復(fù)數(shù)易錯剖析

劉族剛

當(dāng)數(shù)集擴(kuò)充到復(fù)數(shù)集之后，很多內(nèi)容得到了完善，一些在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無法解決的問題也可以順利地得到解決. 由于對復(fù)數(shù)的概念理解不透徹、盲目類比實(shí)數(shù)的一些性質(zhì)和運(yùn)算法則等，往往容易陷入“雷區(qū)”.

易錯1 ?復(fù)數(shù)的有關(guān)概念理解不清

例1 ?下面命題中正確的命題有 ? ? 個.

（1）兩個共軛復(fù)數(shù)的差是純虛數(shù)

（2）若[z∈C]，則[z2≥0]

（3）若[z1，z2∈C，]且[z1-z2>0]，則[z1>z2]

（4）若[a>b]，則[a+i>b+i]

錯解 ?4

分析 ?（1）當(dāng)?shù)玫絒z-z=2bi]時就認(rèn)為是純虛數(shù)，忽略了[b]可以為0的情況.

（2）認(rèn)為任何一個實(shí)數(shù)的平方大于等于0可以推廣到復(fù)數(shù)中.

（3）認(rèn)為兩個實(shí)數(shù)之差大于0等價于前一個實(shí)數(shù)大于后一個實(shí)數(shù)可推廣到復(fù)數(shù)中.

（4）把不等式性質(zhì)錯誤地推廣到復(fù)數(shù)中，忽略不等式是在實(shí)數(shù)中成立的前提條件.

正解 ?（1）錯誤. 設(shè)互為共軛復(fù)數(shù)的兩個復(fù)數(shù)分別為[z=a+bi]及[z=a-bi][（a，b∈R）].

則[z-z=2bi]或[z-z=-2bi].

當(dāng)[b≠0]時，[z-z，z-z]是純虛數(shù).

當(dāng)[b=0]時，[z-z=0，z-z=0].

（2）錯誤. 反例，設(shè)[z=i]，則[z2=i2=-1<0].

（3）錯誤. 反例，設(shè)[z1=3+i，z2=2+i]，

滿足[z1-z2=1>0]但[z1，z2]不能比較大小.

（4）錯誤. [∵a>b，∴a，b∈R].

故[a+i，b+i]都是虛數(shù)，不能比較大小.

故正確的命題是0個.

點(diǎn)撥 ?看清命題的條件和結(jié)論，準(zhǔn)確理解與記憶復(fù)數(shù)的有關(guān)概念與性質(zhì).

易錯2 ?復(fù)數(shù)相等的條件應(yīng)用出錯

例2 ?已知[x]是實(shí)數(shù)，[y]是純虛數(shù)，且滿足[（2x-1）+i=y-（3-y）i]，求[x]與[y]的值.

錯解 ?根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件，可得[2x-1=y，1=-（3-y），]解得[x=52，y=4.]

分析 ?誤把等式兩邊看成復(fù)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式加以求解.

正解 ?根據(jù)已知條件x是實(shí)數(shù)，y是純虛數(shù)，可設(shè)y=bi（[b∈R，b≠0]），

代入關(guān)系式[（2x-1）+i=y-（3-y）i]，

整理得，[（2x-1）+i=-b+（b-3）i].

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件，可得[2x-1=-b，1=b-3，]

解得[x=-32，b=4，]則[x=-32，y=4i.]

點(diǎn)撥 ?在[a，b，c，d∈R]的條件下，[a+bi=c+di?a=c][且b=d].

易錯3 ?方程有解的條件判斷出錯

例3 ?已知關(guān)于[x]的方程[x2+（k+2i）x+2+ki=0]有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)[k]應(yīng)滿足的條件.

錯解 ?由方程有實(shí)數(shù)根得，

[Δ=（k+2i）2-4（2+ki）≥0]，

解得[k≥23]或[k≤-23].

分析 ?誤用系數(shù)為實(shí)數(shù)情況下方程有根的充要條件[Δ≥0]. 方程有實(shí)數(shù)根時，可把實(shí)數(shù)根[x=x0]代入方程整理成復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式，再根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件解出[x0]和[k]的值即可.

正解 ?設(shè)[x=x0]是方程的實(shí)數(shù)根，代入方程并整理得[（x02+kx0+2）+（2x0+k）i=0]，

由復(fù)數(shù)相等的充要條件得，

[x02+kx0+2=0，2x0+k=0，]

解得[x0=-2，k=22，]或[x0=2，k=-22.]

點(diǎn)撥 ?復(fù)數(shù)方程有實(shí)根（或純虛根）時，一般可以通過設(shè)元求解.

易錯4 ?應(yīng)用復(fù)數(shù)幾何意義出錯

例4 ?若[zz-1]為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)[z]所對應(yīng)的復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)[Z]對應(yīng)的軌跡是什么？

錯解1 ?設(shè)[zz-1=bi（b∈R，b≠0），]

則[z=zbi-bi]，有[z=-bi1-bi=-bi（1+bi）（1-bi）（1+bi）][=b2-bi1+b2]，

由于[b]的取值不確定，因此無法確定復(fù)數(shù)[z]所對應(yīng)的復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)[Z]對應(yīng)的軌跡.

錯解2 ?設(shè)[z=x+yi（x，y∈R）]，

由于[zz-1=x+yix-1+yi=（x+yi）（x-1-yi）（x-1+yi）（x-1-yi）]

[=x（x-1）+y2-yi（x-1）2+y2]，

而[zz-1]為純虛數(shù)，則有[x（x-1）+y2（x-1）2+y2=0，]

即[x（x-1）+y2=0，]整理得[（x-12）2+y2=14].

所以復(fù)數(shù)[z]所對應(yīng)的復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)[Z]的軌跡是以[（12，0）]為圓心，[12]為半徑的圓.

分析 ?錯解1是因?yàn)閷?shù)方程的認(rèn)識不到位，又受到復(fù)數(shù)[z]的復(fù)雜形式的影響. 而錯解2的整體思路是對的，但分析在于忽略了復(fù)數(shù)[z=a+bi]（[a，b∈R]）是純虛數(shù)的充要條件是[a=0]且[b≠0].

正解 ?由于[zz-1=x+yix-1+yi=（x+yi）（x-1-yi）（x-1+yi）（x-1-yi）][=x（x-1）+y2-yi（x-1）2+y2]，

而[zz-1]為純虛數(shù)，則有[x（x-1）+y2（x-1）2+y2=0，-y（x-1）2+y2≠0，]

即[x（x-1）+y2=0，y≠0.]

整理可得[（x-12）2+y2=14（y≠0）].

所以復(fù)數(shù)[z]所對應(yīng)的復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)[Z]對應(yīng)的軌跡是以[（12，0）]為圓心，半徑為[12]的圓[去掉點(diǎn)[（0，0）]和[（1，0）]].

點(diǎn)撥 ?根據(jù)純虛數(shù)的形式特征或性質(zhì)求解復(fù)數(shù)問題，是一類比較典型的題目.注意：復(fù)數(shù)[z=a+bi（a，b∈R）]是純虛數(shù)[?a=0且b≠0].

易錯5 ?復(fù)數(shù)的“?！迸c“絕對值”混淆出錯

例5 ?解不等式[z2-3z+2<2z-1（z∈C）].

錯解 ?原不等式[?z-2z-1<2z-1]

[?z-1（z-2-2）<0].

[∵z-1≥0，∴z-2<2.]

[∴-2

分析 ?這種解法的錯誤在于未注意到“在復(fù)數(shù)集中，任意兩個不全為實(shí)數(shù)的復(fù)數(shù)不能比較大小”，錯誤的原因是把實(shí)數(shù)中絕對值的性質(zhì)“[x0）]”生搬硬套到復(fù)數(shù)模中.

正解 ?原不等式[?z-2z-1<2z-1]

[?z-1（z-2-2）<0.]

[∵z-1≥0， ∴z-2<2]且[z≠1].

其解為以點(diǎn)[（2，0）]為圓心，2為半徑的圓內(nèi)部，且去除點(diǎn)[（1，0）].

點(diǎn)撥 ?復(fù)數(shù)的模是一個實(shí)數(shù)，可以參加實(shí)數(shù)的任何運(yùn)算，但是復(fù)數(shù)并不一定都能比較大小，所以不能由[z-2<2]得到[-2

易錯6 ?參數(shù)的范圍限制挖掘不透出錯

例6 ?已知[a∈R]，則復(fù)數(shù)[z=（a2-2a+4）-][（a2-2a+2）i]所對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是什么？

錯解 ?設(shè)[z=x+yi（x，y∈R）]，

則[x=a2-2a+4，y=-（a2-2a+2），]

消去[a2-2a]得，[y=-x+2.]

即復(fù)數(shù)[z]對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是直線[y=-x+2].

分析 ?求復(fù)數(shù)[z]對應(yīng)點(diǎn)的軌跡問題，首先設(shè)[z=x+yi（x，y∈R）]的形式，然后尋求[x， y]之間的關(guān)系. 上述錯解的整體思路是對的，但是在消參過程中沒有注意到[x， y]的范圍出錯.

正解 ?設(shè)[z=x+yi（x，y∈R）]，

則[x=a2-2a+4，y=-（a2-2a+2），]

消去[a2-2a]得，[y=-x+2.]

即復(fù)數(shù)[z]對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是直線[y=-x+2].

又因?yàn)閇x=a2-2a+4=（a-1）2+3≥3]，

所以復(fù)數(shù)[z]對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是射線[y=-x+2][（x≥3）].

點(diǎn)撥 ?注意挖掘題目中隱含的條件，在含參問題的解答中要考慮參數(shù)引起的范圍限制.

易錯7 ?根的虛實(shí)與復(fù)數(shù)模

例7 ?已知關(guān)于[x]的方程[x2+x+a=0]的兩根為[x1，x2]，若[x1-x2=2]，求實(shí)數(shù)[a]的值.

錯解 ?由根與系數(shù)的關(guān)系得，[x1+x2=-1，x1x2=a].

又[x1-x2=（x1+x2）2-4x1x2=1-4a=2]，

所以[a=-34].

分析 ?在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成立的結(jié)論[z=z2]在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)不一定成立，要分根的虛實(shí)討論.

正解 ?由根與系數(shù)的關(guān)系得[x1+x2=-1，x1x2=a].

（1）當(dāng)[Δ=1-4a≥0]，即[a≤14]時，[x1，x2]為實(shí)數(shù)，

[x1-x2=（x1+x2）2-4x1x2=1-4a=2]，

所以[a=-34.]

（2）當(dāng)[Δ=1-4a<0]，即[a>14]時，[x1，x2]為共軛虛數(shù)，

由[x1-x2=2]知，[x1，x2]的虛部為[±i]，

再由[x1+x2=-1]可得，[x1，x2]的實(shí)部為[-12]，

則[a=x1x2=54].

綜上得[a=-34]或[a=54].

點(diǎn)撥 ?實(shí)系數(shù)二次方程若無實(shí)根，則虛根成對共軛出現(xiàn). 另外，含參問題一般要分類討論.