常利率帶干擾的兩類相關(guān)理賠風(fēng)險(xiǎn)模型

賀小麗，余國(guó)勝*，姚 鉦，姚春臨，陳華斌

（1.江漢大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430056；2.南昌大學(xué) 理學(xué)院，江西 南昌 330031）

常利率帶干擾的兩類相關(guān)理賠風(fēng)險(xiǎn)模型

賀小麗1，余國(guó)勝*1，姚 鉦1，姚春臨1，陳華斌2

（1.江漢大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430056；2.南昌大學(xué) 理學(xué)院，江西 南昌 330031）

考慮了保費(fèi)收取為Poisson-Geometric過程，常利率環(huán)境條件下帶干擾的兩類相關(guān)理賠風(fēng)險(xiǎn)過程，把相關(guān)的兩類理賠計(jì)數(shù)過程轉(zhuǎn)換為兩個(gè)獨(dú)立的Poisson-Geometric過程和推廣的Erlang（n）過程，并給出其折現(xiàn)罰金函數(shù)所滿足的微積分方程。

破產(chǎn)概率；Poisson-Geometric過程；推廣的Erlang（n）過程；帶干擾；折現(xiàn)罰金函數(shù)

0 引言

近年來，保險(xiǎn)研究者們開始研究Poisson-Geometric過程，文獻(xiàn)［1］針對(duì)復(fù)合Poisson-Geometric模型首次給出了Gerber-Shiu折現(xiàn)罰金函數(shù)滿足的更新過程，文獻(xiàn)［2］得到了常利率下索賠次數(shù)為Poisson-Geo?metric過程和Poisson-Geometric折現(xiàn)罰金函數(shù)所滿足的積分方程。由于保險(xiǎn)公司業(yè)務(wù)種類日益復(fù)雜化，保險(xiǎn)研究者們對(duì)于作為經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型推廣的兩類理賠相關(guān)的風(fēng)險(xiǎn)模型產(chǎn)生了濃厚的興趣。文獻(xiàn)［3］研究了N1(t)=K1(t)+K(t),N2(t)=K2(t)+K(t)，其中K1(t),K2(t)均為Poisson計(jì)數(shù)過程，K(t)是推廣的Erlang（2）過程，討論了其生存概率。文獻(xiàn)［4-5］討論了兩類理賠過程分別是Poisson過程和推廣的Erlang（2）過程的風(fēng)險(xiǎn)模型。文獻(xiàn)［6］在文獻(xiàn)［4-5］的基礎(chǔ)上引入了紅利的因素。文獻(xiàn)［7］將文獻(xiàn)［4-5］中的Erlang（2）計(jì)數(shù)過程推廣到Erlang（n）過程。文獻(xiàn)［8］討論了帶干擾的兩類理賠風(fēng)險(xiǎn)模型，兩類理賠的計(jì)數(shù)過程分別為獨(dú)立的Poisson過程和廣義Erlang（n）過程，得到了此模型的折現(xiàn)罰金函數(shù)的Laplace變換。文獻(xiàn)［9］研究了帶干擾的兩類相關(guān)理賠風(fēng)險(xiǎn)過程，把相關(guān)的兩類理賠計(jì)數(shù)過程轉(zhuǎn)換為兩個(gè)獨(dú)立的Poisson-Geometric過程和Erlang（n）計(jì)數(shù)過程，給出其折現(xiàn)罰金函數(shù)所滿足的微積分方程及其Laplace變換。它們均不帶利率，此外，保費(fèi)收取有時(shí)為Poisson-Geometric過程。本文擬研究保費(fèi)收取為Poisson-Geometric過程，常利率環(huán)境條件下帶干擾的兩類相關(guān)理賠風(fēng)險(xiǎn)過程，把相關(guān)的兩類理賠計(jì)數(shù)過程轉(zhuǎn)換為兩個(gè)獨(dú)立的Pois?son-Geometric計(jì)數(shù)過程和推廣的Erlang（n）過程，得到了其折現(xiàn)罰金函數(shù)所滿足的微積分方程。

1 風(fēng)險(xiǎn)模型

2 預(yù)備知識(shí)及引理

3 罰金函數(shù)的積分-微分方程

證明設(shè)開始時(shí)處于狀態(tài)j（j=1,2,…,n-1）,對(duì)充分小的時(shí)間h,考慮(0,h]內(nèi)風(fēng)險(xiǎn)模型的情況，可以分成以下8種情況：①無保費(fèi)收入，第一類理賠險(xiǎn)種沒有理賠，第二類理賠險(xiǎn)種沒有發(fā)生狀態(tài)轉(zhuǎn)移；②無保費(fèi)收入，第一類理賠險(xiǎn)種發(fā)生理賠，第二類理賠險(xiǎn)種沒有發(fā)生狀態(tài)轉(zhuǎn)移；③無保費(fèi)收入，第一類理賠險(xiǎn)種沒有理賠，第二類理賠險(xiǎn)種發(fā)生狀態(tài)轉(zhuǎn)移；④無保費(fèi)收入，第一類理賠險(xiǎn)種發(fā)生理賠，第二類理賠險(xiǎn)種發(fā)生狀態(tài)轉(zhuǎn)移；⑤有保費(fèi)收入，第一類理賠險(xiǎn)種沒有理賠，第二類理賠險(xiǎn)種沒有發(fā)生狀態(tài)轉(zhuǎn)移；⑥有保費(fèi)收入，第一類理賠險(xiǎn)種發(fā)生理賠，第二類理賠險(xiǎn)種沒有發(fā)生狀態(tài)轉(zhuǎn)移；⑦有保費(fèi)收入，第一類理賠險(xiǎn)種沒有理賠，第二類理賠險(xiǎn)種發(fā)生狀態(tài)轉(zhuǎn)移；⑧有保費(fèi)收入，第一類理賠險(xiǎn)種發(fā)生理賠，第二類理賠險(xiǎn)種發(fā)生狀態(tài)轉(zhuǎn)移。記

（References）

［1］廖基定，龔日朝，劉再明，等.復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險(xiǎn)模型Gerber-Shiu折現(xiàn)懲罰函數(shù)［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2007，30（6）：1076-1085.

［2］熊雙平.索賠次數(shù)為復(fù)合Poisson-Geometric過程的常利率風(fēng)險(xiǎn)模型的罰金函數(shù)［J］.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2008，25（2）：136-142.

［3］YUEN K C，GUO J，WU X.On a correlated aggregate claims model with Poisson and Erlang risk processes［J］.Insurance：Mathe?matics and Economics，2002，31（2）：205-214.

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［5］LI S，LU Y.On the expected discounted penalty function for two classes of risk processes［J］.Insurance：Mathematics and Eco?nomics，2005，36：179-193.

［6］范慶祝，尹傳存.帶紅利的兩類索賠風(fēng)險(xiǎn)模型的Gerber-Shiu函數(shù)［J］.工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2009，26（1）：51-59.

［7］ZHANG Z，LI S，YANG H.The Gerber-Shiu discounted penalty functions for a risk model with two classes of claims［J］.Journal of Computational and Applied Mathematics，2009，230（2）：643-655.

［8］趙永霞，王春偉.帶擾動(dòng)的兩類索賠風(fēng)險(xiǎn)模型的罰金折扣函數(shù)［J］.高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2010，25（3）：263-272.

［9］劉文震，王傳玉.帶擾動(dòng)的兩類相關(guān)索賠風(fēng)險(xiǎn)模型的折現(xiàn)罰金函數(shù)［J］.中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào)，2013，43（6）：444-454.

［10］毛澤春，劉錦萼.索賠次數(shù)為復(fù)合Poisson-Geometric過程的風(fēng)險(xiǎn)模型及破產(chǎn)概率［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2005，28（3）：419-428.

（責(zé)任編輯：胡燕梅）

A Diffusion Risk Model with Two Dependent Classes of Risk Processes Under Constant Interest Rate

HE Xiaoli1，YU Guosheng*1，YAO Zheng1，YAO Chunlin1，CHEN Huabin2
（1.School of Mathematics and Computer Science，Jianghan University，Wuhan 430056，Hubei，China；2.School of Science，Nanchang University，Nanchang 330031，Jiangxi，China）

A diffusion risk model which premium obeyed the Poisson-Geometric process with two dependent classes of risk processes under constant interest rate was considered，the correlated two claims in the counting process were transformed through model into independent Poisson-Geometric and generalized Erlang（n）processes.Integro-differential equations were obtained.

ruin probability；Poisson-Geometric process；generalized Erlang（n）processes；interfer?ence；discounted penalty function

O211.6

：A

：1673-0143（2015）06-0513-05

10.16389/j.cnki.cn42-1737/n.2015.06.006

2015-08-16

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11401292）；江漢大學(xué)博士科研啟動(dòng)經(jīng)費(fèi)資助項(xiàng)目（2011021）

賀小麗（1994—），女，研究方向：金融數(shù)學(xué)。

*通訊作者：余國(guó)勝（1980—），男，講師，博士，研究方向：隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)、金融數(shù)學(xué)。E-mail：guosyujianghanun@126.com