“磁滯剎車”現(xiàn)象中暫態(tài)過程的研究

趙蕓赫，馬宇翰

(北京師范大學(xué) 物理學(xué)系，北京 100875)

“磁滯剎車”現(xiàn)象中暫態(tài)過程的研究

趙蕓赫，馬宇翰

(北京師范大學(xué) 物理學(xué)系，北京 100875)

摘要：基于磁滯剎車中的暫態(tài)問題設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，測量了磁鐵磁場的徑向分布，在此基礎(chǔ)上對磁偶極子模型給出的磁場分布做了修正；數(shù)值計(jì)算了阻力表達(dá)式中積分項(xiàng)，并用雙曲正切函數(shù)擬合給出了阻力表達(dá)式中積分部分的經(jīng)驗(yàn)公式，簡化了動力學(xué)方程的求解. 理論計(jì)算并實(shí)時測量了磁鐵運(yùn)動的速度，研究了從磁鐵開始受到磁滯力到達(dá)到勻速運(yùn)動之前的減速暫態(tài)過程以及離開管口后的加速暫態(tài)過程.

關(guān)鍵詞：磁滯剎車；暫態(tài)過程；磁場分布

1概述

當(dāng)強(qiáng)磁鐵沿非鐵磁性材料的管下降時，通常會觀察到有趣的物理現(xiàn)象：磁鐵將會受到磁滯力，即“磁滯剎車”現(xiàn)象. 對于該現(xiàn)象，目前有大量的研究報(bào)道. 其中Gren Ireson[1-5]等研究了磁鐵在銅管中運(yùn)動現(xiàn)象，C. S. MacLatchy[6]等研究了不同質(zhì)量的磁鐵及多個磁鐵在銅管中的運(yùn)動現(xiàn)象，G. Donoso[7]等還探究了磁鐵在不同材質(zhì)、不同管厚的金屬管中的運(yùn)動現(xiàn)象. 除此之外，K. D. Hahn, R. Stanway[8-9]等研究了銅管內(nèi)的感應(yīng)電流分布，Guillermo Donoso，Celso L.Ladera[10]等人對于圖1[5]中所示的磁鐵在銅管中的運(yùn)動，采用在管上取微元導(dǎo)線的方法，并將磁鐵的徑向磁場分布用磁偶極子的徑向磁場分布代替，給出了磁場的分布為

(1)

圖1　磁鐵在銅管中運(yùn)動示意圖

(2)

其中σ為電導(dǎo)率，R1和R2分別為銅管的內(nèi)外半徑，L為管長，式中還做了z-h=R1u的代換. (2)式中的積分項(xiàng)是隨著磁鐵所處位置的變化而變化的，但是由于該值在磁鐵即將進(jìn)入管中時迅速從零增大為一定值，所以通常人們將管作無限長處理，這樣積分值為一定值，但是這種近似在管口處是失效的，無法確切描述磁鐵的暫態(tài)運(yùn)動. 目前大部分的研究工作主要對磁鐵達(dá)到勻速穩(wěn)態(tài)時的速度進(jìn)行了探究，對于磁滯剎車減速部分的暫態(tài)運(yùn)動的研究很少. 而實(shí)際上磁滯剎車過程中磁鐵的加速度從g到0不斷改變，剎車過程主要與暫態(tài)過程相關(guān)聯(lián).

本文設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)測量了磁鐵磁場的徑向分布，在此基礎(chǔ)上對磁偶極子模型給出的磁場分布做了修正，并對用簡單函數(shù)雙曲正切擬合給出了阻力表達(dá)式中積分部分的經(jīng)驗(yàn)公式，簡化了動力學(xué)方程的求解. 在此基礎(chǔ)上理論計(jì)算了磁鐵運(yùn)動整個過程的速度，并設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，實(shí)時測量了磁鐵運(yùn)動的速度，研究了從磁鐵開始受到磁滯力到達(dá)到勻速運(yùn)動之前的暫態(tài)過程.

2磁鐵運(yùn)動的理論模型

2.1　阻力系數(shù)形式的確定

將式(2)中的積分項(xiàng)近似為一定值，無法解釋管口附近復(fù)雜的暫態(tài)現(xiàn)象. 為了研究暫態(tài)過程，令(2)式中的積分為

(3)

定義阻力系數(shù)為k，則

(4)

k與f(h)成正比，于是，磁鐵運(yùn)動的動力學(xué)方程可以寫為

ma=mg-k(h)v.

(5)

采用數(shù)值計(jì)算得到的積分f(h)的值隨磁鐵所處位置的變化關(guān)系如圖2所示. 可以看出，在管口上方，積分值f(h)從零開始迅速增大，進(jìn)入管內(nèi)迅速穩(wěn)定為一定值，出管外一小段距離后迅速降為零． 這表明磁鐵未進(jìn)入管時，磁滯力已經(jīng)開始起作用，當(dāng)磁鐵離開管的一小段距離內(nèi)，磁滯力仍在起作用． 這也與楞次定律相符合．

圖2　f值隨距離上管口的位置h的變化曲線(h=0對應(yīng)管口，管長L=1.0 m)

磁鐵運(yùn)動初期，加速度不斷減小，通過觀察分析f(h)曲線的趨勢，采用具有2個未知參量的經(jīng)驗(yàn)公式f(h)=γ(tanhβh+1)進(jìn)行擬合該曲線，得到的擬合曲線與數(shù)值計(jì)算的結(jié)果如圖3所示，經(jīng)驗(yàn)公式擬合的結(jié)果與數(shù)值計(jì)算結(jié)果比較符合，可以確定γ=0.061 4；β=102.3 m-1. 可以得到磁滯力系數(shù)k的解析表達(dá)式為

(6)

這樣可以簡化磁鐵運(yùn)動的動力學(xué)方程.

圖3　經(jīng)驗(yàn)公式擬合與數(shù)值計(jì)算的f隨h變化的曲線

2.2　磁偶極子徑向磁場表達(dá)式的修正及磁鐵運(yùn)動的理論模擬

要理論計(jì)算磁鐵的運(yùn)動速度，需要知道磁場的具體分布. 為了確定磁偶極子模型表示的磁場的徑向分布是否與磁鐵的真實(shí)磁場分布一致，采用圖4所示的設(shè)備測量了規(guī)格為15 mm×19 mm的強(qiáng)磁鐵的磁場分布，如圖5所示. 同時采用磁偶極子徑向磁場表達(dá)式擬合的磁場分布也示于圖5中.

圖4　測量磁鐵徑向磁場分布的實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

圖5　實(shí)驗(yàn)測量及采用磁偶極子模型計(jì)算的磁鐵的徑向磁場分布結(jié)果

可以看出，實(shí)際磁場分布與計(jì)算曲線有一定差異，為了消除這一差異，引入修正因子α，將徑向磁場表示為

(7)

采用修正后的磁場分布關(guān)系擬合的磁場分布與實(shí)驗(yàn)測量的對比結(jié)果如圖6所示，可以看出兩者幾乎完全重合，并可以得到該規(guī)格磁鐵的α=0.918 5. 后續(xù)實(shí)驗(yàn)所用到的其他規(guī)格的磁鐵也用同樣方法擬合給出修正因子．

圖6　實(shí)驗(yàn)測量及采用修正后的磁偶極子模型計(jì)算的磁鐵的徑向磁場分布結(jié)果

至此，修正后的阻力系數(shù)k變?yōu)?/p>

(8)

則基于動力學(xué)方程ma=mg-k(h)v，以磁鐵距上管口17.2 cm處釋放的情形為例，對于磁鐵自管外釋放開始數(shù)值計(jì)算磁鐵整個過程中的速度隨著距釋放位置的距離的變化關(guān)系，如圖7所示. 磁鐵在釋放后，經(jīng)歷了加速—減速—勻速—加速的過程. 對于磁滯剎車來說，減速過程才是剎車的精髓.

圖7　數(shù)值計(jì)算的磁鐵的運(yùn)動速度隨距釋放位置距離變化的關(guān)系

3磁鐵運(yùn)動現(xiàn)象的研究

3.1　磁鐵運(yùn)動過程中重力和磁滯力之外因素影響的修正

采用圖8所示的實(shí)驗(yàn)裝置測量了磁鐵釋放之后的運(yùn)動過程，為了避免鐵磁性材料對實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的影響，采用塑料制品對銅管固定；為了排除每次用手釋放的不確定因素，采用電磁鐵釋放開關(guān)釋放磁鐵；為了保證磁鐵在管外的運(yùn)動也沿銅管軸線方向以及調(diào)節(jié)磁鐵的初速度，在銅管內(nèi)又嵌套了玻璃管，其露出銅管外的高度可以自由調(diào)節(jié)；為了測量強(qiáng)磁鐵在管中的運(yùn)動，在其下方連接了塑料桿并做標(biāo)記，且由于暫態(tài)過程的短暫，采用高速相機(jī)抓拍記錄.

圖8　實(shí)驗(yàn)裝置及其示意圖

在空氣環(huán)境中磁鐵在玻璃管內(nèi)運(yùn)動，距釋放位置的距離隨時間的變化關(guān)系如圖9所示，采用二次關(guān)系擬合曲線，得到的加速度的數(shù)值a=8.754 N/kg<9.8 N/kg．顯然，磁鐵運(yùn)動過程中還受到除重力和磁滯力之外力的作用. 因此將其他阻力，如空氣阻力、磁鐵與玻璃管的摩擦等的作用效果加在重力加速度上，并替換其為等效重力加速度(擬合的g′值)，則動力學(xué)方程變?yōu)閙a=mg′-k(h)v. 對于每次實(shí)驗(yàn)都重新擬合這一數(shù)值，以符合實(shí)際情況．

圖9　空氣環(huán)境中磁鐵在玻璃管內(nèi)的運(yùn)動及二次關(guān)系擬合曲線

3.2　不同質(zhì)量的磁鐵的磁滯剎車現(xiàn)象

圖10為實(shí)驗(yàn)測量和理論計(jì)算的不同等效重力下，磁鐵的運(yùn)動速度隨距釋放位置的距離的變化曲線，理論和實(shí)驗(yàn)基本吻合，說明求解動力學(xué)方程的結(jié)果是可行的. 此外，從曲線可以看出，其他實(shí)驗(yàn)條件相同的情況下，磁鐵質(zhì)量越小，曲線加速部分斜率絕對值越大，即磁鐵加速度的變化越明顯，則暫態(tài)過程的剎車現(xiàn)象越明顯，所達(dá)到的穩(wěn)態(tài)速度越小. 此外，由圖中磁鐵加速度變化的趨勢可以預(yù)測當(dāng)其質(zhì)量增大到某一值時，磁鐵進(jìn)管后將無減速現(xiàn)象.

圖10　不同質(zhì)量磁鐵的“磁滯剎車”

圖11為磁鐵達(dá)到勻速運(yùn)動狀態(tài)時的穩(wěn)態(tài)速度隨等效重力的變化曲線，可以看到曲線呈良好的線性關(guān)系，這表明，在其他實(shí)驗(yàn)條件相同的情況下，僅改變磁鐵質(zhì)量，其在銅管中達(dá)到勻速時的k值為常量，這與文獻(xiàn)報(bào)道的結(jié)果一致[2]. 這也表明通過給出的經(jīng)驗(yàn)公式求解動力學(xué)方程描述磁滯剎車現(xiàn)象是可行的.

圖11　穩(wěn)態(tài)速度隨等效重力的變化圖像

3.3　在不同規(guī)格的銅管運(yùn)動的磁鐵的磁滯剎車現(xiàn)象

為了探究在不同管中磁鐵運(yùn)動的暫態(tài)過程，進(jìn)一步用不同規(guī)格的銅管與磁鐵進(jìn)行實(shí)驗(yàn). 1號銅管和磁鐵：銅管外徑為28.60 mm，銅管內(nèi)徑為24.72 mm，磁鐵規(guī)格20 mm×19 mm，電導(dǎo)為4.251 4×107S,磁偶極矩μ′為13.5×10-8A·m2. 2號銅管和磁鐵：銅管外徑為24.80 mm，銅管內(nèi)徑為21.62 mm，磁鐵規(guī)格15 mm×19 mm，電導(dǎo)為5.714 3×107S,磁偶極矩μ′為8.8×10-8A·m2. 圖12和13分別為使用2組實(shí)驗(yàn)器材，在距離銅管管口的不同高度釋放磁鐵后，實(shí)驗(yàn)測量及理論計(jì)算的運(yùn)動速度隨距釋放位置距離變化的曲線. 從圖上可以看出，實(shí)驗(yàn)與理論符合較好，驗(yàn)證了理論的正確性．

圖12　不同進(jìn)管初速度的磁鐵速度隨著距釋放位置的距離變化曲線(1號銅管實(shí)驗(yàn)與理論)

圖13　不同進(jìn)管初速度的磁鐵速度隨著距釋放位置的距離變化曲線(2號銅管實(shí)驗(yàn)與理論)

4結(jié)束語

從理論和實(shí)驗(yàn)方面研究了磁滯剎車現(xiàn)象中的暫態(tài)過程. 設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)測量了磁鐵的磁場分布，在偶極子近似模型的磁場分布中，引入修正因子使其更符合實(shí)際磁鐵的磁場分布；用tanhx函數(shù)擬合了數(shù)值計(jì)算的磁滯力表達(dá)式中的積分項(xiàng)f(h)，進(jìn)而給出磁滯剎車現(xiàn)象中阻力系數(shù)的經(jīng)驗(yàn)公式, 簡化了磁剎車動力學(xué)方程的求解；用高速相機(jī)等其他實(shí)驗(yàn)裝置和方法準(zhǔn)確地記錄并分析了這一過程，與理論符合很好.

參考文獻(xiàn)：

[1]IresonG,TwidleJ.Magneticbrakingrevisited:activitiesfortheundergraduatelaboratory[J].Eur.

J.Phys., 2008,29(4):745-751.

[2]PartoviMH,MorrisEJ.Electrodynamicsofamagnetmovingthroughaconductingpipe[J].Can.J.Phys., 2006,84:253-271.

[3]LevinY,daSilveiraSL,RizzatoFB.Electromagneticbraking:asimplequantitativemodel[J].Am.J.Phys., 2006,74(9):815-817 .

[4]WiederickHD,GauthierN,CampbellDA,etal.Magneticbraking:Simpletheoryandexperiment[J].Am.J.Phys., 1987,55(6):500-503.

[5]Bostock-SmithJM.ThejumpingringandLenz’slaw—ananalysis[J].Phys.Educ., 2008,43(3):265-9.

[6]MacLatchyCS,BackmanP,BoganL.Aquantitativemagneticbrakingexperiment[J].Am.J.Phys., 1993,61(12):1096-1106.

[7]DonosoG,LaderaCL,MartínP.Magnetfallinsideaconductivepipe:Motionandtheroleofthepipewallthickness[J].Eur.J.Phys., 2009,30(4):855-869.

[8]HahnKD,JohnsonEM,BrokkenA,etal.Eddycurrentdampingofamagnetmovingthroughapipe[J].Am.J.Phys., 1998,66(12):1066-1076.

[9]StanwayR.Smartfluids:Currentandfuturedevelopments[J].Mater.Sci.Technol., 2004,20(8):931-939.

[10] Donoso G, Ladera C L, Martin P. Damped fall of magnets inside a conducting pipe [J]. Am. J. Phys., 2011,79(2):193-200.

[責(zé)任編輯：任德香]

Research on the transient state of magnetic brakes

ZHAO Yun-he， MA Yu-han

(Department of Physics, Beijing Normal University, Beijing 100875, China)

Abstract:Based on the transient state of magnetic brakes, the radial magnetic fields of the magnets were measured, which was a basis of the correction of the magnetic dipole. Numerical integral of the retarding force was calculated, and an empirical formula was given using hyperbolic tangent function, thus the solution of the dynamic equation was simplified. The velocity of the magnet during the whole process was calculated theoretically and studied in real time, the deceleration and acceleration processes were investigated, respectively.

Key words:magnetic brake; transient state; magnetic field distribution

中圖分類號：O441

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1005-4642(2015)04-0007-05

作者簡介：趙蕓赫(1993-)，女，吉林長春人，北京師范大學(xué)物理學(xué)系2012級本科生.

收稿日期：2014-12-09；修改日期：2015-01-29