2次是騎回來。也就是說肯定有牛是要走多趟。那么應(yīng)該盡量讓時間少的牛回來。這樣就可以確定讓時間多的牛直接走一趟到對岸就行了。那么只能將較慢的安排在一起走一趟。一是在趕4頭牛的過程中，小明要來回走5次，其中去3次回2次。也就是有牛要走多次。那么應(yīng)該騎用時最少的牛回來。二是為了省時，盡量把時間差小的兩頭牛一起趕。三是保證用時最多的牛與用時次多的一起過直接走一趟過河。

五、題目解法

第一步：“走幾趟”。

一、二頭牛過河，只需走一趟；

三頭牛，第一次過兩頭，騎回來一頭，再過去兩頭，就是去2次，回1次；

四頭牛，在三頭牛的基礎(chǔ)上，放牛娃得再騎回來一次，再過趕一次過去，就是去3次，回2次；

五頭牛，同理推斷，每增加一頭牛，就要分別增加一次去和回趟數(shù)。

因此，我們可以得出：有N頭牛過河（3頭以上），就要去（N-1）次，回（N-2）次，也就是共要走（2N-3）趟。

第二步：優(yōu)化組合。

學(xué)生想到的第一種方案是：每次都騎用時最少的甲?；貋?，認(rèn)為這樣，確保了回來的時間最少。但是，我們具體分析一下：2、5、6分鐘的牛分別都要與它同行，這樣過去的時間就不是最少的。共用時：6+5+2+1+1=15分鐘。

既然想到了回來用時最少的方案，學(xué)生就不難想到如果確保過去用時最少，那會是怎樣的效果呢？首先，要使去的時間最少，我們需要把這些牛進行合理的組合，用時最多的6分鐘的牛一定要走一次，這6分鐘是不能省的，那么與它同行的選擇哪頭呢？想必是用時次多的5分鐘的牛，這樣省出一個5分鐘。1分和2分的一起走，省出1分鐘。其次，我們還要考慮回來的時間最少，這兩組誰先過呢？當(dāng)然是1、2分鐘的，它們先過，放牛娃騎用1分鐘的回來，5、6分鐘的一起過去，騎2分鐘的?；貋?，最后，1、2分鐘的一起過。這樣，我們保證了去的時間最少，共用時6+2+1+2+2=13分鐘。

第三步：比較方案、擇優(yōu)建模

比較這兩種方案的結(jié)果，我們得出答案：用時最少的是13分鐘。那么，第一種方案，有它的實用價值嗎？

假設(shè)甲乙丙丁四頭牛過河時間分別為a、b、c、d分鐘，其中0＜a＜b＜c＜d，第一種方案共用時：b+c+d+a+a, 第二種方案共用時：b+d+b+a+b。

觀察這兩個算式，相同的部分都有a、b、d，不同的部分就是a+c與2b

要使用時最少，就得看a+c與2b的關(guān)系，如果a+c＜2b，那么采用第一種方案；如果a+c＞2b，那么采用么第二種方案；如果2b=a+c，那么兩種方案是結(jié)果相同。

六、題目變化

4個旅行者因趕路而不得不在夜晚過一座木橋。但他們只有一個僅能照亮29秒的手電筒。這座木橋最多只能同時載2人，4人通過橋的時間分別是3秒、5秒、6秒、12秒。這些旅行者怎樣可以安全地過橋呢 5人過橋，要走幾趟？2×5-3=7趟。采用哪種方法最省時呢？比較一下2b與a+c的關(guān)系：2×5＞3+6，2b＞a+c， 第一種方案，過橋用時最少的人分別和其他人一同行，由他拿手電筒回來，所以共用時：5+6+12+3+3=29（秒）。解決這種題型，我們要做到具體問題具體分析。

七、題目拓展

小明騎在牛背上趕牛過河，共甲乙丙丁戊己六頭牛，分別需要時間是1分鐘,2分鐘,4分鐘,6分鐘,7分鐘, 9分鐘,每次只能騎一頭牛，趕一頭牛過河，請你幫小明想一想，過河時間最少需多少分鐘？

解題思路：

第一，共要走2×6－3＝9（趟）。

第二，2×2＜1+4即：2 b＜a+c,采用第一種方法

第三，1和2分鐘、4和6分鐘、7和9分鐘分別進行組合。

1、2過去，2分鐘，1回1分鐘。

4、6過去，6分鐘，2回2分鐘。

1、2過去，2分鐘，1回1分鐘。

7、9過去，9分鐘，2回2分鐘。

1、2過去2分鐘。

4、計算：5 ×2+2×1+6+9=29(分)

八、感悟與反思

作為學(xué)生的引導(dǎo)者，我們?nèi)绾螢閷W(xué)生選擇源于教材、高于教材、與時俱進，精益求精的素材；盡可能地呈現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，挖掘其思維價值，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)問題的現(xiàn)實性、探索性和挑戰(zhàn)性。