姿態(tài)控制中的散開現(xiàn)象

何朕,　王廣雄

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院,黑龍江 哈爾濱 150001)

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姿態(tài)控制中的散開現(xiàn)象

何朕,王廣雄

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院,黑龍江 哈爾濱 150001)

摘要:對散開現(xiàn)象提出了一種新的解釋,并對姿態(tài)控制提出了一種新的PD型控制。實(shí)際應(yīng)用中常用四元數(shù)來表示一剛體運(yùn)動(dòng)的姿態(tài)?？墒撬脑獢?shù)的狀態(tài)空間S3對姿態(tài)集合SO(3)是雙重覆疊的,即每一個(gè)姿態(tài)對應(yīng)兩個(gè)不同的四元數(shù)向量。這樣,當(dāng)采用四元數(shù)來進(jìn)行反饋控制時(shí),四元數(shù)的非唯一性會(huì)在q∈S3和-q∈S3的鄰域分別形成一個(gè)吸引域和一個(gè)排斥域,從而導(dǎo)致了姿態(tài)控制的散開現(xiàn)象。文中用一個(gè)姿態(tài)控制的實(shí)例來說明這個(gè)不穩(wěn)定現(xiàn)象。為了避免出現(xiàn)散開現(xiàn)象,提出了一個(gè)PD型的非線性控制器。這種控制器還有一個(gè)特點(diǎn)是能夠以最小轉(zhuǎn)角來回歸平衡狀態(tài)。

關(guān)鍵詞:姿態(tài)控制; 四元數(shù); 旋轉(zhuǎn)矩陣; 散開現(xiàn)象

王廣雄(1933—)，男，教授，研究方向?yàn)榭刂葡到y(tǒng)設(shè)計(jì)、魯棒控制及H∞控制等。

0引言

剛體運(yùn)動(dòng)的姿態(tài)常是通過幾個(gè)姿態(tài)參數(shù)來表示的。能表征姿態(tài)的最少的參數(shù)數(shù)是三個(gè),但用三參數(shù)來表示姿態(tài)均存在奇異點(diǎn)[1]。所以一般是采用四元數(shù)來表示姿態(tài)。四元數(shù)是四個(gè)參數(shù)加一個(gè)約束方程。四元數(shù)具有全局性,可以表示所有的姿態(tài),而且不存在奇異問題。可是四元數(shù)與姿態(tài)的關(guān)系卻不是唯一的。四元數(shù)狀態(tài)空間對于旋轉(zhuǎn)矩陣空間是雙重覆疊的,所以當(dāng)用四元數(shù)來構(gòu)成姿態(tài)的反饋控制時(shí)會(huì)出現(xiàn)姿態(tài)散開等不良的系統(tǒng)特性[1-2]。姿態(tài)散開以及避免散開的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)問題現(xiàn)在已成為姿態(tài)控制中的一個(gè)熱點(diǎn)問題[3-6]。不過多數(shù)文獻(xiàn)對于姿態(tài)散開問題都是基于S3和SO(3)空間之間的映射關(guān)系,從數(shù)學(xué)上作抽象的討論。本文則結(jié)合實(shí)際的例子分析,從物理概念上對姿態(tài)散開現(xiàn)象作出新的解釋,并在此基礎(chǔ)上提出解決方案。

1旋轉(zhuǎn)矩陣和四元數(shù)

飛行器、機(jī)器人、或空間的運(yùn)動(dòng)物體都有一個(gè)姿態(tài)控制問題。一個(gè)剛體的姿態(tài)是指剛體坐標(biāo)的指向,是剛體坐標(biāo)系對參考坐標(biāo)系的一種相對轉(zhuǎn)動(dòng)。這個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng),即剛體的姿態(tài)是用一個(gè)姿態(tài)矩陣R來表示的。R陣的各列是剛體坐標(biāo)系軸上的各單位向量在參考坐標(biāo)系軸上的分量。設(shè)參考坐標(biāo)系的三個(gè)正交的單位向量為i、j、k,轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體坐標(biāo)系的三個(gè)正交的單位向量為i′、j′、k′,則R陣就是

(1)

式中兩個(gè)單位向量的點(diǎn)乘就是向量之間夾角的余弦,例如

i·i′=cosα。

所以R陣也稱為方向余弦(矩)陣,有時(shí)也稱為旋轉(zhuǎn)矩陣。根據(jù)R陣的性質(zhì)可知R陣的轉(zhuǎn)置等于R陣的逆,所以R陣的行列式等于1。這樣,由于行列式等的約束,雖然R陣有9個(gè)元素,各元素之間卻還存在著6個(gè)約束關(guān)系。這里將這個(gè)3×3的正交陣歸之為一類三階的特殊正交族(special orthogonal group),

SO(3)={R∈R3×3:RTR=RRT=I,detR=1}。

旋轉(zhuǎn)矩陣R可以全局,無奇異的來表示一個(gè)剛體的姿態(tài),而且它所表示的姿態(tài)是唯一的。但是R陣有9個(gè)參數(shù),而由于正交性對這些參數(shù)又加上了6個(gè)約束,所以不便于實(shí)際中使用。實(shí)際中常用參數(shù)化的方式來表示這個(gè)姿態(tài)矩陣R。不帶約束條件的能夠表示姿態(tài)的最少參數(shù)數(shù)目是三個(gè),但三參數(shù)表示一般都存在奇異點(diǎn)。無奇異點(diǎn)的,能夠全局表示姿態(tài)的最少參數(shù)數(shù)目是四個(gè),并帶一個(gè)約束式,這就是單位四元數(shù)(unitquaternion),簡稱四元數(shù)。

單位四元數(shù)定義為

(2)

式中:φ是繞瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸k的轉(zhuǎn)角,k為瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸上的單位矢量,這里的約束條件是qTq=1。

旋轉(zhuǎn)矩陣R與四元數(shù)q的關(guān)系有Rodriques公式[3]

(3)

式中上角標(biāo)×號(hào)表示向量積的矩陣表示,

根據(jù)式(3)還可寫得

traceR=2cosφ+1。

故繞k軸的轉(zhuǎn)角φ為

(4)

四元數(shù)的約束條件表明,這是一個(gè)R4空間中幅值等于1的向量的集合,稱為S3空間

(5)

旋轉(zhuǎn)矩陣空間SO(3)表示的是一個(gè)有真實(shí)物理含義的姿態(tài),而四元數(shù)空間S3則是姿態(tài)的一種參數(shù)化表示。這兩個(gè)空間是不一樣的。Rodrigues公式[式(3)]表示了S3→SO(3)的映射關(guān)系。從式(3)可見,對每個(gè)q∈S3來說,R(q)=R(-q),也就是說,每一個(gè)姿態(tài)對應(yīng)兩個(gè)正相反的四元數(shù)向量。也可以說,四元數(shù)空間S3是雙重覆疊在SO(3)上的。姿態(tài)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中,如果忽視了這種雙重性,系統(tǒng)就可能出現(xiàn)一些不良的性能,例如姿態(tài)的散開現(xiàn)象[1-2]。

2四元數(shù)姿態(tài)控制

現(xiàn)在具體結(jié)合一衛(wèi)星的姿態(tài)機(jī)動(dòng)控制來進(jìn)行說明[7-8]。設(shè)衛(wèi)星為剛體,其動(dòng)力學(xué)方程為

式中：Ix,Iy,Iz為相應(yīng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,ωx,ωy,ωz為繞相應(yīng)軸的角速度分量,u1,u2,u3為相應(yīng)軸的控制力矩。本例中設(shè)Ix=Iy=Iz=1kg·m2,故動(dòng)力學(xué)方程為

(6)

當(dāng)姿態(tài)是用四元數(shù)來表示時(shí),其相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為[9-10]

(7)

式中

本例中采用PD控制。當(dāng)用四元數(shù)表示時(shí),姿態(tài)控制采用PD控制已經(jīng)從無源性的角度證明是穩(wěn)定的[9-11]。PD控制律為

(8)

本例中取kp=0.1,kd=0.237。

為了簡化分析,這里設(shè)剛體在平衡點(diǎn)處繞x軸有一個(gè)初始運(yùn)動(dòng)(初始角度或角速度),現(xiàn)考察在PD控制下該姿態(tài)系統(tǒng)的調(diào)節(jié)過程。

由于只有x軸的轉(zhuǎn)動(dòng),所有剛體運(yùn)動(dòng)方程式只保留式(6)的第一項(xiàng),即

(9)

(10)

(11)

PD控制律為

u1=-kpq1-kdωx。

(12)

對式(11)求導(dǎo),得

將式(9)(11)和(12)代入上式,得

將本例中的kp和kd代入后得特征方程為

(13)

(14)

式(14)是個(gè)鞍奇點(diǎn)的特征方程,系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

從上述分析可知,當(dāng)采用四元數(shù)時(shí),姿態(tài)控制系統(tǒng)會(huì)存在兩個(gè)平衡點(diǎn),一個(gè)是穩(wěn)定的,另一個(gè)是不穩(wěn)定的,這兩個(gè)S3上的平衡點(diǎn)都對應(yīng)于SO(3)空間上的同一個(gè)姿態(tài)。所以即使初始姿態(tài)離平衡點(diǎn)很近,但如果是處于不穩(wěn)定的鞍奇點(diǎn)附近,這PD控制還會(huì)將姿態(tài)拉開平衡點(diǎn),繞一個(gè)整圈進(jìn)入到S3上穩(wěn)定的平衡點(diǎn)才靜止下來,這就是姿態(tài)的散開(unwinding)現(xiàn)象。

3姿態(tài)控制中的散開現(xiàn)象

圖1　轉(zhuǎn)動(dòng)的示意圖

圖2　姿態(tài)的散開現(xiàn)象

散開現(xiàn)象的實(shí)質(zhì)是因?yàn)榉答伩刂剖歉鶕?jù)q空間的上半球來設(shè)計(jì)的,當(dāng)運(yùn)動(dòng)到q的下半球時(shí),q已經(jīng)改變了符號(hào),所以負(fù)反饋?zhàn)兂闪苏答?系統(tǒng)就不穩(wěn)定了。如果能隨著q進(jìn)入下半球,反饋控制律也隨之改變,就能保證穩(wěn)定了,即要求控制律u滿足

u(q,ω)=u(-q,ω) 。

(15)

對于PD控制來說,如果將控制律設(shè)計(jì)成

u=-kpqvsgn(q0)-kdω。

(16)

就能滿足式(15)的要求。注意這里的

(17)

式(17)與Simulink中的符號(hào)模塊是不一樣的,使用時(shí)應(yīng)該加以區(qū)分。圖3就是采用本文的控制律式(16)后同樣情況下的響應(yīng)曲線。圖3表明在同樣的初始角速度ωx(0)=2 rad/s下,θx一圈以后(2π)就穩(wěn)定下來了,系統(tǒng)穩(wěn)定在q0=-1的平衡點(diǎn)上,不存在散開問題。

圖3　無散開現(xiàn)象的響應(yīng)

圖4　最小角度歸零

4結(jié)論

四元數(shù)空間S3與實(shí)際表示姿態(tài)的物理空間SO(3)是不一樣的。S3空間雙重覆疊在SO(3)上,因而出現(xiàn)了兩個(gè)不同性質(zhì)的平衡點(diǎn)。如果忽視了四元素的這種雙重性,姿態(tài)控制系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)散開現(xiàn)象,即當(dāng)初始條件接近平衡點(diǎn)時(shí)忽然會(huì)反方向繞開去,繞一整圈后再回到平衡點(diǎn)。因此當(dāng)采用四元素時(shí),要注意在姿態(tài)控制設(shè)計(jì)中避免姿態(tài)散開現(xiàn)象。文中提出的控制律是一種基本的PD型控制,更一般的控制律中由于要包含切換控制,所以歸屬于混雜系統(tǒng)。這種混雜系統(tǒng)再加上噪聲,是當(dāng)前姿態(tài)控制的一個(gè)研究熱點(diǎn)[3-6],也是近期的一個(gè)研究方向。

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(編輯：張?jiān)婇w)

Unwinding phenomenon in attitude control

HE Zhen,WANG Guang-xiong

(School of Astronautics, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China)

Abstract:A new exposition of the unwinding phenomenon was presented and a new type of PD controller for attitude control was proposed. The quaternions are often used in practical applications to represent rigid-body attitude. However, the quaternion state space S3double covers the set of attitudes SO(3) in the sense that each attitude corresponds to two different quaternion vectors. Thus, in the case of feedback control using quaternions, this nonunique representation can give rise to regions of attraction and repulsion in the neighborhood of q∈S3and-q∈S3, respectively, and cause the unwinding phenomenon of attitude control. A practical attitude control example was presented to illustrate this unstable behavior. A PD-type nonlinear controller was proposed to avoid the unwinding phenomenon. This controller also has an advantage of retuning to the equilibrium state with minimum angle of rotation.

Key words:attitude control; quaternion; rotation matrix; unwinding phenomenon

通訊作者:何朕

作者簡介:何朕(1972—)，女，博士，教授，研究方向?yàn)榭刂葡到y(tǒng)設(shè)計(jì)、魯棒控制及H∞控制等；

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金重點(diǎn)資助項(xiàng)目(61034001); 國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61174203,60374027)

收稿日期:2014-09-16

中圖分類號(hào):TP 273

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號(hào):1007-449X(2015)07-0101-05

DOI:10.15938/j.emc.2015.07.015