梅花開二度 函數(shù)競(jìng)風(fēng)流

盧會(huì)鋒

“暗淡了刀光劍影，遠(yuǎn)去了鼓角錚鳴”，2013年的高考，2014年的高考，漸行漸遠(yuǎn)，卻也留下了一個(gè)個(gè)熟悉的“面孔”，浙江兩年高考的第17題給我們留下了深刻的印象.2015年的高考，又將馬上來臨，回顧過去，展望未來，如何發(fā)揮高考題的教學(xué)功能，把握復(fù)習(xí)的備考方向，提高數(shù)學(xué)解題教學(xué)功能，是我們努力的目標(biāo).在深化課程改革的大潮中，什么是數(shù)學(xué)課程永恒的主題？只有數(shù)學(xué)思想才能指導(dǎo)數(shù)學(xué)解題行動(dòng). 本文將通過兩個(gè)題的分析，揭示函數(shù)等數(shù)學(xué)思想將是命題者“明察暗訪”的對(duì)象. 鏈接我們的高考復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)，數(shù)學(xué)思想從后臺(tái)走向前臺(tái)，滲透數(shù)學(xué)思想成為教師在復(fù)習(xí)中的行動(dòng)指南，成為提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的關(guān)鍵.

一、2013、2014年浙江數(shù)學(xué)文理科第17題解法及分析

（1）設(shè)e1，e2為單位向量，非零向量b=xe1+ye2，x，y∈R，若e1，e2的夾角為■，則■的最大值等于________.

解法一：以向量的坐標(biāo)表示和b公式為突破口，輔以變量化多為少的思想.

設(shè)e1=（1，0），e2=（■，■），則b=（x+■y，■y），所以b=■=■（*），于是■ =■，

當(dāng)x=0時(shí)，■ =0，當(dāng)x≠0時(shí)，■ =■=■.

故當(dāng)■=-■時(shí)，■取得最大值為2.

評(píng)析：這個(gè)解法主要是利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，然后轉(zhuǎn)化為求一元二次函數(shù)的最小值問題，思維能力要求不是很高，但是運(yùn)算量比較大.

解法二：由方程思想，將*式表示成y2+■xy+x2-b2=0（一個(gè)方程，兩個(gè)變量，依靠Δ解決）.

評(píng)析：這個(gè)解法主要是將模轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積運(yùn)算，然后將問題轉(zhuǎn)化為實(shí)系數(shù)方程有解的問題，用判別式的功能求得最大值問題.由于判別式中出現(xiàn)一個(gè)關(guān)于x，b的齊二次式，求■的最大值真是恰到好處.思維能力要求比較高，但是運(yùn)算量比較少.

解法三：構(gòu)造思想，由條件：e1，e2的夾角為■，構(gòu)造e1·e2.并以消去y為思考基點(diǎn).同時(shí)還要用到向量的三角不等式.由題b·e1=xe1·e1+ye1·e2=x+■y，b·e2=xe1·e2+ye2·e2=■x+y. 得■x=b·e1-■b·e2=b（e1-■e2），可以求得e1-■e2=■，所以■x=b·e1-■b·e2≤be1-■e2=■b，得■取得最大值為2.

評(píng)析：這個(gè)解法主要是利用數(shù)量積的運(yùn)算的意義，將向量方程通過數(shù)量積轉(zhuǎn)化二元一次方程， 通過方程的恒等變形和數(shù)量積的不等式放縮，得到最大值.理解向量的數(shù)量積的本質(zhì)含義，就可以非常順利地實(shí)現(xiàn)向量與實(shí)數(shù)間轉(zhuǎn)化.

此外，也有用數(shù)形結(jié)合的思想和分類討論思想解決等方法，此處不再贅述.

（2）如圖1，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點(diǎn)A處進(jìn)行射擊訓(xùn)練.已知點(diǎn)A到墻面的距離為AB，某目標(biāo)點(diǎn)P沿墻面上的射線CM移動(dòng)，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)P，需計(jì)算由點(diǎn)A觀察點(diǎn)P的仰角θ的大小.若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，則tanθ仰角的最大值是_________（仰角θ為直線AP與平面ABC所成角）.

解法一：如圖1，過點(diǎn)P作PH⊥BC，垂足為H，連結(jié)AH，則∠PAH=θ. ∵AB=15，AC=25，BC=20.設(shè)PH=t， ?∵∠BCM=30°，CH=■t，BH=20-■t，則tanθ=■=■=■，當(dāng)t=■時(shí)，tanθ的最大值是■.

解法二：如圖2，過點(diǎn)P作PH⊥BC，垂足為H，連結(jié)AH，則∠PAH=θ. 過點(diǎn)H作HE⊥AC，垂足為E，連結(jié)PE. 過點(diǎn)B作BF⊥AC，垂足為F，過點(diǎn)B作BQ⊥BC，交射線CM于點(diǎn)Q，連結(jié)QF，則∠PEH和∠QFB都是二面角M-AC-B的平面角φ. ∵AB=15，AC=25，∴BC=20. tanθ=■≤■=■=tanφ，即仰角的最大角就是二面角M-AC-B的平面角φ. ∵∠BCM=30°，∴QB=■. BF=12，則tanφ=■=■.

本解法利用二面角的性質(zhì)，充分挖掘立體幾何中的一些本質(zhì)東西，避免了解法一復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算.其解決的前提是對(duì)一些基本圖形的深刻認(rèn)識(shí).

二、教學(xué)啟示

（一）函數(shù)思想是解此二題最基本的數(shù)學(xué)思想

本文列舉的多種解法可見，利用函數(shù)思想是解題的最一般思考. 特別是題目的關(guān)鍵詞“求最大值”提示我們，此二題的常規(guī)思路是建立函數(shù)模型，確定定義域后求最值.可以說，函數(shù)思想是解此題的“根本大法”，相對(duì)來說，其他方法就顯得有些“雕蟲小技”了.但是當(dāng)建立函數(shù)模型的過程中，出現(xiàn)如：tanθ=■=■怎么辦？為什么要將t放到分母？這涉及平時(shí)教師的教學(xué)理念：教師的功在于“度”，要關(guān)注學(xué)生的“悟”.分子、分母都存在變量時(shí)，根據(jù)數(shù)學(xué)化多為少、化繁為簡(jiǎn)的原則，將t放到分母變量集中了，函數(shù)模型建立了！數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的本質(zhì)內(nèi)容，我們的教學(xué)要重視數(shù)學(xué)思想的解題指導(dǎo)作用.

（二）重視基本圖形的解題平臺(tái)作用

2014年第17題包含以下基本圖形. 寧波中學(xué)特級(jí)教師王曉明認(rèn)為圖3是一個(gè)重要圖形.AB⊥平面OBH，BH⊥OH.基本結(jié)論：①cos∠AOB=■;②∠AOH<∠AHB. 此結(jié)論在人教版教科書上雖沒明確提出，但是教師在闡述線面角是平面外直線與平面內(nèi)直線所成角中最小角時(shí)必須推證的結(jié)論，否則就有重結(jié)論輕過程的嫌疑.

蔡上鶴先生認(rèn)為：數(shù)學(xué)中的基本圖形是數(shù)學(xué)的經(jīng)典內(nèi)容，數(shù)學(xué)教師要重視數(shù)學(xué)經(jīng)典的傳播.由此可見，若教師平時(shí)教學(xué)重視基本圖形的積累，也給2014年第17題解決打開另一扇門，而且是極有創(chuàng)意的門，是學(xué)生創(chuàng)造性才能的集中體現(xiàn).這符合《數(shù)學(xué)科考試說明》指出的“數(shù)學(xué)科考試——要考查中學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的掌握程度，要考查對(duì)數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解水平，要考查進(jìn)入高等學(xué)校繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能”.

（三）低起點(diǎn)、高立意實(shí)施復(fù)習(xí)教學(xué)的啟示endprint

首先，堅(jiān)持低起點(diǎn)、高立意實(shí)施復(fù)習(xí)教學(xué)，讓學(xué)生系統(tǒng)掌握各種基本知識(shí)和基本方法，為綜合運(yùn)用打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ);其次，在熟練掌握基本知識(shí)和方法的基礎(chǔ)上，還要發(fā)揮數(shù)學(xué)思想作為聯(lián)系知識(shí)與能力的橋梁作用.這正是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》目標(biāo)明確指出的要使學(xué)生“獲得必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和基本技能，理解基本的數(shù)學(xué)技能、數(shù)學(xué)結(jié)論，體會(huì)其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法”.還特別提出實(shí)施建議：對(duì)一些核心概念和基本思想要貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)教育的始終，幫助學(xué)生加深理解，如2013年第17題考查向量的模、向量的數(shù)量積等核心概念.本文兩個(gè)題起點(diǎn)并不高，但所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法是明顯的，這也正是高考命題的意圖. 以能力立意，加大對(duì)運(yùn)算能力和思維能力的考查，同時(shí)滲透基本的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用.為了提高高三復(fù)習(xí)效果，在以后的教學(xué)中應(yīng)始終貫徹這一主題.

三、2015年高考函數(shù)模塊的命題展望

（一）二次函數(shù)的考查可能成為“暗訪”對(duì)象

2015、2016年浙江高考是17年深化課程改革的過渡階段.此階段的函數(shù)模塊課程做了較大的調(diào)整. 相對(duì)于2013、2014年來說，刪去了導(dǎo)數(shù)內(nèi)容，導(dǎo)數(shù)內(nèi)容只在自選模塊考查，這樣二次函數(shù)的地位就凸顯出來了.2015年函數(shù)會(huì)怎么考？從2013年和2014年第17題出發(fā)，我們可以遐想，函數(shù)內(nèi)容特別是二次函數(shù)內(nèi)容，函數(shù)思想將是命題的重要角色. 我們相信，二次函數(shù)的考查絕不會(huì)“明查”，而是“暗訪”，否則就談不上高考與中考的區(qū)別了.

（二）函數(shù)成為壓軸題的設(shè)想

2014年第17題再現(xiàn)函數(shù)的生活背景，是浙江省命題的一個(gè)新動(dòng)向. 眾所周知，浙江省單獨(dú)命題以來，極少有函數(shù)應(yīng)用題的出現(xiàn). 數(shù)學(xué)命題組長(zhǎng)金蒙偉老師也在多個(gè)場(chǎng)合表示，除非有很好的應(yīng)用題背景，應(yīng)用題才有可能成為高考題.可尋求一個(gè)好的生活背景談何容易，這里既要考慮試題的公平性，又要有利于函數(shù)建模.由于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)畢竟是為了應(yīng)用，特別是弗蘭登塔爾關(guān)于數(shù)學(xué)生活化的影響，以及高考試題的導(dǎo)向功能，高考試題甚至是壓軸題，不能排除應(yīng)用題，本文標(biāo)題“梅花開二度”表明數(shù)學(xué)高考題的命制有承前啟后的意圖，2014年第17題的命題形式為2015年高考出函數(shù)應(yīng)用題設(shè)下了伏筆.應(yīng)用題復(fù)習(xí)時(shí)我們還需有備無患，而不能聽天由命，要從提高建模意識(shí)和能力上下功夫.

（三）“對(duì)鉤”函數(shù)存在的理由

2015年的高考復(fù)習(xí)正處于備戰(zhàn)中，筆者正好任教2014、2015年的高三數(shù)學(xué)，感到學(xué)習(xí)內(nèi)容少了，可學(xué)生學(xué)的要求提高了.二次函數(shù)的考查在2013、2014年高考中得以充分體現(xiàn)，可畢竟“孫悟空跳不開如來佛的手掌”，考查的內(nèi)容、方式有限.這就給“對(duì)鉤”函數(shù)的加入提供了可能，從一般化與特殊化思想的互為轉(zhuǎn)化來看，“對(duì)鉤”函數(shù)是均值不等式的更一般化問題的解決工具，而均值不等式是“對(duì)鉤”函數(shù)的特殊情況而已.本文兩題解法一的過程都極有可能轉(zhuǎn)化到“對(duì)鉤”函數(shù)的形式.endprint